如皋中学高三考前指导压题卷及答案

江苏省如皋中学2021届高三考前指导最后一卷(压题卷)
〔参考局部名校的最后一卷〕
1．(填空题压轴题:考察分段函数的单调性,字母运算等)函数
f (x )=3
(21)34,,a x a x t x x x t -+-≤⎧⎨->⎩
，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．那么a 的取值范围是___________ 答案:1
2
a ≤
2.(三角与向量:考察两角和与差的三角公式,解三角形,三角与向量数量积)
设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=. 〔Ⅰ〕求角B 的大小；
〔Ⅱ〕假设b =，试求AB CB ⋅的最小值. 答案:2,23
B π
=-
3. (立体几何:考察垂直与平行的判断)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，4AD =
，
BD =，28AB CD ==．
〔Ⅰ〕设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； 〔Ⅱ〕当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？ 证明：〔Ⅰ〕在ABD △中，
∵4AD =
，BD =，8AB =，∴222AD BD AB +=． ∴AD BD ⊥． 又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD
平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD ．
又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD ．
〔Ⅱ〕当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD ． 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ． ∵AB DC ∥，所以四边形ABCD 是梯形． ∵2AB CD =，∴:1:2CN NA =．
又 ∵:1:2CM MP =，∴:CN NA =:CM MP ，∴PA ∥MN ． ∵MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD .
A
B
C
M P
D
4.(解几:考察椭圆的有关几何性质,直线与圆的位置关系,曲线的轨迹,存在性问题与定值问
题等)椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条
切线，切点分别为,A B ．
〔1〕〔ⅰ〕假设圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e 的值；
〔ⅱ〕假设椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； 〔2〕设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，问当点P 在椭圆上运动时，
222
2
a b ON
OM
+
是否为定值？请证明你的结论．
解：〔1〕〔ⅰ〕∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ： 2
2
2
x y b +=，∴ b c =，
∴ 2222b a c c =-=， 222a c =，∴2
2
e =
． 〔ⅱ〕由90APB ∠=及圆的性质，可得2OP b =，∴2
222,OP b a =≤∴222a c ≤
∴21
2
e ≥
，212e ≤<． 〔2〕设0()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，那么
011011y y x
x x y -=--, 整理得220011x x y y x y +=+
22211x y b += ∴PA 方程为：211x x y y b +=，
PB 方程为：222x x y y b +=．
从而直线AB 的方程为：2
00x x y y b +=．令0x =，得20
b ON y y ==，令0y =，
得2
0b OM x x ==，∴222222222002
2
442a y b x a b a b a b b b ON OM ++===，∴2222
a b ON OM
+为定值，定值是2
2a b
.
5.(解几备选)椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，Q 是椭圆外
的动点，满足1||2.F Q a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足
220,||0PT TF TF ⋅=≠．
〔Ⅰ〕设x 为点P 的横坐标，证明1||c
F P a x a
=+
； 〔Ⅱ〕求点T 的轨迹C 的方程； 〔Ⅲ〕试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 假设存在，求∠F 1MF 2的正切值；假设不存在，请说明理由．
解 〔Ⅰ〕设点P 的坐标为〔x,y 〕,由P 〔x,y 〕在椭圆上，
得
1||(F P
x ===
又由
,x a ≥-知0c a x c a a
+≥-+>， 所以1||.c F P a x a
=+
〔Ⅱ〕 当0||=PT 时，点〔a ，0〕和点〔－a ，0〕在轨迹上．
当||0PT ≠且2||0TF ≠时，由2||||0PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点． 在△QF 1F 2中，11
||||2
OT FQ a
=
=，所以有222.x y a += 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222.x y a +=
〔Ⅲ〕 C 上存在点M 〔00,y x 〕使S=2b 的充要条件是222002
0,
12||.2
x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④
由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当c
b a 2<
时，不存在满足条件的点M ．
当c
b a 2
≥时，100200(,),(,)MF c x y MF c x y =---=--， 由222222120
0MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=，121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠， 212121
||||sin 2
S MF MF F MF b =
⋅∠=，得.2tan 21=∠MF F 6.(应用题)某种稀有矿石的价值y 〔单位：元〕与其重量ω〔单位：克〕的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。

⑴写出y 〔单位：元〕关于ω〔单位：克〕的函数关系式；
⑵假设把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；
⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。

