湖北省孝感高中11—12学年高二下学期期中考试(数学文)

孝感高中2011—2012学年度下学期期中考试
高二数学（文科）
命题人：蒋志方
本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将答案涂在答题卡对应位置上有效。

1．若命题p 的否命题是命题q ，命题q 的逆否命题是命题r ，则r 是p 的（ ）
A.逆否命题
B.否命题
C.逆命题
D.原命题
2．在一次射击训练中，某战士向标靶射击两次，命题p 表示“第一次射击击中标靶”；命题q 表示“第二次射击击中标靶”，则命题“甲在这两次射击中击中了标靶”用,p q 可以表示为（ ） A.p q ∧
B.p q ∨
C.()p q ∧⌝
D.()p q ⌝∨
3．已知(2)(2)2,(2)(2)1f g g f ''=-=-==，函数()()[()2]F x f x g x =-,则()2F '=（ ）
A.5-
B.5
C.3-
D.3
4．抛物线2
4y x =上一点()00,y x M 到焦点的距离为3，则0x =（ ）
A.0
B.
1516
C.1
D.2
5．若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A.
5
4 B.
5
3 C.
5
2 D.
5
1 6．函数 ()ln f x x =在点 00(,())M x f x 处的切线与直线1
2
y x m =+平行，则0x =（ ） A.
1ln 2
B.1ln
2
C.
12
D.2
7．“cos 0α>”是“2
2
cos 1x y α+=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）条件
A.充分而非必要
B.充要
C.必要而非充分
D.既非充分又非必要
8．已知双曲线22
1102
x y m m +=--的实轴在y 轴上且焦距为8，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A.y =
B.3
y x =±
C.3y x =±
D.13
y x =±
9．已知函数 ()tan f x x x =，则 ()4
f π
'=（ ）
A.12
π+
B.
12
π
+
C.14
π+
D.1
10．已知圆2
2
:(1)36O x y '-+=的圆心为O '，点()1
,0A -，M 是圆上任意一点，线段AM 的中垂线l 和直线O M '相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ）
A.22
198x y -= B.22
189x y += C.22
198
x y += D.22
189
x y -= 二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分，答案写在答题卡上对应位置上有效。

11. 命题“x R ∃∈，使210x x ++<”的否定是 . 12. 已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如右图 所示，则函数()y f x =在区间(,)a b 内的极小值点 为 .（写出所有你认为取得极小值 处的点的横坐标,若有多个用逗号隔开）
13．顶点在原点，对称轴为x 轴且过点(4,4)-的抛物线
的标准方程是 .
14．椭圆2
214
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，且线段1PF 的中点恰好在y 轴上， 12PF PF λ=，则λ= .
15．函数4312
()23
f x x x =-+的单调递增区间为 .
16．若椭圆19
362
2=+y x 的一条弦被点()2,4平分，则这条弦所在的直线方是 . 17．有以下命题：
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②椭圆的离心率为e ，则e 越接近于1，椭圆越圆；e 越接近于0，椭圆越扁； ③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称；
④已知函数()y f x =的定义域为(,)a b ，若()f x 在定义域内有极大值，则()f x 在定义域内必有最大值.
其中，错误．．的命题是 .（写出所有你认为错误的命题的序号） 三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上有效。

