高二数学推理与证明数系的扩充与复数试题答案及解析

高二数学推理与证明数系的扩充与复数试题答案及解析
1.在复平面内，复数所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】本题主要考查的是复数的运算。

由条件可知，所以对应的点位于第四象限，应
选D。

2.的共轭复数是（）
A．i+2B．i-2C．-2-i D．2-i
【答案】B
【解析】，共轭复数为
【考点】复数运算及相关概念
3.在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由于复数，对应点为（-1，-1）是第三象限的点；
故选C
【考点】复数的运算及几何意义．
4.复数=（）
A．﹣i B．﹣1C．i D．1
【答案】C
【解析】复数．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有
两句是对的，则获奖的歌手是．
【答案】丙
【解析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人
说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．
故答案为：丙．
【考点】进行简单的合情推理．
6.复数z=的虚部为（）
A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i
【答案】B
【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简后得答案．
解：∵z==，
∴复数z=的虚部为﹣2．
故选：B．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
7.设复数z满足，那么z等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，
所以
，解得，，所以，故选D.
【考点】复数的代数运算
8.当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于（）
A．1B．－1C．i D．－i
【答案】D
【解析】由题意得，，所以，故选D．
【考点】复数的运算．
9.用反证法证明命题：“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）
A．至少有二个不小于2B．中至少有一个不小于2
C．都小于2D．中至少有一个小于2
【答案】C
【解析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于”的否定为“都小于”，故选C．
【考点】反证法．
10.观察下列各式：，则（）
A．28B．76C．123D．199
【答案】C
【解析】1＋3＝4，3＋4＝7,4＋7＝11，7＋11＝18，11＋18＝29，18＋29＝47，29＋47＝76，47＋76＝123，规律：从第3个数起每个数都是前面两个数的和．故选C．
【考点】归纳推理．
11.已知，观察下列式子：，，……，归纳得第四个式子为 .
【答案】
【解析】由已知第个式左边为，拆成，最右边为，即为
，因此第四个式子为．
【考点】归纳推理．
12.（莱因德纸草书）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包
分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小两份之和，问最小1份为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设五份儿中，中间的一份儿是，公差是，则
，，由，得
；所以，所以；所以最小的一份为，故选A.【考点】等差数列．
13.用数学归纳法证明：时,从“到”左边需增加的代数
式是__________.
【答案】
【解析】用数学归纳证明时，从“到”左边需增加的代
数式是．
【考点】数学归纳法．
【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法的应用、从“到”左边是式子的添加项问题，着重考
查了学生的推理能力和计算能力，属于中档试题，本题的解答中根据给定等式的结构规律，准确
找到等式左边“到”左边需增加的代数式是，即可化简得出结论，在数学
归纳法的添加项中，正确理解等式的结构规律是解答此类问题的关键．
14.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根
B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根
D．方程恰好有两个实根
【答案】A
【解析】由题意得，反证的假设是作出与所证结论的否性，可得“设为实数，方程
没有实根”，故选A.
【考点】反证法.
15.若＝(0，－3)，则对应的复数为( )
A．0B．－3C．－3i D．3
【答案】C
【解析】对应的复数是．故选C．
【考点】复数的几何意义．
16.复数为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是
A．（3，3） B．（-1，3） C（3，-1） D．（2，4）
【答案】B
【解析】，对应点为．故选B．
【考点】复数的几何意义．
17.由下列事实：
，
，
，
.
……
可得到第个等式合理的猜想是 .
【答案】
【解析】根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为（a-b），另一项每一项的次数均为n-1，而且按照字母a的降幂排列，故可得答案为
【考点】简单的合情推理
18.下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则. B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质.
C．三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸边形内角和是．
D．在数列中，，由此归纳出的通项公式.
【答案】A
【解析】三段论是演绎推理的一般模式，包含三个部分：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断.所以A是演绎推理,B，C，D是合情推理.
【考点】合情推理与演绎推理.
19.复数的共轭复数是_____________.
【答案】
【解析】,所以其共轭复数为.
【考点】1.复数四则运算；2.共轭复数.
20.下列推理过程利用的推理方法是（）
①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为0.4；②函数为偶函数
A．演绎推理归纳推理B．类比推理演绎推理
C．归纳推理合情推理D．归纳推理演绎推理
【答案】D
【解析】由题意得，①为归纳推理，在推理过程是由特殊到一般的推理过程；②为演绎推理，可利用三段论推理证得函数为偶函数.
【考点】合情推理与演绎推理.
21.在用数学归纳法证明不等式的过程中，当由n=k推到n=k+1时，不等式左边应增加（）
A．增加了一项B．增加了两项
C．增加了B中的两项但减少了一项D．以上都不对
【答案】C
【解析】当时，左边=当时，左边=
故选C.
【考点】1、数学归纳法．
22.设，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，所以，故选B.
【考点】复数的运算.
23.已知复数，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，得，故选D．【考点】1、共轭复数的概念；2、复数的模．
24.设均为正实数，则三个数，，（）
A．都大于2B．都小于2
C．至多有一个小于2D．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】假设，，三个数都小于，则，由
与矛盾，所以假设错误，故
选D.
【考点】反证法.
25.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误
【答案】C
【解析】∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，
∴不符合三段论推理形式，
∴推理形式错误，
【考点】简单的演绎推理
26.用分析法证明：若，则.
【答案】详见解析
【解析】分析使不等式成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证
试题解析：要证：.
∵，∴两边均大于零，因此只需证：
只需证：
只需证：
只需证：
即证：，它显然成立，∴原不等式成立.
【考点】不等式证明
27.复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，共轭复数为，所以为，故选C．
【考点】复数的运算．
28.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则_____________；____________.
（答案用表示）
【答案】6 ；
【解析】，根据递推关系，所以根据累加法，这个式子相加得到，又，所以，验证首项成立，故填：
6；.
【考点】1.数列的递推公式；2.累加法求和.
【易错点睛】本题考查数列通项的求法，属于基础题型，本题的易错点一是审题不清，第一项是1，没有图形，给出的图形是第二项，第三项，第四项，这样找递推关系的时候回出错，第二个
易错点是，当给出递推关系，累到时，应该是以上个式子相加，而不是个
式子相加，搞错项数也会出错，认真审题，避免以上易错点.
29.设复数z满足=i，则|z|=（）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】由题意得，，所以，故选A.
【考点】复数的运算与复数的模.
30.将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第行有个奇数），其中第行第个数表示为，例如，若，则（）
A．26B．27C．28D．29
【答案】B
【解析】前行共有奇数为个，所以第行的最后一个数为
，第行的第一个数为，当时，
，即第行的第一个数为，因为，所以是第
行的第个数，即，所以．
【考点】数列的性质．
【思路点睛】分析正奇数排列的正三角图表知，第行（其中）有个奇数，且从左到右按
从小到大的顺序排列，则是第个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数，由此即可求出结果．
31.如果非零实数，，两两不相等，且，证明：不成立．（用反证法证明）
【答案】见解析
【解析】由题要求用反证法证明，需先假设结论的反面，即成立；然后由假设出发，进行推理可
得出一个与条件矛盾的结论，则说明假设不成立，即原来的结论成立。