〔注：价值损失的百分率100%-=⨯原有价值现有价值
原有价值
；在切割过程中的重量损耗忽略
不计〕
解⑴依题意设2
(0)y k ωω=>，又当3ω=时，54000y =，∴6000k =， 故2
6000(0)y ωω=>。

⑵设这块矿石的重量为a 克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值
为22136000()6000()44a a +，价值损失为222136000(6000()6000())44
a a a -+，
价值损失的百分率为222213
6000[6000()6000()]
44100%37.5%6000a a a a
-+⨯=。

⑶解法1：假设把一块该种矿石按重量比为:m n 切割成两块，价值损失的百分率应为
22221[()()]()m n mn m n m n m n -+=+++，又2
22
2(
)
212()()2
m n mn m n m n +⋅≤=++，当且仅当m n =时取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率到达最大。

解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为:1x ，那么价值损失的百分率为
222
121[()()]1121x x
x x x x -+=++++，又0x >，∴212x x +≥， 故222121222
x x x x x x ≤=+++，等号当且仅当1x =时成立。

答：⑴函数关系式2
6000(0)y ωω=>； ⑵价值损失的百分率为37.5%； ⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率到达最大。

7.(数列压轴题)无穷数列{a n }中，a 1，a 2，…，a m 是首项为10，公差为－2的等差数列；
a m ＋1，a m ＋2，…，a 2m 是首项为12，公比为1
2
的等比数列〔其中 m ≥3，m ∈N *〕，并对任意
的n ∈N *，均有a n ＋2m ＝a n 成立． 〔1〕当m ＝12时，求a 2021；
〔2〕假设a 52＝
1
128
，试求m 的值； 〔3〕判断是否存在m 〔m ≥3，m ∈N *〕，使得S 128m ＋3≥2021成立？假设存在，试求出m 的值；假设不存在，请说明理由．
解〔1〕m ＝12时，数列的周期为24．
∵2021＝24×83＋18，而a 18是等比数列中的项，
∴a 2021＝a 18＝a 12＋6＝611
()264
=．
〔2〕设a m ＋k 是第一个周期中等比数列中的第k 项，那么a m ＋k ＝1
()2
k ．
∵
711
()1282
=，∴等比数列中至少有7项，即m ≥7，那么一个周期中至少有14项． ∴a 52最多是第三个周期中的项．
假设a 52是第一个周期中的项，那么a 52＝a m ＋7＝1128
． ∴m ＝52－7＝45；
假设a 52是第二个周期中的项，那么a 52＝a 3m ＋7＝1
128
．∴3m ＝45，m ＝15； 假设a 52是第三个周期中的项，那么a 52＝a 5m ＋7＝
1
128
．∴5m ＝45，m ＝9； 综上，m ＝45，或15，或9． 〔3〕2m 是此数列的周期，
∴S 128m ＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和． ∴S 2m 最大时，S 128m ＋3最大． ∵S 2m ＝
2211[1()]
(1)11112512210(2)111()12224212m m m
m m m m m m --+⨯-+=-++-=--+--， 当m ＝6时，S 2m ＝31－164＝633064
； 当m ≤5时，S 2m ＜6330
64
； 当m ≤7时，S 2m ＜211125(7)24--
+
＝29＜63
3064
． ∴当m ＝6时，S 2m 取得最大值，那么S 128m ＋3取得最大值为64×63
30
64
＋24＝2007． 由此可知，不存在m 〔m ≥3，m ∈N *〕，使得S 128m ＋3≥2021成立．
8.(数列压轴题备选)数列}{n a 的通项公式是1
2-=n n a ，数列}{n b 是等差数列，令集合
},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小
到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．
〔1〕假设n c n =，*
N n ∈，求数列}{n b 的通项公式； 〔2〕假设φ=B A ，数列}
{n c 的前5项成等比数列，且11=c ，89=c ，求满足
4
5
1>+n n c c 的正整数n 的个数． 答案: (1)n b n =或1n +或2n +
(2)分类讨论:数列123459{},,,,,
,n c c c c c c c
假设22c =; 32c =; 42c =; 52c =.
只有32c =满足,数列{}n c 为
,
n b =.
满足
4
5
1>+n n c c 的n 的值为1,2,3,4,6共5个. 9.(函数压轴题:)函数()()||2
0,1x x
f x a a a a
=+>≠，
〔1〕假设1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；
〔2〕记函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，假设()g x 的最值与a 无关，求a 的取值范围． 解：(1)令x a t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2
t m t
+
=有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，
所以2280,1,2120
m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，
解得3m <<，故实数m
的取值范围为区间. (2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，
a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，
b )20x -≤<时，
2
11x
a a
≤<()2x x g x a a -=+，所以 ()2
21
'()ln 2ln ln x x x x
a g x a a a a a a
--=-+=
ⅰ当
21a
即1a <(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增， 所以 222()[,3)g x a a ∈+
，综合a ) b )()g x 有最小值为2
2
2a a +与a 有关，不符合
ⅱ当
21a ≤
即a 时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12log 22
a x -<<-时，
'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1
[2,log 2]2a --上递减，在
1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭22a ) b ) ()g x 有最小值为22a 无关，符合要求．
②当01a <<时，
a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈
b ) 20x -≤<时，2
11x a a
<≤
，()2x x
g x a a -=+， 所以 ()2
21
'()ln 2ln ln x x x x
a g x a a a a a a --=-+= 0<，()g x 在[2,0)-上递减，
所以 222()(3,]g x a a ∈+
，综合a ) b ) ()g x 有最大值为2
22a a
+与a 有关，不符合 综上所述，实数a 的取值范围是42a ．
附加题22,23
10. 22(空间向量)
11.斜三棱柱111,90,ABC A B C BCA AC BC -∠==，，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点
D ，又知11BA AC ⊥。