18．（本小题满分12分）已知命题2:,0p x R x a ∀∈-≥,命题2
:,220q x R x ax a ∃∈++-=，命题
""p q 或为假，求实数a 的取值范围.
19．（本小题满分12分）已知函数2
()()f x x x c =-(其中c 为常数，c R ∈) （Ⅰ）若函数()f x 在定义域内有极值，求实数c 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 在2x =处取得极大值，求实数c 的值.
20．（本小题满分13分） 如图，已知直线:4()l x my m R =+∈与x 轴交于点P ，交抛物线
)0(22>=a ax y 于B A ,两点，坐标原点O 是PQ 的中点，记直线BQ AQ ,的斜率
分别为21,k k .
（Ⅰ）若P 为抛物线的焦点，求a 的值，并确定抛物线的准线与以AB 为直径的圆的位置关系.
（Ⅱ）试证明：12k k +为定值.
21．（本小题满分14分）某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物（精灵”文洛克”）饰
品，生产该饰品的全部成本c 与生产的饰品的件数x （单位：万件）满足函数3
2120075
c x =+
（单位：万元）；该饰品单价p （单位：元）的平方．．与生产的饰品件数x (单位：万件)成反．
比．
，现已知生产该饰品100万件时，其单价50p =元.且工厂生产的饰品都可以销售完.设工厂生产该饰品的利润为()f x （万元）（注：利润＝销售额－成本）
（Ⅰ）求函数()y f x =的表达式. （Ⅱ）当生产该饰品的件数x (万件)为多少时，工厂生产该饰品的利润最大．
22．（本小题满分14分）已知点(P Q -，动点(,)N x y ，直线,NP NQ 的斜
率分别为12,k k ，且121
4
k k ⊗=-
（其中""⊗可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算），坐标原点为O ，点(2,1)M . （Ⅰ）探求动点N 的轨迹方程；
（Ⅱ）若""⊗表示乘法，动点N 的轨迹再加上,P Q 两点记为曲线C ，直线l 平行于直线
OM ，且与曲线C 交于,A B 两个不同的点.
(ⅰ)若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求出直线l 在y 轴上的截距m 的取值范
围.
(ⅱ)试求出△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.
孝感高中2011-2012学年度下学期期中考试
高二数学（文）参考答案
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
11. 2,10x R x x ∀∈++≥
12. 4x
13. 24y x =-
14. 7 15. (,1)-∞
16. 280x y +-= 17. ○
2○4 三.解答题
18. 解: 若p 为真，则2
a x ≤恒成立，0a ∴≤ ……………(3分) 若q 为真，则0∆≥，21a a ∴≤-≥或 ………………(6分)
p q ∨为假，,p q ∴都为假命题 ………………………………（9分） 0
21a a >⎧∴⎨
-<<⎩
得01a ∴<< ………………………………………（12分） 19. 解: （Ⅰ）依题意得2
2
()34f x x cx c '=-+ ……………(2分) 若()f x 有极值，则2
40c ∆=>，0c ∴≠ ……………(5分)
（Ⅱ）22
()340f x x cx c '=-+=得3
c x c =或，因为函数()f x 在2x =处取得了极大值，故
2x =是()0f x '=的一个实根，故0c > 3
c
c ∴> ………………（8分）
所以函数()f x 在(,)()(,)33
c c c c -∞+∞上递增，在,上递减,上递增，
()f x 在3c
x =处取得极大值； ……………………………………（10分）
263
c
c ∴
=⇒= ………………………………………（12分） 20. 解: 解: （Ⅰ）由直线:4l x my =+得点(4,0)P ,故482
a
a =⇒= …………(2分)
设交点1122(,),(,)A x y B x y ，它们的中点1212
(,)22
x x y y M ++，设点M 到抛物线 的准线的距离为d ，则1
2
42
x x d +=+， ……………(4分) 1212441
4222x x x x r AB ++++===+d =，所以抛物线的准线与以AB 为直径的圆相
切. ………………(6分) （Ⅱ）由直线:4l x my =+得点(4,0)P ,(4,0)Q ∴-，将直线:4l x my =+与抛物线的方程
22y ax =联立得2280y amy a --=，0∆>恒成立，
12122()8y y am y y a
+=⎧*⎨
=-⎩ …………………………………(9分)
12121244y y k k x x +=
+++122112(4)(4)
(4)(4)
y x y x x x +++=++ 122112(8)(8)
(4)(4)
y my y my x x +++=
++ ………………………(11分)
1212121228()
(4)(4)
my y y y k k x x ++∴+=
++，代入()*得，120k k +=，故12k k +为定值得征. …(13分)
21. （Ⅰ）依题意：设2k p x
= ，代入100,50x p ==得：4
2510k =⨯， ……(4分)
p ∴=
，故3
2()120075f x x =- …………………………(7分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2
6()75f x x '=
- ……………………(9分)
则2
6()002575
f x x x '>⇔
>⇔<< ………………… (12分) 所以函数()f x 在(0,25)()∞上递增，在25,+上递减，所以函数()f x 在25x =处有极大值；因为()f x 在(0,)+∞上只有唯一极值，所以函数()f x 在25x =处有最大值;
故当生产该饰品25万件时，可以获得最大利润 ……………………(14分) 22. 解：
（Ⅰ）1k =
2k =当""⊗
21
880(0)4x xy y +=-⇒+-=≠
当""⊗
21
8(0)4x y =-⇒=+≠
当""⊗
22
11(0)482x y y =-⇒+=≠
当""⊗
10)4x y =-⇒=≠………………(4分)
（Ⅱ）曲线C 为椭圆
22182
x y +=，设直线1
:(0)2l y x m m =+≠1122(,),(,)A x y B x y
联立直线与椭圆的方程得：2
2
2240x mx m ++-=，2
004m ∆>⇒<<，
122
12224
x x m
x x m +=-⎧⎨=-⎩ ……… ()* （ⅰ）因为点O 在以AB 为直径的园内，故12120OA OB x x y y ∙=+< ………(7分)
21212121251
()42
x x y y x x x x m ∴+=
+++，将()*
代入得22m m <⇒<<所以m
得取值范围为：0m m <<≠ ………………(9分)
（ⅱ）
原点O 到直线l
的距离d =
，弦长AB =
= (11)
)
S =
=2422()4(2)4f m m m m =-=--+(]0,4∈
故得当且仅当2
2m m ==即max 2S = ……………(13分) 此时的直线l
的方程为：1
:2
l y x = ……………(14分)。