北师大版2020年九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 同步练习题

九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定同步练习题
一、选择题
1．下列条件中，能判断四边形是菱形的是(D)
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
2．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3，4)，点B的坐标是(3，－4)，要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是(C)
A．(－3，0) B．(3，0) C．(6，0) D．(5，0)
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，则∠DBC＝(A)
A．25°B．35°C．50°D．65°
4．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO.若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为(C)
A．50°B．55°C．65°D．75°
5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为8和6，则这个菱形的周长是(A)
A．20 B．24 C．40 D．48
6．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD ＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正确的个数是(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(C)
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
8.如图，菱形ABCD的周长是12，∠ABC＝120°，那么这个菱形的对角线BD的长是3．
9.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8.P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为4．
10.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(3，5)，则点C的坐标为(3，－5)．
11．如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为
12.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，
CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD ＝6时，平行四边形CDEB 为菱形．
13．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，有以下四个式子：①AB ＝BC ；②AC ＝BD ；
③AC ⊥BD ；④∠ABC ＝90°，从中任取一个作为条件，即可推出▱ABCD 是菱形的概率为1
2
．
14.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm ，则它的面积为24cm 2
.
15.如图，线段AB ＝10，分别以点A ，B 为圆心，6为半径作弧，两弧分别交于点C ，D ，连
接CD ，则CD
16.如图，在等边△ABC 中，BC ＝8 cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2 cm/s 的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)当t ＝8
3
或8s 时，以A ，F ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形；
17.如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，OC ＝2 cm ，∠ABO ＝30°，则菱形 ABCD 的面积是3_cm 2
．
18.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，OE ⊥AD 于点E ，交
BC 于点F ，则EF 的长为24
5
．
三、解答题
19.如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F.
(1)求证：四边形BEDF 为菱形；
(2)若∠A ＝90°，∠C ＝30°，BD ＝6，则菱形BEDF 的面积为
证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AB ， ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBF.
∴∠ABD ＝∠EDB.∴DE ＝BE. ∴四边形BEDF 为菱形．
20．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上一点，AC ＝AD ，连接CD.点O 是CD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，连接ED.过点D 作DF ∥BC 交AE 于点F ，连接CF.求证：四边形CEDF 是菱形．
证明：∵AC ＝AD ，点O 是CD 的中点， ∴AO ⊥CD. ∵DF ∥BC ， ∴∠FDO ＝∠ECO.
在△FDO 和△ECO 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FDO ＝∠ECO ，DO ＝CO ，∠FOD ＝∠EOC ＝90°，
∴△FDO ≌△ECO(ASA)． ∴FO ＝OE.
又∵EF ⊥CD ，OC ＝OD ，
21.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF.求证：
四边形DFCE 是菱形．
证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点， ∴DE ∥CF ，DE ＝12BC ，DF ∥CE ，DF ＝1
2AC.
∴四边形DECF 是平行四边形． ∵AC ＝BC ，∴DE ＝DF.
22.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，DF ⊥BC ，垂足为F ，AD ＝5，BC ＝12，
DF ＝4，∠C ＝45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x.
(1)当x 的值为1或11时，以点P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形； (2)点P 在BC 边上运动的过程中，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
解：能，理由如下：
当x ＝11时，四边形AEPD 是平行四边形，此时P 在E 的右边， 在Rt △CFD 中，∵∠C ＝45°， ∴CF ＝DF ＝4.
又∵CP ＝BC －BP ＝12－11＝1， PF ＝CF －CP ＝4－1＝3，
在Rt △PFD 中，PD ＝PF 2＋DF 2＝32＋42
＝5， ∴PD ＝AD ＝5.
∴四边形AEPD 是菱形．
23.如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接BE ，DF.求证：四边形BFDE 是菱形．
证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点， ∴BO ＝DO ，AD ∥BC. ∴∠EDO ＝∠FBO. 在△DOE 和△BOF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠EDO ＝∠FBO ，OD ＝OB ，
∠EOD ＝∠FOB ， ∴△DOE ≌△BOF(ASA)． ∴OE ＝OF.
