第19章 矩形、菱形与正方形 华师大版八年级下册素养综合检测(含解析)

第19章　矩形、菱形与正方形
第19章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023福建厦门杏南中学期中)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当AC=BD时,它是正方形
D.当∠ABC=90°时,它是矩形
2.(2023甘肃白银会宁模拟)如图,这是一农村房屋的侧面截图,屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,C处,且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°,则∠
A=( )
A.70°
B.110°
C.125°
D.135°
3.(2023浙江嘉兴南湖一模)如图,在菱形ABCD中,∠C=80°,则∠ABD的度数为( )
A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
4.(2023福建泉州永春期末)如图所示,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,若AC=6,BD=8,AE ⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( )
A.2.4
B.4
C.4.8
D.5
5.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,过点A 作AE ⊥BD,垂足为点E,若∠EAD=3∠BAE,则∠EAO 的度数是( )
A.60°
B.67.5°
C.45°
D.22.5°
6.【分类讨论思想】(2023山西太原实验中学模拟)如图,边长为6的正方形ABCD 内部有一点P,BP=4,∠PBC=60°,点Q 为正方形边上一动点,且△PBQ 是等腰三角形,则符合条件的Q 点有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个7.(2022山东济南天桥期末)如图,在菱形ABCD 中,AC=6,BD=8,AH ⊥BC,则AH 的长
是( )
A.245
B.125
C.5
D.4
8.【新考法】(2023湖北十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
9.(2023安徽宿州砀山一模)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD 交BC于点E,若∠CAE=15°,OA=6,则BE的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
10.【转化思想】(2023山东威海文登期中)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠
A=60°,E,F分别为AD,DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程
中,AE+CF的长度( )
A.逐渐增大
B.恒等于4
C.先减小再增大
D.恒等于3
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2023河南三门峡灵宝期中)如图,正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB= .
12.(2022重庆八中期中)如图,菱形ABCD的顶点C在直线MN上,若∠MCB=52°,∠DCN=18°,则∠BDC的度数为 .
13.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= °时,四边形AEDF是矩形.
14.【转化思想】(2023江苏南京金陵中学期末)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED,AB=1,∠ABE=45°,则BC的长为 .
15.(2022福建龙岩连城期中)如图所示,在正方形ABCD中,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,连结CE、BD交于点G,连结AG,那么∠AGD的度数是 °.
16.【新考向·尺规作图】(2023浙江绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连结AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连结CE,则∠AEC的度数是 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,点F,C在AD上,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:四边形BCEF是矩形.
18.(2023湖北武汉武昌模拟)(8分)如图,四边形ABCD为矩形,对角线交于点O,DE∥AC交BC延长线于点E.
(1)求证:BC=CE;
(2)若∠E=30°,求∠BOC的度数.
19.(2023吉林长春汽开区期末)(8分)如图,在▱ABCD中,AD>CD,CE平分∠BCD交AD于点E,过点E作EF∥CD交BC于点F,连结DF交CE于点O,过点O作OG⊥CF 于点G.
(1)求证:四边形CDEF是菱形;
(2)若CE=16,DF=12,求OG的长.
20.【新考向·开放型试题】(10分)(2023湖北十堰中考)如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,分别以点B,C 为圆心,12AC,12BD 的长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO 的形状,并说明理由;
(2)当▱ABCD 的对角线满足什么条件时,四边形BPCO 是正方形?
21.(2022贵州遵义中考)(10分)将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示的方式摆放,顶点D 与顶点H 重合,菱形EFGH 的对角线HF 经过点B,点E,G 分别在AB,BC 上.
(1)求证:△ADE ≌△CDG;
(2)若AE=BE=2,求BF 的长.
22.【动点问题】(10分)在菱形ABCD 中,∠B=60°,点E 和点F 分别是射线 BA 和射线AD 上的点(不与B,A 重合),且∠ECF=60°.
(1)问题初见
如图①,当点E 和点F 分别在线段BA 和线段AD 上(不与端点重合)时,线段BC,BE,DF 之间的数量关系是 .
(2)深入探究
如图②,当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上(不与端点重合)时,线段BC,BE,DF之间有怎样的数量关系?请说明理由.