〔I 〕求证：1AC ⊥平面1A BC ； 〔II 〕求求二面角1A A B C --余弦值的大小 【解】〔I 〕如图，取AB 的中点E ，那么//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥
平面ABC ，
以
1
,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，
那么
()
0,1,0A -，
()
0,1,0C ，
()
2,1,0B ，
()10,0,A t ，
()
10,2,C t ，
()10,3,AC t =，
()
12,1,BA t =--，
()
2,0,0CB =，由
10AC CB ⋅=，知1A
C CB ⊥，
又
11
BA AC ⊥，从而
1AC ⊥
平面
1A BC
；
〔II 〕由
1AC ⋅2
130BA t =-+=
，得t =。

设平面
1A AB
的法向量为
()
,,n x y z =
，
(
1AA =，()2,2,0AB =，所以
10
220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =
，那么(
)3,n =
-
所以点
1
C 到平面
1A AB
的距离1||221
7
||AC n d n =
=
〔III 〕再设平面
1A BC
的法向量为
()
,,m x y z =，
(
10,
CA =-，()2,0,0CB =，
所以
1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅==⎪⎩，设1z =，那么()
0,3,1m =，
故7
cos ,7||
m n m n m n <>=
=
-，根据法向量的方向，
可知二面角
1A A B C
--
11.〔考察:排列组合,数学归纳法,概率等〕用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含
1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开场，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2
=n 时排出的字符串是
,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如下
图.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .
〔1〕试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4
N n n
n a n n +-=∈≥； 〔2〕现从,,,a b c d 四个字母组成的含*
1(,2)
N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193
P ≤≤.
a
b c d n=1
a
b c
d n=2
a c d a
b d a b c
解〔1〕：证明：
〔ⅰ〕当1n =时，因为10a =，
33(1)
04
+-=，所以等式正确. 〔ⅱ〕假设n k =时，等式正确，即*33(1)(,1)4
N k k
k a k k +-=
∈≥， 那么，1n k =+时，因为
11
133(1)4333(1)33(1)33444
k k k k k k k k
k
k k a a ++++-⋅---+-=-=-==，
这说明1n k =+时等式仍正确.
据〔ⅰ〕，〔ⅱ〕可知，*33(1)(,1)4N n n
n a n n +-=
∈≥正确. 〔2〕易知133(1)13(1)[1]4343n n n
n n
P +--=⋅
=+， ①当n 为奇数〔3n ≥〕时，13(1)43n P =-，因为327n ≥，所以132
(1)4279
P ≥-=，又131(1)434n P =-<，所以2194
P ≤<；
②当n 为偶数〔2n ≥〕时，13(1)43n P =+，因为39n ≥，所以131
(1)493
P ≤+=，又
131(1)434n P =+>，所以1143P <≤.综上所述，2193
P ≤≤.。