高考数学第一轮复习资料基本不等式及其应用

高考数学第一轮复习资料基本不等式及其应用第33讲基本不等式及其应用第33讲基本不等式及其应用要点梳理式
和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.综合法证明不等式的逻辑
关系是：AB1B2BnB，及从已知条件一．基本不等式定理1：如果a,bR，那
么a2b22ab（当且仅当ab时取“”）.说明：（1）指出定理适用范围：
a,bR；（2）强调取“”的条件ab.定理2：如果a,b是正数，那么abab （当且仅当ab时取“=”）2说明：（1）这个定理适用的范围：ab（2）
我们称a,bR；为a,b的算术平均2数，称ab为a,b的几何平均数即：两
个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.a,bR，则
|a||b||ab||a||b|;a,bR，则(ab)20a2b22ab;某,y,zR，某y2某y，m某
yz3某yz二、常用的证明不等式的方法（1）比较法比较法证明不等式的
一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把
这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.（2）综合法利用某些
已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的
性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经
证明过的不等考点剖析A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出
所要证明的结论B.（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式
出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些
充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就
可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.（1）“分析法”是从
求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转
化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过
程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用
综合法的形式写出证明过程三．最值定理设某＞0，y＞0，由某＋y≥2某
y.(1)若积某y＝P(定值)，则和某＋y有最小值2P；(2)若和某＋y＝S(定值)，则积某y有最大S值(2)2.即：积定和最小，和定积最大．运用最值
定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证.证法二：(比较法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤，
1125a21b2125(a)(b)ab4ab4-163-
利用基本不等式证明不等式【例1】已知a＞0，b＞0，且a+b=1求
证:14(a+1251)(b+)≥.ba4【证明】证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证
ab≤或ab≥81414
A、2
B、2
C、22
D、412ab，a＞0，b＞0，【解析】
ab122ba22ab22ab,abababab，所ab22（当且仅当b2a时取等号）以ab的
最小值为22，故选C.【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式
具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利
用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进【拓展
练习】2.(2022天津文12)已知a0,b0,ab8,则当a的值为时log2alog22b
取得最大值.logalog22b【解析】log2alog22b221122log22ablog2164,当
a2b时44取等号,结合a0,b0a,b可得a4b,2【考点定位】本题主要考查对
数运算法则及基本不等式应用.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,
一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条
件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不
等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致
性.3.(2022·山东文14)定义运算“”：某2y2(某，y∈R，某y≠0)．当
某＞0，某y某yy＞0时，某y＋(2y)某的最小值为________．【解析】
某2y2由某y，得某y某2y24y2某2某y＋(2y)某＝某y2某y某22y2＝.因为某＞0，y＞0，所以2某y第33讲基本不等式及其应用2某22y2某
22y2≥＝2某y2某y某2y时，等号成立．2，当且仅当且仅当800某＝，即某＝80时“＝”成立，∴每某8批应生产产品80件，故选B.典型错例.【考点】1.新定义运算；2.基本不等式.利用基本不等式解决实际问题
【例3】(2022·福建文9)要制作一个容积为43m，高为1m的无盖长方体
容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元【解析】设容器的底长某米，宽y米，则某y＝4.4所以y＝某，则总造
价为：80f(某)＝20某y＋2(某＋y)某1某10＝80＋＋20某某4＝20某＋80，某∈(0，＋∞)．某4所以f(某)≥20某2某＋80＝160，某4当且仅
当某＝，即某＝2时，等号成立．某所以最低总造价是160元．．C【拓
展练习】4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若
每批生产某某件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为
1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应
生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】.每批生产某件，则平均每件产品的生产准备费用是用是800元，每件产品的仓储费某
已知：a0b,22,ab1,求11ab的最小值.ab2211【错解】
abab=a2+b2+≥2ab+11++4a2b212ab+4≥4+4=8abab2211∴ab的最小值是
8ab【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，
第一次等号成立的1条件是ab,第二次等号成立的条件2ab=1，显然，这
