2020河北中考 考点复习课件--8二次函数的实际应用1

熟记顶点坐标公式或配方法，注意 a 的正负及自变量 的取值范围
2.解题基本方法 (1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实 际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运 用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”， 建立利润与价格之间的函数关系．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元) 之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)求出每天的销售总利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式， 并求出当销售单价定为多少元时，当天的销售总利润最大？最大总利润为 多少元？
(3)若将每本书的利润调至不低于 5 元且不高于 10 元，则(2)中结论是否 仍然成立？若不成立，求当销售单价定为多少元时，当天的销售总利润最 大？最大总利润为多少元？
3．运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定取值范围； (2)利用配方法或顶点坐标公式求顶点； (3)检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要 求(例如抛物线开口向上求最小值，开口向下求最大值)．若在，则函数在顶 点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围内，根据增减 性确定最值．
跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看 作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，两人拿绳子的 手之间的距离为 4 m，离地面的高度为 1 m，以小明的手所在位置为原点， 建立平面直角坐标系．
(1)当身高为 1.5 m 的小红站在绳子的正下方，且距小明拿绳子手的右 侧 1 m 处时，绳子刚好通过小红的头顶，求绳子所对应的抛物线的解析式；
(2)根据总利润＝每本的利润×销售量，列出总利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式，结合自变量的取值范围，求出总利润的最大值；
(3)根据每本利润范围的改变，求出自变量的取值范围，观察(2)中的函 数关系式，看顶点的横坐标是否在取值范围之内，从而确定总利润的最大 值；
(4)先求出总利润为 2 160 元时的销售单价，然后结合图象，确定总利润 不低于 2 160 元时销售单价的取值范围；
(2)设问一般涉及求二次函数的表达式及最值． 最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值， 若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数 的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两 端点的函数值对比，从而求解出最值.
重难点选讲
重难点 1 “抛物线”型的实际应用 (2019·石家庄一模)跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动，集体
∴1 960＝(12a＋35－20－a)[－10(12a＋35)＋500]， 解得 a1＝2，a2＝58(不符合题意，舍去)． ∴a＝2.
【方法指导】 1.利润问题是最常见的二次函数的应用．常用的等量关 系：①总利润＝单位利润×销售量；②单位利润＝售价－进价．
2．销售量与进价之间的关系有三种表现形式：①文字叙述(如本例)； ②表格的形式(如练习)；③函数图象(一般都是一次函数关系)．
特别地，如果题中没有给出坐标系需要自己建立时，坐标系位置的选 取：(1)顶点在 y 轴上；(2)抛物线过原点，且图形都在同一象限；(3)顶点在 坐标原点……，要结合题意合理选择．
重难点 2 建立二次函数模型解决实际问题 (2019·通辽改编)当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地
球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广 大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20 元．根据以往经验： 当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每 天的销售量就减少 10 本．书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元．
(2)在(1)的条件下，若身高为 1.65 m 的小丽也站在绳子的正下方． ①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧 1.5 m 处时，绳子能碰到小丽的头 吗？请说明理由； ②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为 d m，为保证绳子不碰到小 丽的头顶，求 d 的取值范围．(参考数据： 10取 3.16)
【自主解答】 解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx(a≠0)， ∵1.5－1＝0.5(m)， ∴抛物线经过点(4，0)和(1，0.5)．
4．根据二次函数值的取值范围求自变量的取值范围时，可先求出以端 点值为方程的两个根，然后结合图象，确定自变量的取值范围．最后还要 结合自变量大的范围，再确定小的范围．
二次函数的实际应用1
考点解读
二次函数的实际应用
1．解二次函数应用题的步骤及关键点
步骤
关键点
(1)分析问题
明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变 量及函数
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(2)建立模型，确定函数解析式 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系
(3)求函数解析式
变量间的数量关系表示及自变量的取值范围
(4)应用性质，解决问题
(3)∵5≤x－20≤10， ∴25≤x≤30. ∵w＝－10(x－35)2＋2 250， 在对称轴的左侧，w 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝30 时，w 取最大值，最大值为 2 000. 故(2)中的结论不成立，当销售单价定为 30 元时，当天的销售总利润最 大，为 2 000 元．
(4)当 w＝2 160 时，－10(x－35)2＋2 250＝2 160， 解得 x1＝32, x2＝38. ∵抛物线开口向下， ∴当 32≤x≤38 时，w≥2 160. ∴当销售单价定在 32～38 元之间时，书店每天的销售总利润不低于 2 160 元．
(5)设每天扣除捐赠金额后可获得的利润为 W 元，则 W＝(x－20－a)(－10x＋500) ＝－10x2＋(10a＋700)x－500a－10 000. ∵对称轴为直线 x＝12a＋35，且 0＜a≤6， ∴35＜12a＋35≤38. 又∵30≤x≤38，－10＜0， ∴当 x＝12a＋35 时，W 有最大值．
②∵1.65－1＝0.65(m)，
当 y＝0.65 时，则 0.65＝－16x2＋23x， 整理，得 10x2－40x＋39＝0，
解得
x＝20±10
10 .
∵ 10≈3.16，∴x1≈2.316，x2≈1.684. ∴结合函数图象，d 的取值范围为 1.684≤d≤2.316.
【方法指导】 解抛物线型的问题时：(1)选择合适的形式设出函数解 析式；(2)利用题中的数据结合平面直角坐标系的位置确定点的坐标；(3)代 入解析式进而得到字母的值；(4)将问题转化为已知 x，代入解析式求 y 或已 知 y，代入解析式求 x，判断解是否符合题意．
∴1a＋6a＋b＝4b0＝.5，0，解得ab＝＝－23. 61， ∴绳子对应的抛物线的解析式为 y＝－16x2＋23x.
(2)①绳子能碰到小丽的头．理由如下： ∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧 1.5 m 处， ∴小丽距离原点 4－1.5＝2.5(m)． ∴当 x＝2.5 时，y＝－16×2.52＋32×2.5＝0.625. ∵1＋0.625＝1.625(m)＜1.65 m， ∴绳子能碰到小丽的头．
(4)若书店要求每天的销售总利润不低于 2 160 元，则销售单价定的范围 是多少？
(5)书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 a(0＜a≤6)元给困难职工， 每天扣除捐赠金额后可获得最大利润为 1 960 元，求 a 的值．
【思路点拨】 (1)根据“销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本”可以列出每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式，再根 据每本利润的范围求出自变量的取值范围；
(5)改变单个利润，重新表示总利润，根据总利润的最大值确定 a 的值．
【自主解答】 解：(1)y＝－10x＋500(30≤x≤38)． (2)w＝(－10x＋500)(x－20)＝－10(x－35)2＋2 250. ∵30≤x≤38，－10＜0， ∴当 x＝35 时，w 有最大值为 2 250. 答：当销售单价定为 35 元时，当天的销售总利润最大，为 2 250 元．