又∵EF ⊥BD ，BO ＝DO ， ∴四边形BFDE 为菱形．
24.如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形．
证明：∵AE ∥BF ，
∴∠BCA ＝∠CAD ，∠CBD ＝∠BDA.
∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠BCA. ∴AB ＝BC.
∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDA. ∴AB ＝AD.∴AD ＝BC.
又∵BC ∥AD ，
∴四边形ABCD 是菱形． ∴四边形DFCE 是菱形．
25.如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．
(1)如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60°，求证：BE ＝DF ； (2)如图2，若∠EAF ＝60°，求证：△AEF 是等边三角形．
证明：(1)连接AC.
∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ＝CD ， ∴∠BCD ＝180°－∠B ＝120°，△ABC 是等边三角形． ∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC.
∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－∠AEF ＝30°.
∴∠CFE ＝180°－∠FEC －∠ECF ＝180°－30°－120°＝30°. ∴∠FEC ＝∠CFE.∴EC ＝CF. ∴BE ＝DF. (2)连接AC.
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠ACB ＝∠BAC ＝60°. ∴∠B ＝∠ACF ＝60°.
∵∠BAC ＝∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF. 在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠B ＝∠ACF ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAF ，
∴△ABE ≌△ACF(ASA)．∴AE ＝AF. ∵∠EAF ＝60°，
∴△AEF 是等边三角形．
26.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过点A 作AF ∥BC ，连接DF 交AC 于E.若E 是DF 的中点，请你判断四边形ADCF 的形状，并证明．
解：四边形ADCF 是菱形． 证明：∵AF ∥CD ， ∴∠AFE ＝∠CDE. ∵E 是DF 的中点， ∴EF ＝ED.
在△AFE 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AFE ＝∠CDE ，EF ＝ED ，
∠AEF ＝∠CED ，
∴△AFE ≌△CDE(ASA)．∴AE ＝CE. ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AC ＝2AE ，AC ＝2AB ，∴AB ＝AE. ∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠EAD. 在△AED 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AE ＝AB ，∠EAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，
∴△AED ≌△ABD(SAS)．
∴∠AED ＝∠B ＝90°，即DF ⊥AC. ∴四边形ADCF 是菱形．
27.如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，H 是对角线BD 上任意一点．
(1)如图1，当H 是线段BD 的中点，且AB ＝6时，求△DBC 的面积；
(2)如图2，当点H 不是线段BD 的中点时，I 是线段CB 延长线上一点，且DH ＝BI ，连接CH ，HI.求证：CH ＝HI.
解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BCD ＝∠A ＝60°，BC ＝DC ＝AB ＝6. ∴△BCD 是等边三角形． ∴BD ＝BC ＝6.
∵H 是线段BD 的中点， ∴BH ＝1
2BD ＝3，CH ⊥BD.
∴CH ＝BC 2
－BH 2
＝3 3. ∴S △DBC ＝1
2
BD ·CH ＝9 3.
(2)证明：过点H 作GH ∥BC ，交CD 于点G. ∵△BCD 是等边三角形，
∴∠DHG ＝∠DBC ＝60°，∠DGH ＝∠DCB ＝60°，CD ＝BD. ∴△DGH 是等边三角形． ∴DH ＝DG ＝GH.
∴CG ＝HB ，∠CGH ＝∠HBI. ∵DH ＝BI ，∴GH ＝BI.
在△CGH 和△HBI 中⎩⎪⎨⎪
⎧CG ＝HB ，∠CGH ＝∠HBI ，GH ＝BI ，
∴△CGH ≌△HBI(SAS)． ∴CH ＝HI.
28.如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝DF.
(1)求证：▱ABCD 是菱形；
(2)若AB ＝5，AC ＝6，求▱ABCD 的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC. ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.
又∵BE ＝DF ，∴△AEB ≌△AFD(ASA)． ∴AB ＝AD.∴▱ABCD 是菱形． (2)连接BD 交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6， ∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝1
2×6＝3.
∴BO ＝AB 2
－AO 2
＝52
－32
＝4. ∴BD ＝2BO ＝8.∴S ▱ABCD ＝1
2
AC ·BD ＝24.