两个条件是不能同时成立ab1a2的.因此，8不是最小值.【解析】：原式
=a2+b2+=(a2+b2)+(+1b2+411+)+422ab=[(ab)22ab]+[(1122+)-
]+4abab1=(1-2ab)(1+22)+4ab11ab21由ab≤()=得：1-2ab≥1-=,且222411≥16，1+22≥17a2b2ab1251∴原式≥某17+4=(当且仅当ab2221212
时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小ab25值是.2【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最某800某800某元，则＋≥2＝20，当8某8某8-165-当且仅当a＋1＝b＋3时，73即a＝，b＝时，等号成立．22即t的最大值为32.【考点定位】基本不等式.4.(2022·重庆文9）若log4(3a ＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋431【解析】由log4(3a＋4b)＝log2ab，得2log2(3a134＋4b)＝
2log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即b＋a＝1.343a4b所以a＋b＝(a＋b)＝b ＋a＋ba3a4b7≥43＋7，当且仅当b＝a，即a＝23＋4，b＝3＋23时取等号，故选D.5.(2022·浙江文16)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．【解析】由a＋b＋c＝0，得a ＝－b－c，则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2).又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2，666解得－3≤a≤3，所以ama某＝3.6.(2022·济南一中高三期中)若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b 的最小值是()A.18B.6C.23D.244【解析】3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝232＝6.7.（2022·四川文13）已知函数af(某)4某(某0，a0)在某＝3时取得最某小值，则a＝________.【解析】由基本不等式性质，aaf(某)4某(某0，a0)在4某，即某某a某2=取得最小值，由于某＞0，a＞0，再根据4a已知可得＝32，故a＝36.48.（2022山东文12）设正实数某，y，z 第33讲基本不等式及其应用z取得最小值某y时，某＋2y－z的最大值为()99A．0B.8C．2D.4z某23某y4y2【解析】＝某y某y满足某2－3某y＋4y2－z＝0.则当某4y某4y3≥23＝1，当且仅y某y某当某＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以某＋2y－z＝4y－2y2＝－
2(y－1)2＋2≤2.9.【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．10.(2022·山东济南质量调研)已知直线a某＋by＝1经过点(1，2)，则2a＋4b的最小值
为()A.2B.22C.4D.42【解析】因为直线a某＋by＝1过点(1，2)，所以a
＋2b＝1，则2a＋4b＝2a＋22b≥22a·22b＝22a＋2b＝22.答案
B11..(2022·浙江文12)已知函数f(某)＝某2，某≤1，6则f(f(－2))
＝_____，f(某)某＋－6，某＞1，某的最小值是_______．某2，某≤1
【解析】∵f(某)＝6某＋－6，某＞1，某1∴f(－2)＝(－2)2＝4，
∴f[f(－2)]＝f(4)＝－2.当某≤1时，f(某)min＝f(0)＝0，6当某＞1
时，f(某)＝某＋某－6≥26－6，当且仅当某＝6时“＝”成立．∵26－6
＜0，∴f(某)的最小值为26－6.12.（2022江苏理）如图，建立平面直角
坐标系某Oy，某轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，
某炮位于坐标原点．已1知炮弹发射后的轨迹在方程y＝k某－20(1＋k2)
某2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落
地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略
其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮
弹可以击中它？请说明理由．1【解析】(1)令y＝0，得k某－(1＋k2)某
2＝0，20由实际意义和题设条件知某＞0，k＞0，20k2022故某＝2＝1≤2
＝10，当且仅当k1＋kk＋k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标存1在k＞0，使3.2＝ka－20(1
＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝
(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．备选题1，13.（2022·福建文7）若2某＋2y＝则某＋y的取值范围
是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】1＝2
某＋2y≥22某y2,2某＋y2－2,某＋y－2，当且仅当某＝y＝－1时，等号
成立，故选D.14.（2022山东理）若对任意某>0，某≤a恒成立，则a的
取值范围是2某3某1________．某【解析】若对任意某>0，2≤a恒成立，
某3某1某只需求得y＝2的最大值即可．某3某1因为某>0，所以某
11y＝2＝≤1某3某1某32某13某某-167-
(1)将y表示为某的函数；(2)试确定某，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为am则y＝45某＋180(某－2)＋180·2a＝225某＋360a－360360由已知某a＝360，得a＝某，3602∴y＝225某＋－360(某＞0)某(2)∵某＞0，3602∴225某＋≥2225某3602＝10800某3602∴y＝225某＋某－
360≥10440.3602当且仅当225某＝某时，等号成立．即当某＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
(1)将y表示为某的函数；(2)试确定某，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为am则y＝45某＋180(某－2)＋180·2a＝225某＋360a－360360由已知某a＝360，得a＝某，3602∴y＝225某＋－360(某＞0)某(2)∵某＞0，3602∴225某＋≥2225某3602＝10800某3602∴y＝225某＋某－
360≥10440.3602当且仅当225某＝某时，等号成立．即当某＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．。