试题解析：证明：假设＝＋成立，则＝=，∴b2＝ac.
又∵b＝，∴＝ac，即a2＋c2＝2ac，即（a－c）2＝0.
∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾．∴＝＋不成立．
【考点】反证法的运用及推理论证能力。

32.已知，，，……可以归纳出：_______.
【答案】
【解析】由给定的不等式归纳其特点可知第n个式子左边为，结合的
规律可得第n个式子右边为，从而得到
【考点】归纳推理
33.计算= .
【答案】
【解析】
【考点】复数运算
34.把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到
如图乙所示三角形数阵，设为图乙三角形数阵中第行第个数，若，则实数对为________．
【答案】
【解析】由可以推断必在奇数行,又,因此必在第行中,这一行中总共
有个数,而,奇数又是相差两个,即与相差个数,所以应是第个数,故应填．
【考点】推理与证明．
【易错点晴】解答本题的关键是要研究清楚这个三角矩阵中数的分布规律,特别是第一个三角数阵
中的最后一个数的特征．都是行数的平方,即而每一行的个数是奇数,这是解答好
本题的关键之处．解答好本题除了具有较强的观察能力之外,还须有较强的推理判断能力．如在所
给的数是,要确定其必在奇数行行,再进一步确定在这一行的第几个数,这就容易解决了．35.用反证法证明：已知，且，则中至少有一个大于1．
【答案】详见解析
【解析】根据题意，首先假设原命题不成立，也就是x，y均不大于1成立，即x≤1且y≤1；两式相加可得x+y≤2，即可得与已知条件x+y＞2相矛盾的结论，即可证原命题成立
试题解析：假设均不大于1，即，
这与已知条件矛盾
中至少有一个大于1
【考点】反证法
36.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的
距离记为，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设中提供的信息及类比推理的思维模式可知答案D是正确的，应选D.
【考点】推理和证明的方式和方法．
【易错点晴】类比推理与归纳推理是高中数学的重要内容之一，也是高中数学中的难点内容，属于合情推理的范畴.由于这部分内容涉及到的内容较为广泛广泛，知识点较多所以解答这类问题除了要扎实掌握合情推理和逻辑推理的基本方式和方法外还要掌握和运用整个高中学段的数学知识.解答本题的关键是学会类比推理的格式和内容，本题中涉及到是面积与体积的关系，所以很容易获得答案D.
37.（2015•石家庄校级模拟）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
故获奖的歌手是丙
故先C
【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．
38.观察下列等式
……
照此规律，第个等式可为．
【答案】
【解析】题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：
（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），
每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，
由此可知第n个等式的右边为•1•3•5…（2n-1）．
所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=•1•3•5…（2n-1）．
故答案为
【考点】归纳推理
39.已知复数z满足为虚数单位，则复数为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得
【考点】复数运算
40.若（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为．
【答案】2
【解析】由题，为纯虚数则：
【考点】复数的运用及几何意义。

