2007年山东省青岛市中考数学试卷

2007年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．（3分）的绝对值是（）
A．B．﹣2C．D．2
2．（3分）如图所示圆柱的左视图是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（）A．B．C．D．
4．（3分）⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含
5．（3分）据有关部门统计，全国大约有1010万名考生参加了今年的高考，1010万这个数用科学记数法可表示为（）
A．1.010×103B．1010×104C．1.010×106D．1.010×107 6．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD ＝2cm，则梯形ABCD的面积为（）cm2．
A．3B．6C．6D．12
7．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）
是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）
A．不小于m3B．小于m3C．不小于m3D．小于m3
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．（3分）计算：．
9．（3分）甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图：
从2002～2006年，这两家公司中销售量增长较快的是公司．
10．（3分）化简：．
11．（3分）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程．
12．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．
13．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）．如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标为．
14．（3分）一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3，1，1，那么这个大长方体的表面积可能有种不同的值，其中最小值为．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；
（2）若∠BAC＝66°，则∠BPC＝度．
16．（6分）解方程组：．
17．（6分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？
（3）如果上述样本的平均数为157cm，方差为0.8；该校八年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么（填“七年级”或“八年级”）学生的身高比较整齐．
18．（6分）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
19．（6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°，tan21.3°，sin63.5°，tan63.5°≈2）
20．（8分）某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙
的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解析下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案写出解析过程；
（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？
21．（8分）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′处，
折痕为EF ．
（
1
）求证：△ABE ≌△AD ′F ；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
22．（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，
销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝﹣2x +240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：
（1）求y 与x 的关系式；
（2）当x 取何值时，y 的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间
内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
23．（10分）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△
ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP AD时（如图②）：
∵AP AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD S△ABD S△CDA
＝S四边形ABCD（S四边形ABCD﹣S△DBC）（S四边形ABCD﹣S△ABC）
S△DBC S△ABC．
（2）当AP AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：；
（4）一般地，当AP AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP AD（01）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：．
24．（12分）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
2007年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．（3分）的绝对值是（）
A．B．﹣2C．D．2
【解答】解：||．
故选：A．
2．（3分）如图所示圆柱的左视图是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选C．
3．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．
∴落地后至多有一次正面朝下的概率为．
故选：A．
4．（3分）⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含
【解答】解：根据点到直线的距离5＜圆的半径6，则直线和圆相交．
故选：C．
5．（3分）据有关部门统计，全国大约有1010万名考生参加了今年的高考，1010万这个数用科学记数法可表示为（）
A．1.010×103B．1010×104C．1.010×106D．1.010×107
【解答】解：1 010万＝1.010×107．
故选：D．
6．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD ＝2cm，则梯形ABCD的面积为（）cm2．
A．3B．6C．6D．12
【解答】解：如图，作CE垂直AB于点E．作CF平行AD交AB于F．
已知对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠DAB＝60°⇒∠DAC＝∠CAB＝30°⇒DA＝DC＝BC ＝2
又因为AD∥CF⇒∠CFB＝∠B＝60°⇒△BCF为等边三角形
根据勾股定理可求出CE
AB＝AF+BF＝4
故等腰梯形的面积为（2+4）3．
故选：A．
7．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）
A．不小于m3B．小于m3C．不小于m3D．小于m3
【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P，∵图象过点（1.6，60）
∴k＝96
即P在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V．
故选：C．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．（3分）计算：1．
【解答】解：1＝2﹣1＝1．
9．（3分）甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图：
从2002～2006年，这两家公司中销售量增长较快的是甲公司．
【解答】解：从折线统计图中可以看出：甲公司2006年的销售量约为510辆，2002年约为100辆，则从2002～2006年甲公司增长了510﹣100＝410辆；乙公司2006年的销售量为400辆，2002年的销售量为100辆，则从2002～2006年，乙公司中销售量增长了400﹣100＝300辆；则甲公司销售量增长的较快．
10．（3分）化简：．
【解答】解：．
故答案为：
11．（3分）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程
8．
【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：
8．
12．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为16cm．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO
∴
又∵AB＝36
∴CD＝16．
13．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）．如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标为（8，3）．
