【高二学习指导】高二数学不等式的解法讲解

【高二学习指导】高二数学不等式的解法讲解
不等式是
高二
学法导引
本节要求在熟练掌握一元一次、一元二次不等式的解法的基础上，会解有理不等式和
含绝对值的不等式及其他的不等式.关键要善于根据有关性质或定理，把它等价变形为一
元一次、一元二次不等式(组).必须注意的是，每一步变形，都应是不等式的等价变形.因此，在解不等式中，“一元一次、一元二次不等式的解法是基础，等价变形是灵魂”.
解高次不等式，常用数轴标根法;解含参数的不等式，要注意分类讨论，且分类讨论
后的解集一般要分别写出;用零点分段法求含绝对值不等式的解集时，最后应把各段的解
集合并.
知识要点精讲
2.高次不等式的解法
解简单的高次不等式，应对所给不等式进行同解变形，变为一边为0，另一边为若干
个一次因式之积的形式：
(4)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用“找零点分区间讨论”的方法即
零点分段法求解.
思维整合
【重点】本节的重点是有理不等式和含绝对值不等式的解法，其基础又是一元一次、一元二次不等式的解法.学习时要深刻理解不等式的等价变形的本质，熟练掌握一元
一次、一元二次不等式的解法，只有这样，解题时才能灵活自如.
【难点】本节的难点是解含有参数的不等式.由于参数的取值不同，会导致解集的
形式的不同，所以应对参数的取值进行分类讨论.通常根据参数的取值对最高次项的系数
的符号，根与根的大小以及不等号的影响来分类讨论.
【易错点】 1.不等式的变形过程不是等价变形的过程;2.对于含有参数的不等式，
不能正确合理地进行分类讨论.
精典例题再现
(2)对应的一元二次方程是否有实根与k的值有关，通过对判别式Δ的值的分析可求解.
点拨解一元二次不等式的一般步骤可概括为：(1)判断其对应的方程是否有根，若有，则求出根;(2)判断根的大小关系;
对于含有多个绝对值的不等式，常依据每个绝对值为零的点，将整个实数集划分为若干个区间，然后在每个区间内，通过讨论去掉绝对值符号，求出相应的解，最后求出所有解集的并集.这种方法被称之为零点分段法.求解时不能遗漏了各区间的端点的值.
例4 (1)解不等式x+1-x-2<1;
(2)若关于x的不等式x+1+x-2>k的解集为R，求k的取值范围.
[解析] 本例中的不等式具有鲜明的几何特征，可以依据绝对值的几何意义来求解.
[解] (1)∵x+1-x-2表示数轴上实数x对应的点到-1对应的点的距离与到2对应
的点的距离之差(如图6-4-1).
易知，当x=1时，x+1-x-2=1;若x>1时，x+1-x-2>1;当x<1时，x+1-x-2<1.因此，原不等式的解集为{xx<1｝.
(2)∵x+1+x-2表示数轴上实数x对应的点到-1对应点的距离与到2对应的点的距
离之和.
由图6-4-1知，当-1≤x≤2时，x+1+x-2=3，而当x<-1或x>2时，x+1+x-2>3，所以x+1+x-2的最小值为3.因此，当且仅当k<3时，不等式x+1+x-2>k的解集为R.故k的取值范围是(-∞，3).
点拨对形如x-a+x-bc的不等式，由于它们分别表示数轴上的点x到a、b点的距离之和或距离之差，因此可利用其几何意义来求解.此外，还可以用零点分段法求解.涉及此类不等式的选择题、填空题用前者求解更方便.
[解析] 先对所给不等式作等价变形，然后用数轴标根法可解.
点拨数轴标根法是解高次不等式和分式不等式(统称为有理不等式)的最简明的方法.其一般步骤是：先将不等式化成标准形式，即一端为0，一端为若干个一次因式之积的形式，然后在数轴上依次标出各因式的根(不必计较长度单位是否一致)，从最右上方开始画曲线，自右至左依次穿过各根对应的点，当曲线位于数轴上方时，表示各因式之积为正，曲线位于数轴下方时，则表示各因式之积为负，由此可写出已知不等式的解集.
必须注意的是：(1)各因式中x的系数都要为正1;(2)各因式都应是一次因式;(3)对于分式不等式要限定分母不能为零.
[解析] 原不等式可转化为高次不等式，利用数轴标根法可解.