.
41.“∵四边形是矩形，∴四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提（）
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
【答案】B
【解析】用三段论形式推导一个结论成立，
大前提应该是结论成立的依据，
∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，
∴大前提一定是矩形的对角线相等
【考点】演绎推理的基本方法
42.设均为正实数，则三个数（）
A．都大于2B．都小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】由，当且仅当时，等号是成立的，所以至少有一个不小于，故选D．
【考点】基本不等式的应用．
43.已知，，…，，则、的值分别是．
【答案】
【解析】因为，所以，所以答案应填：
．
【考点】合情推理．
44.有三张卡片，分别写有和, 和,和，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡
片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数
字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
【答案】和
【解析】先从丙说可得丙拿的是和,或和,再由乙说地可得乙拿的是和，再从甲说的可得
甲拿的是和.
【考点】简易逻辑.
45.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点与原点的距离是__________．
【答案】
【解析】依题意，对应点为，到原点距离为.
46.复数（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】,故选A.
47.观察下列等式
……
照此规律，第个等式可为．
【答案】
【解析】题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有
两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号
内数的特点归纳第n个等式的左边应为：
（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），
每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个
数等于左边的括号数，
由此可知第n个等式的右边为•1•3•5…（2n-1）．
所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=•1•3•5…（2n-1）．
故答案为
【考点】归纳推理
48.在复平面内复数、对应的点分别为、，若复数对应的点为线段的中点，为复数的共轭复数，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，
则，从而,选C.
49.记为虚数集，设，，则下列类比所得的结论正确的是（）
A．由，类比得
B．由，类比得
C．由，类比得
D．由，类比得
【答案】C
【解析】选项A没有进行类比，故选项A错误；选项B中取不大于，故选项B
错误；选项D中取，但是均为虚数没办法比较大小，故选项D
错误，综上正确答案为C.
【点睛】本题考查复数及其性质、合情推理，涉及类比思想、从特殊到一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中等难题.本题可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均为虚数没办法比较大小，排除D，可得正确选项为C.
50.利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到
“”时，左边应增乘的因式是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由题意，n="k" 时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选C．【考点】数学归纳法
点评：本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从“n=k”变到“n=k+1”时，左边变化的项，属于
中档题
51.由:①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形，写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为__________．(写序号）
【答案】
【解析】根据三段论的模式，大前提为定理、事实或已知的结论，小前提为所举实例，结论则是
结果，所以根据题意很容易分析得作为大前提、小前提和结论的依次为
52.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个
的某顶点在另一个的中心，则这两个正
方形重叠部分的面积恒为；类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另
一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．
【答案】
【解析】本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中
一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【考点】合情推理中的类比推理．
53.已知复数满足等式（是虚数单位）.则的最小值是__________.
【答案】
【解析】设，即整理得，所以的最小值为点（1,1）到直线的距离，
点睛：此题要注意将模长的表达式写出来转化为直线方程，从而确定复数对应的点的坐标轨迹，然后确定问题表达式，发现是两点间距离公式，因此问题转化为点到直线的距离最小的问题，从而轻易求解
54.设是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】复数，故选C.
55.观察下列关系式：
，
，
，
，
……
则__________．
【答案】
【解析】关系式右边由两个部分组成，第一部分是正负号，第二部分是，即，故合起来填.
56.是虚数单位，复数（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【考点】复数运算
点评：复数运算中，分式形式的复数化简首先分子分母同乘以分母的共轭复数
57.已知复数若为实数，则实数m的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
58.观察下列式子：，，，，…，归纳得出一般规律为
__________．
【答案】
【解析】根据分子、分母规律可得：
59.在中，三边长分别为，，，则，将这个结论类比到空间：则在点引出的三条两两垂直的三棱锥中，则有__________．
【答案】
【解析】
因为为直角三角形的三边 , 其中c为斜边 , 则，类比到空间中：在四面
体V−ABC中 ,∠AVB=∠BVC=∠CVA= , 则S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VAC.故答案为S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VAC.
点睛：将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内的勾股定理，我们可以推断四面体的相关性质．
60.复数虚部为（）
A．-3B．-3C．3D．3
【答案】B
【解析】在复数中实部是4，虚部是，故选B.
61.复数=
A．+i B．+i C．1-i D．1+i
【答案】D
【解析】，故选D.
62.已知是虚数单位，是复数的共轭复数，，则的虚部为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则由题设可得，故应选答案A。