29.如图1，在▱ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 上两点，AF 平分∠BAE ，∠EAD ＝∠FEC.
(1)求证：AB ＝AE ；
(2)如图2，若∠B ＝90°，AF 与DC 的延长线交于点H ，求证：四边形ABHE 为菱形；
(3)在(2)的条件下，若DH ＝16，AD ＝8，则AF 的长为
证明：(1)∵∠AEC ＝∠AEF ＋∠FEC ＝∠EAD ＋∠D ，∠EAD ＝∠FEC ，∴∠AEF ＝∠D. ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠EAF.
在△ABF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠AEF ，∠BAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，
∴△ABF ≌△AEF(AAS)．
∴AB ＝AE.
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD.∴∠BAF ＝∠EHA.
∵∠BAF ＝∠EAF ，∴∠EHA ＝∠EAF.
∴AE ＝HE.
∵AB ＝AE ，∴AB ＝EH.
又∵AB ∥EH ，∴四边形ABHE 为菱形．
30.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 边于点E ，EF ∥BC ，交CD 于点F ，点G 是BC 边的中点，连接GF ，且∠1＝∠2，CE 与GF 交于点M ，过点M 作MH ⊥CD 于点H.
(1)求证：四边形BCFE 是菱形；
(2)若CH ＝1，求BC 的长；
(3)求证：EM ＝FG ＋MH.
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD.∴∠1＝∠ECF.
∵EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形．
∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠ECF.
∴∠BCE ＝∠1.∴BC ＝BE.
∴四边形BCFE 是菱形．
(2)∵∠1＝∠ECF ，∠1＝∠2，
∵MH ⊥CD ，∴CF ＝2CH ＝2×1＝2.
∵四边形BCFE 是菱形，∴BC ＝CF ＝2.
(3)证明：连接BF ，交CE 于点O.
∵点G 是BC 的中点，∴CG ＝12
CB. ∵CH ＝12
CF ，∴CG ＝CH. 在△CGM 和△CHM 中，⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，∠GCM ＝∠HCM ，CG ＝CH ，
∴△CGM ≌△CHM(SAS)．
∴∠CGM ＝∠CHM ＝90°，即FG ⊥BC.∴CF ＝BF.
∵BC ＝CF ，∴BC ＝CF ＝BF.
∴△BCF 是等边三角形．∴∠BFC ＝60°.
∴∠2＝∠BFG ＝30°.
∵BF ⊥CE ，∴OM ＝MH.
∵12BC ·FG ＝12
BF ·OC ， ∴OE ＝OC ＝FG.∴EM ＝OE ＋OM ＝FG ＋MH.
31.如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，连接EF.
(1)求证：△ADE ≌△CDF ；
(2)若∠A ＝60°，AD ＝4，求△EDF 的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C.
∵DE ⊥BA ，DF ⊥CB ，
在△ADE 和△CDF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，
∴△ADE ≌△CDF(AAS)．
(2)∵△ADE ≌△CDF ，
∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF.
∵∠A ＝60°，
∴∠ADC ＝120°，∠ADE ＝∠CDF ＝30°.
∴∠EDF ＝60°.∴△DEF 是等边三角形．
在Rt △AED 中，∵AD ＝4，∠A ＝60°，
∴AE ＝2.∴DE ＝2 3.
∴△EDF 的周长为3DE ＝6 3.
32．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与三角板AFE 按如图1所示放置，现将三角板AEF 绕点A 按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P.
(1)求证：AM ＝AN ；
(2)当旋转角∠α＝30°时，判断四边形ABPF 的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵∠α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴∠α＝∠NAF.
又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，
∴△ABM ≌△AFN(ASA)．∴AM ＝AN.
(2)当旋转角∠α＝30°时，四边形ABPF 是菱形．
理由：∵∠α＝30°，∠EAF ＝90°，
∴∠BAF ＝120°.
∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°. ∴AF∥BC，AB∥EF.
∴四边形ABPF是平行四边形．
又∵AB＝AF，
∴四边形ABPF是菱形．。