固体电子

它与原坐标的关系： 哈密顿量可以消去交叉项：
2 2 1 2 H ( Pq q Qq ) 2 q
m iqna Qq (t ) ( t ) e n N n
该坐标体系下的总能量：
E(q )
1 (nq )q 2
以上结果说明：N个原子的集体振动可转化为N 个 独立的谐振子，谐振子的振动频率就是晶格的振动频 率。
§2.1 晶格振动和声子
首先考虑一维晶格的振动，然后把一些主要结论 和方法推广到三维晶格振动的分析和研究中去。
2.1.1 一维原子晶格的振动 1.运动方程
由一系列质量为 m的原子构成的一维原 子链，如图所示，其 平衡时原子间距为a。 用x n表示第n个原子 的位移，第n个原子和第n+1个原子的相对位移为
其解为
2n i q ( ) a t i qnat 2 Ae x2 n Ae 2n i q ( ) a qb t 2 i qnat Be x2 n 1 B ' e
上式代表角频率为ω 的简谐振动。其它各点的位 移按下列原则得出：
晶格振动波矢的数目=晶体原胞数
2.1.3 晶格振动量子化 声子
经典力学中，一维谐振子的 动能为： 势能为：
1 2 T mx 2
1 U m 2 x 2 2
在量子力学中，力学量 用算符表示，能量算符即 哈密顿算符。
解薛定谔方程 1 1 2 2 总能量为： E T U mx m x 可得到能量的本征值： 2 2 力学量连续取值
* 同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不 同，其振幅不同。 * 相隔一个晶格常数a 的同种原子，位相差为qn。 把上式代入动力学方程，整理后得
B0 1 2 M A 1 2 e iqa 2 1 2 e A 1 2 m 0
在前面的讨论中没有考虑边界问题，认为一维晶体是无限的。但实 际晶体总是有限的，总存在边界，边界原子所处的情况与体内原子原子 不同，相应的振动状态也与体内原子不同。 设想一个有限晶体的长度为Na，对于一维有限的简单格子，第一个 原胞的原子核第N+1个原胞原子的振动情况相同，即
其中：
x 1 x N 1
1.5
晶体的结合
共价结合 金属性结合 范德华结合
பைடு நூலகம்
离子性结合
第二章
晶格振动和晶体的缺陷
在一般温度下，晶体内的粒子在各自平衡位置附 近振动。由于粒子间存在着相互作用力，因此，各 粒子的振动相互关联。 当振动很微弱时，粒子间非谐的相互作用可以忽 略，可近似地用简谐振动来处理，此时这些振动模 式是相互独立的。
按照上述方法，同样可以作出第二、第三、...布 里渊区。 布里渊区的边界由倒格 矢的垂直平分面构成。 第一布里渊区就是倒格 子原胞，其体积是一个倒 格点所占的体积，与倒格 子原胞的体积相等，即
b1 b 2 b 3
2
3
a1 a 2 a 3
2.1.2 周期性边界条件
1.氯化铯结构 2.氯化纳结构 3.金刚石结构 4.闪锌矿结构 5.密堆积结构
1.2晶列与晶面 倒格子
晶列指数（Index of Crystal Array）
晶面指数（Index of Lattice Plane）
1.2.3 倒格子
1.倒格子的定义
2.倒格矢与正格矢的关系
3.倒格矢与正格子晶面族的关系
d 2U dr 2 na
称为恢复力常数，或耦合常数。
除第n+1个原子外，原子n还受到第n-1个原子的 作用，其表达式为
f n,n 1 xn xn1
若仅考虑相邻原子的相互作用，则可以获得第 n 个原子所受到的总作用力，即
f n f n 1,n f n,n 1 ( xn 1 xn ) ( xn xn 1 ) ( xn 1 xn 1 2 xn )
例如：
热
格波在晶体中传播受到散射的过程可以理解为声子 同晶体中的原子的碰撞。
电
导电过程中电子遭受格波的散射，可以看作电子与声 子之间的碰撞。
光
光在晶体中的散射，很大程度上也可以看作是由于光 子与声子的相互作用乃至强烈的耦合。
§2.2 声学波与光学波
2.2.1 一维双原子晶格的振动
考虑由质量分别为M和m的两种不同原子所构成 的一维复式格子，如图所示。
这里的格波显然是平面简谐波， 如图所示。
格波的波长为 格波的波矢为
2 q
q
2