(3)拓展应用
在(2)的条件下,若BC⊥CE,且BC=4,则DF= .
答案全解全析
1.C 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以确定A 选项中的结论正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以确定B 选项中的结论正确;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以确定D 选项中的结论正确;对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是正方形,故C 选项中的结论不正确,故选C.
2.B ∵四边形BDEC 为矩形,∴∠CBD=90°,
∴∠ABC=180°-∠FBD-∠CBD=180°-55°-90°=35°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=35°,∴∠A=180°-2∠ABC=180°-2×35°=110°.故选B.
3.D ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD,∠ABD=∠CBD,∴∠C+∠ABD+∠
CBD=180°,∵∠C=80°,∴∠ABD=180°―80°2
=50°,故选D.4.C ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA=OC=12AC=3,OB=OD=12BD=4,∴BC=
32+42=5,∴12AC·BD=BC·AE,∴12×6×8=5AE,∴AE=4.8,故选C.
5.C ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,∴∠BAE+∠EAD=90°,∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°,∴∠BAE=22.5°,∵AE ⊥BD,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°,故选C.
6.C 如图所示,符合条件的Q 点有5个,故选C.
7.A 如图,设对角线AC 、BD 交于点O,
∵四边形ABCD 是菱形,AC=6,BD=8,
∴AC ⊥BD,OA=OC=3,OB=OD=4,
∴BC=OB 2+O C 2=42+32=5,
∵AH ⊥BC,
∴菱形
ABCD 的面积=12AC·BD=BC·AH,即12×6×8=5AH,∴AH=245,
故选A.
8.C 向左扭动矩形框架ABCD,四边形ABCD 由矩形变成平行四边形,A 正确,不符合题意;扭动后对角线BD 的长度减小,B 正确,不符合题意;BC 边上的高变短,BC 边的长不变,故面积变小,C 错误,符合题意;四边形ABCD 的四条边长度不变,故周长不变,D 正确,不符合题意.故选C.
9.B 在矩形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,OA=OB=6,∵AE 平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=45°,∴∠AEB=90°-∠BAE=45°,∴BE=BA.∵∠CAE=15°,∠BAE=45°,∴∠BAC=60°,又∵OA=OB,∴△OAB 为等边三角形,∴BA=BO=6,∴BE=AB=6.故选B.
10.B 如图,连结BD.
∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=CD=4,∵∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形,∴
AB=BD,∠ABD=60°.∵DC ∥AB,∴∠CDB=∠ABD=60°,∴∠A=∠CDB.∵∠EBF=60°,
∴∠ABE=∠DBF=60°-∠DBE,在△ABE 和△DBF 中,∠BAE =∠BDF ,
AB =DB ,
∠ABE =∠DBF ,
∴△ABE ≌△DBF(A.S.A.),∴AE=DF,∴AE+CF=DF+CF=CD=4,即AE+CF 的长度保持不变,恒等于4.故选B.
11.答案　22.5°
解析　∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAD=90°,∠BAC=12∠BAD=45°,∵四边形AEFC 是菱形,∴∠FAB=∠FAC=12∠BAC=22.5°.
12.答案　35°
解析　∵∠MCB=52°,∠DCN=18°,∴∠BCD=180°-∠MCB-∠DCN=110°,
∵四边形ABCD 是菱形,∴BC=CD,∴∠BDC=∠CBD=(180°-110°)÷2=35°.
13.答案　45
解析　当∠B=45°时,四边形AEDF 是矩形.
∵DF ∥AB,DE ∥AC,
∴四边形AEDF 是平行四边形,
∴当∠A=90°时,四边形AEDF是矩形,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=45°.
14.答案　2
解析　∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵EC平分∠DEB,∴∠DEC=∠BEC,∴∠BEC=∠ECB,∴BE=BC.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AB=AE=1.由勾股定理得BE=AB2+A E2=
12+12=2,∴BC=BE=2.
15.答案　60
解析　∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD,∠ABC=90°,∠ADG=∠CDG=∠ABD=45°,又∵GD=GD,
∴△ADG≌△CDG(S.A.S.),∴∠AGD=∠CGD.