[解] 原不等式等价于(x-a)(x-1)(x+1)<0或x-a=0.当a<-1时，由图6-4-4知，原不等式的解集为{xx≤a或-1
当-1
当a>1时，由图6-4-6知，原不等式的解集为{xx<-1或1
点拨一般地，含有参数的不等式中，参数的取值会影响到最高次项的系数的符号，也会影响到所对应的方程是否有根及根的大小关系，这些都会影响到解集的不同，所以要对参数的值进行分类讨论.常根据最高次项系数的符号，有没有实根及根的大小来分类.
[解析] 通过解不等式，对集合A、A∪B及A∩B均可化简.然后利用数轴，由A∩B 与A∪B来认知集合B，从而求出a、b.
[解]∵A=
点拨涉及几个不等式的解集的交或并或包含关系的问题，应利用数轴，将它们直观地反映出来，以利于问题的解决.
另外，对于集合C，由于它不易直接化简，故联系起相应的二次函数的图象，从图象中来探求m应具备的条件.这种方法是解决与此类似问题的有效方法.
[错解分析] 解分式不等式不能去分母(除非已知分母的值恒正)，否则会导致解集发生变化;用数轴标根法时，必须将原不等式化为一边为0，另一边为一次因式之积的形式，其中各因式中x的系数应是+1.
[错解分析] 根据不等式的性质，只有当一个不等式两边均为非负数，才能对两边进行平方，否则所得不等式与原不等式不等价.
[正解] 正解1：使用直接法，将原不等式等价转化为两个有理不等式组求解.
原不等式等价于不等式组
[错解分析] 解对数不等式主要是依据对数的运算性质和对数函数的单调性，将其转化为与之等价的不等式(组)，但要注意确保原不等式中的每一个对数都要有意义，否则会扩大解集.
能力升级平台
【综合能力升级】
会解简单的不等式是学好数学的基础.中学数学各章节里都有涉及不等式的求解问题.尤其是求函数的定义域、值域，讨论函数的单调性以及求某变量的取值范围等问题，更是
离不开解不等式.各级各类考试中对解不等式的考查主要是融会在解决求变量的范围的问
题中，也有单独考查含参数不等式的问题.
点拨利用函数的单调性解不等式，是考查不等式的解法的热点题型.求解时，应将
各个中间变量转化到给定的单调区间上来.在此条件下将给定的不等式转化为与之等价的
不等式组.这里充分运用偶函数的性质f(x)=f(x)，使转化过程和结果都显得简单、明了.
【应用创新能力升级】
本节知识常和实际应用问题中求某变量的范围的问题相结合，成为考查解不等式的命
题趋势和热点
例14 国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税，每销售100元征税R元(叫做税率为R%)，则每年产销量大约将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R的取值应怎样确定?
[解析] 依题意，每年所收附加税=年销售额×R%，所以求出征税后年销售额，然后
解不等式即可.
[解] ∵征收附加税后，每年的年销售额为70×(100-10R)万元，
∴每年所征收的附加税为70×(100-10R)×R%万元.
依题意，70×(100-10R)×R%≥112.
∴(10-R)·R≥16，即(R-2)(R-8)≤0.
因此，2≤R≤8.
答：R的取值范围应定在[2，8].
点拨解决此类问题的一般思路是：根据已知条件，建立不等式，然后解不等式.
高考热点点拨
解不等式是不等式研究的主要内容之一，是贯穿于中学数学的基础，代数、三角、解
析几何、立体几何中无不涉及到解不等式的问题.为此，它是
高考
必考的内容.在选择题、填空题及解答题中年年出现，既有单独考查解不等式的问题，也有与其他知识贯穿在一起来考查的综合问题.
(1)解这个不等式;
(2)当此不等式的解集为{xx>5｝时，求实数m的值.
[解析] 原不等式可转化为一个一元一次不等式，对其系数分类讨论，可求其解、其值.
[解析] 分别对命题p、q作等价转换，从中求各自成立时a的范围，则问题可解.
根据题意知，命题p与q为有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在;当命题p为假命题且q为真命题a的取值范围是[1，2].
综上,1≤a≤2为所求.
上面为大家提供的高二数学不等式的解法讲解，是高二数学不等式部分学习的重要参考资料，对大家的学习帮助作用很大，希望大家好好利用。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。