n
n是沿格波传播方向的单位矢量。
3. 色散关系
把上述解代入运动方程组中，可得

即
2
2 {1 cos(qa )} m
qa sin 2
一维晶格点阵的 第一布里渊区
xn1 xn
设在平衡位置 r na 时，两个原子间的相互作用势 能为 U (na), 产生相对位移后，相互作用势能变成 U (na ); 在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得
1 d 2U 2 dU , U (na ) U (na) 2 dr na 2 dr na
相应的动力学方程为
d 2 x2 n 1 m 2 x2 n 2 x2 n 1 1 x2 n 1 x2 n 2 dt 2 M d x2 n x x x x 1 2 n 1 2n 2 2n 2 n 1 2 dt
式中第一项是常数，第二项为零（在平衡时势能取极 小值）。
当振动很微弱时，第n+1个原子对第n个原子的恢复 力近似为
dU d U f n1,n x x n 1 n 2 d dr na
2
这一近似成为简谐近似，式中
xm Ae
i ( qmat )
Ae
i ( qnat )
xn
即当第m个原子和第n个原子的距离满足时，
2s ma na q
原子因振动而产生的位移相等。 也就是说，原子震动随空间呈 周期性变化，空间周期λ=2π/q
晶体中所有原子共同参与的同一种频 率的振动，不同原子的振动位相随空间 呈周期性变化，这种振动以波的形式在 整个晶体中传播，称为格波。
b 设相邻两个不 同原子构成一个 B A a 分子，分子内两 原子平衡位置的间距为b，恢复力常数为β1 ；两分 子间两原子对应的恢复力常数为β2 。质量为 m 的 原子位于...2n-1，2n+1，2n+3...各点，质量为 M 的原子位于...2n-2，2n，2n+1...各点。
若只考虑相邻原子的相互作用，则第 2n+1 个原 子所受的恢复力为
1 2
2 m
如图所示，上式给出了 q和ω的色散关系，它说 明格波具有简正模式。
波矢具有简约的性质，可 将波矢限于一个周期范围。
q a a
4．布里渊区
从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒 格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，所 围成的具有最小体积的区域，称为第一布里渊区， 图所示。
晶格周期性条件决定了模式所取的能量值是分立 的。这些独立的、分立的振动模式，可以用一系列 独立的简谐振子——声子来描述。这样，晶格振动 的总体就可以看作是声子的系综。
晶格振动同晶体的许多宏观热学性质，如固体的 比热、热膨胀、热导等问题有密切的联系，对晶体 的电学、光学性质也有很大的影响。 在研究晶体的光学、电学等宏观性质时，由于晶 格振动对光子、电子和中子等都有散射作用，而引 入声子概念可以把上述散射当作声子与光子、电子 和中子的相互碰撞来处理。所以，在研究与晶格振 动有关的各种物理问题时，就变的非常形象直观。
可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模 式，这就是声子的概念由来。
声子是晶格振动中的简谐振子的能量量子，声子 具有能量 、动量 q 。
声子只是反应晶体原子集体运动状态的激发单元， 它不能脱离固体而单独存在，不是一种粒子，是一种 准粒子。
引入声子概念，可使分析固体中的一系列微观过程 更加形象化。
（n=0,1,2…..）
即能量只能取一些分立值。
对于一维简单格子的情况，只考虑最紧邻粒子间的相互作用， 则晶体的势能为： 2 U （n 1 -n）
2
n
动能为：
1 n2 T m 2 n
势能函数包含有依赖于两原子坐标的交叉项，在处理多自由度的 振动问题时，往往引入新的坐标---正则坐标：
2 iqa




若A、B 有非零解，则其系数行列式必零，即

2 M 1 2

1 2 e iqa


1 2 e iqa
由此可以解得



0
2 m 1 2
1 2 1 2 16mM 1 2 2 2 2 qa sin m M m M 2 2mM 1 2 2
1.3晶体结构的对称性
晶系
1.3.1 物体的对称性与对称性操作 1.3.2 晶体的对称点群
1.3.3
晶系
1.三斜晶系 2.单斜晶系 3.正交晶系 4.四方晶系（又称正方晶系或四角晶系 ） 5.六方晶系 6.三角晶系 7.立方晶系
1.3.4 准晶系 1.4 确定晶体结构的方法
1.4.2 衍射方程 1.4.3反射公式 1.4.4 反射球
i ( qa t )
x1 A e
因此：
x N 1 A e
iqN a
i [ q ( n 1) a t ]