∵△ABE是等边三角形,∴AB=BE,∠ABE=60°,
∴BE=BC,∠EBC=150°,∴∠BEC=∠ECB=15°,
∴∠BGE=180°-∠BEC-∠EBG=180°-15°-(60°+45°)=60°,∴∠AGD=∠CGD=∠
BGE=60°.
16.答案　10°或80°
解析　连结AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E和E',连结CE,CE',如图所示,
在菱形ABCD中,∠DAC=∠BAC,
∵∠DAB=40°,∴∠DAC=20°,
∵AC=AE,∴∠AEC=(180°-20°)÷2=80°.
∵AE'=AC,∴∠AE'C=∠ACE'=10°,
综上所述,∠AEC的度数是10°或80°,
故答案为10°或80°.
17.证明　∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
在△AFB 和△DCE 中,AF =DC ,
∠A =∠D ,
AB =DE ,
∴△AFB ≌△DCE(S.A.S.),∴BF=EC,∠AFB=∠DCE,
∵∠AFB+∠CFB=180°,∠DCE+∠ECF=180°,
∴∠BFC=∠ECF,∴BF ∥EC,
又∵BF=EC,∴四边形BCEF 是平行四边形,
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF 是矩形.
18.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ∥BE,AD=BC,∵DE ∥AC,∴四边形ACED 为平行四边形,∴AD=CE,∴BC=CE.
(2)∵AC ∥DE,∴∠ACB=∠E=30°,∵四边形ABCD 为矩形,∴OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=30°,∴∠BOC=120°.
19.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD ∥BC,又∵EF ∥CD,∴四边形CDEF 为平行四边形,∵CE 平分∠BCD,∴∠ECB=∠ECD,∵AD ∥BC,∴∠ECB=∠DEC,∴∠ECD=∠DEC,∴CD=DE,∴四边形CDEF 是菱形.
(2)∵四边形CDEF 为菱形,
∴EO=CO=12CE=12×16=8,DO=FO=12DF=12×12=6,CE ⊥DF,在Rt △COF 中,由勾股定理得CF=CO 2+F O 2=82+62=10,
∵OG ⊥CF,∴S △COF =12CO·FO=12CF·OG,∴OG=CO ·FO CF
=8×610=245.20.解析　(1)四边形BPCO 为平行四边形.理由:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴OC=OA=12AC,OB=OD=12BD,∵以点B,C 为圆
心,12AC,12BD 的长为半径画弧,两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC,∴四边形BPCO 为平行四边形.
(2)当AC ⊥BD,AC=BD 时,四边形BPCO 为正方形.
∵AC ⊥BD,∴∠BOC=90°,∴四边形BPCO 为矩形.
∵AC=BD,OB=12BD,OC=12AC,∴OB=OC,∴四边形BPCO 为正方形.
21.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,四边形EFGH 是菱形,
∴AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB,
∴∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB,
即∠ADE=∠CDG,
在△ADE和△CDG中,AD=CD,
∠ADE=∠CDG, ED=GD,
∴△ADE≌△CDG(S.A.S.).
(2)如图,过E作EQ⊥DF于Q,则∠EQB=90°,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AD=AB=AE+EB=2+2=4,∠EBQ=∠CBD=45°,∴∠QEB=45°=∠EBQ,∴EQ=BQ,
∵BE=2,∴2EQ2=22,∴EQ=BQ=2(负值舍去),
在Rt△DAE中,由勾股定理得DE=AD2+A E2=42+22=25,
∵四边形EFGH是菱形,∴EF=DE=25,
∴QF=EF2-E Q2=(25)2-(2)2=32,
∴BF=QF-QB=32-2=22.
22.解析　(1)BE+DF=BC.
(2)BE=BC+DF.理由如下:
如图,连结AC,∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADC=60°,
∴△ABC和△ACD为等边三角形,
∴AC=DC,BC=AC,∠BAC=60°=∠ADC=∠ACD,
∴∠EAC=∠FDC=120°,
∵∠ACD=∠ECF=60°,∴∠ACE=∠DCF,
在△EAC和△FDC中,∠EAC=∠FDC, AC=DC,
∠ACE=∠DCF,
∴△EAC≌△FDC(A.S.A.),∴AE=DF,∵BE=AB+AE,∴BE=BC+DF.
(3)4.。