63.观察下列式子：据其中规律，可以猜想出：
______．
【答案】
【解析】由已知中的不等式：
我们可以推断出：右边方式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的倍减，即
，故答案为 .
【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
64.已知数列的前n项和为，且，令.
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，用数学归纳法证明是18的倍数．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）由，得出当时，，两式相减，整理得出，易证明数列是等差数列；（2），按照数学归纳法的步骤进行证明即可.
试题解析：（Ⅰ）当n＝1时，，∴.
当n≥2时，，
∴，即.
∴.
即当n≥2时.
∵，∴数列是首项为5，公差为3的等差数列.
∴，即.
∴.
（Ⅱ）.
①当n＝1时，，显然能被18整除；
②假设n＝k时，能被18整除，
则当n＝k＋1时，
＝
＝
＝
＝，
∵k≥1，
∴能被18整除.
又能被18整除，
∴能被18整除，即当n＝k＋1时结论成立.
由①②可知，当时，是18的倍数．
65.德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步
后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则的所有不
同值的个数为__________．
【答案】7
【解析】如果正整数按照上述规则施行变换后的第9项为1，则变换中的第8项一定是2，变换中的第7项一定是4；按照这种逆推的对应关系可得如下树状图：，
则的所有可能的取值为4，5， 6，32，40，42，256共7个，故答案为7.
点睛：本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力；利用第9项为1出发，按照规则，逆向逐项列出树状图，即可直观的求出的所有可能的取值.
66.实数分别取什么数值时，复数
（1）对应的点在轴的上方；
（2）为纯虚数.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）要点在轴上方，则需其虚部大于零，由此解得的取值范围.（2）将分母分
母实数化，然后根据实部为零，虚部不为零列不等式组，由此求得的值.
试题解析：
（1）由的对应点在轴上方，得，解得或.
（2）因为，由为纯虚数，得
，解得
67.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数B．都是偶数
C．中至少有两个偶数D．至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
【解析】结论：“自然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选D.
68.（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设；（2）已知，
，求证方程的两根的绝对值都小于.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于，即假设，以下结论正确的是（）
A．（1）与（2）的假设都错误B．（1）与（2）的假设都正确
C．（1）的假设正确；（2）的假设错误D．（1）的假设错误；（2）的假设正确
【答案】D
【解析】(1)A用反证法证明时，
假设命题为假，应为全面否定。

所以p+q⩽2的假命题应为p+q>2.故(1)错误；
(2)已知a，b∈R，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1，
|⩾1，
根据反证法的定义，可假设|x
1
故(2)正确；
故选D.
69.已知，则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】,所以对应点在第四象限.选D.
70.在数列中，，，，试猜想这个数列的通项公式．
【答案】
【解析】由已知，得，，，，．
所以猜想该数列的通项公式为．
【考点】本题主要考查归纳推理的意义，递推数列。

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
71.若实数m满足z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数，则｜z｜＝________．
【答案】3
【解析】由于为纯虚数，则，得，，
故，故答案为3.
72.若复数满足,则的虚部为（）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】由题意，得：，
∴的虚部为，故选D.
点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：
①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．
②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
③利用复数相等求参数．．
73.半径为r的圆的面积s(r)= ，周长c(r)=2，若将r看作上的变量，则=2
①式可用文字语言叙述为，圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；对于半径为R的球，若将R 看作上的变量，请你写出类似于①的式子________________．②该式可用文字语言叙述为_____________________
【答案】球的体积函数的导数等于球的表面积函数
【解析】结合球的表面积、体积公式可得：
类似于①的式子为．
②该式可用文字语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
74.对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立. （1）试给出这个常数的值；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；。