【解答】解：由图知A点的坐标为（3，6），根据旋转中心C，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′的坐标为（8，3）．
14．（3分）一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3，1，1，那么这个大长方体的表面积可能有4种不同的值，其中最小值为32．
【解答】解：由于这四个小长方体的排列形状不同，所组成的长方体的表面积就不同：（1）可以排成最顶上是一个边长为2的正方形；
（2）可以排成最顶上是一个边长为4和1的长方形；
（3）可以排成最顶上是一个边长为6和1长方形；
（4）可以把四个小长方形并排在一起．根据长方体表面积求出．
∴大长方体长宽高分别是；（1）2，2，3；（2）4，1，3；（3）6，1，2；（4）12，1，1所以表面积可能有4种，分别为32；38；40；50
答案：有四种，最顶上是一个边长为2的正方形时，表面积为（3×2+3×2+2×2）×2＝32，最小为32．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；
（2）若∠BAC＝66°，则∠BPC＝度．
【解答】解：（1）如图（3分）
（2）连接点P和各顶点，以及AC．
∵P A＝PB，
∴∠P AB＝∠PBA，
同理∠P AC＝∠PCA，
∵∠BAP+∠P AC＝∠BAC＝66°，
∴∠P AB+∠PBA+∠P AC+∠PCA＝132°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P AB+∠PBA+∠P AC+∠PCA+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠BPC＝∠P AB+∠PBA+∠P AC+∠PCA＝132°．（6分）
16．（6分）解方程组：．
【解答】解：
① ②
，
①×3，得6x+3y＝15，③
②+③，得7x＝21，
x＝3．
把x＝3代入①，得2×3+y＝5，
y＝﹣1．
∴原方程组的解是．
17．（6分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？
（3）如果上述样本的平均数为157cm，方差为0.8；该校八年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么八年级（填“七年级”或“八年级”）学生的身高比较整齐．
【解答】解：（1）总数为：32÷32%＝100，则160﹣165的频数为：100﹣6﹣12﹣18﹣32﹣10﹣4＝18或100×18%＝18．
根据数据正确补全频数分布直方图，如下图：
（2）第50和51个数的平均数在155～160cm的范围内，所以样本的中位数在155～160cm 的范围内；
（3）方差越小，数据的离散程度越小，所以八年级学生的身高比较整齐．
18．（6分）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
【解答】解：（1）50302011.875（元）；
（2）虽然转动一次转盘，平均可以获得11.875元，但是获取的概率毕竟只有十六之七，领取10元购物券的机会却是百分之一百，虽然收益低，却更稳妥一些，因此说，这两种选择应该都是可以的．
19．（6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°，tan21.3°，sin63.5°，tan63.5°≈2）
【解答】解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，
得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设CD＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD，
∴BD，
在Rt△ACD中，tan A，
∴AD，
∴AD﹣BD＝AB，即60，
解得，x＝30．
BD15
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．
20．（8分）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解析下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案写出解析过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解这个不等式组，得20≤x≤40．
因为其中正整数解共有21个，
所以符合题意的生产方案有21种．
（2）根据题意，得y＝2.6x+2.8（100﹣x），
整理，得y＝﹣0.2x+280．
∵k＝﹣0.2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝40时成本总额最低．
21．（8分）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，
∠C＝∠D′AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．
∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，
即∠1+∠2＝∠2+∠3．
∴∠1＝∠3．
在△ABE和△AD′F中
∠′∠
∵
∴△ABE≌△AD′F（ASA）．
（2）解：四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠5＝∠6．
∴∠4＝∠6．
∴AF＝AE．
∵AE＝EC，
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AF＝AE，
∴平行四边形AECF是菱形．
22．（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）y＝（x﹣50）•w＝（x﹣50）•（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，∴y与x的关系式为：y＝﹣2x2+340x﹣12000．
（2）y＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450
∴当x＝85时，y的值最大．
（3）当y＝2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450＝2250
解这个方程，得x1＝75，x2＝95
根据题意，x2＝95不合题意应舍去
∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．
23．（10分）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△
ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP AD时（如图②）：
∵AP AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD S△ABD S△CDA
＝S四边形ABCD（S四边形ABCD﹣S△DBC）（S四边形ABCD﹣S△ABC）
S△DBC S△ABC．
（2）当AP AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC S△DBC S
；
△ABC
（4）一般地，当AP AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP AD（01）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S
S△DBC S△ABC．．
△PBC
【解答】解：（2）∵AP AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD S△ABD S△CDA
＝S四边形ABCD（S四边形ABCD﹣S△DBC）（S四边形ABCD﹣S△ABC）S△DBC S△ABC．
∴S△PBC S△DBC S△ABC
（3）S△PBC S△DBC S△ABC；
（4）S△PBC S△DBC S△ABC；
∵AP AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP S△CDA
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD S△ABD S△CDA
＝S四边形ABCD（S四边形ABCD﹣S△DBC）（S四边形ABCD﹣S△ABC）S△DBC S△ABC．
∴S△PBC S△DBC S△ABC
问题解决：S△PBC S△DBC S△ABC．
24．（12分）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
【解答】解：（1）根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ BP，
即t（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP BQ，
3﹣t t，t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B，
∴PM＝PB•sin∠B（3﹣t），
∴S△PBQ BQ•PM•t•（3﹣t），
∴y＝S△ABC﹣S△PBQ，
3×（3）•t•（3﹣t），
t2t，
∴y与t的关系式为y t2t，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC S△ABC，
∴t2t32，
∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
（3）在Rt△PQM中，∵MQ＝|BM﹣BQ|＝|（1﹣t）|，
MQ2+PM2＝PQ2，
∴x2＝[（1﹣t）]2+[（3﹣t）]2，
（t2﹣2t+1）（9﹣6t+t2），
（4t2﹣12t+12）＝3t2﹣9t+9，
∴t2﹣3t（x2﹣9），
∵y t2t，
∴y t2t（x2﹣9）x2，
∴y与x的关系式为y x2．。