维纳霍普方程

维纳霍普方程
，并使用牛顿内点求解
### 1. Von Neumann-Hopf equation
威纳-霍普方程用于模拟物介质流动，可以有效地解释改性物质的流动，比如液态，气态
和乳状液等。

它最初通过拉格朗日隐式函数的方法而解出。

拉格朗日隐式函数的核心就是用未知函数的
梯度替换拉格朗日函数的梯度导数，然后求解未知函数。

威纳-霍普方程的另一种解法是使用牛顿内点法。

此方法构建以隐式函数为零点的非线性
方程作为起点，施加弹性因数，通过求解多次迭代，最终获得物理流动的近似解。

它首先
估计一个初始流量，然后每次迭代迭代时，基于应力分配原则，将原解替换为较新的流量，以便使隐式函数的结果更接近零。

由于因子的存在，解的精度也会逐步提高，最终形成收敛解。

### 2. Solving Von Neumann-Hopf equation with Newton interior-point method
牛顿内点法求解威纳-霍普方程就是指在不断更新未知变量的值的情况下，从而最小化拉
格朗日函数，并使其导数为0。

牛顿内点法通过不同的步骤来求解威纳-霍普方程：
a）建立隐式函数F(x) = 0作为不断更新变量x以求解威纳-霍普方程的基础。

b）用隐式函数F(x)构建拉格朗日函数Z = F(x)+λ(x-x0)，其中λ是一个正elastic因子，表示稀疏解的惩罚因子。

c）利用步骤（a）和步骤（b）构建的拉格朗日函数计算流量x的导数，并求当前的y和
y0的新的流量：
xn=x+α∇Zn
y=F(xn)
y0=F(xn0)
其中α是一个搜索步长，用于固定下降速度。

d）如果满足一定条件（比如y<ε或|y-y0|<ε），三种方法被认为已经收敛，结果为最终求解的精确解。

牛顿内点法求解威纳-霍普方程的缺点有：（1）它比拉格朗日隐式函数的解算法更复杂；（2）它需要比拉格朗日隐式函数求解法更多的计算步骤；（3）它受elastic因子的影响较大，一旦未正确设置，将影响物介质流动问题的求解。