湖北小池滨江高级中学2018学年度下学期高一年级6月月考数学试卷 答案和解析

湖北小池滨江高级中学2018学年度下学期高一年级6月月考
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．
11a b
< B ．2ab b < C ．2ab a -<-
D ．11a b
-
<- 2．已知集合{
}
2
40A x x x =->，301x B x x ⎧⎫
-=≤⎨⎬+⎩⎭
，那么集合A B 等于（ ）． A ．{10}x x -≤< B ．{10}x x -<<
C ．{03}x x <≤
D ．{10
x x -≤<或34}x <≤
3．直线sin 10x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．3,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．30,
,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢
⎥⎣⎭⎝⎦
4．在数列{}n a 中，11
4
a =-，()1
1
11n n a n a -=-
>，则2018a 的值为 ( ) A ．14
-
B ．5
C ．
45
D ．以上都不对
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成角θ的取值范围是（ ） A ．π0
θ
3
B ．03
π
θ<≤
C ．02
π
θ<<
D ．02
πθ<≤
6．已知数列{}n a 为递增等比数列，其前n 项和为n S ，若11a =，
()112252n n n a a a n +-+=≥，则5S =
( ) A ．
3116
B ．
3132
C ．31
D ．15
7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列几种说法正确的是（ ） A ．A 1C 1⊥AD
B ．D 1
C 1⊥AB
C ．AC 1与DC 成45°角
D ．A 1C 1与B 1C 成60°角
8．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 ( ).
A ．
2,B
．2
C ．4,2
D ．2,4
9．变量,x y 满足2
{2390
x y x y x +≤-≤≥，若存在,x y 使得()0xy k k =>，则k 的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C
D
．10．在△ABC 中,两直角边和斜边分别为,,a b c ,若a b cx +=,试确定实数的取值范围 A
．(
B
．(
C
．)
2
D
．
11．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]
2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是 ( ) A ．35
19
a -≤≤-
B ．31a -≤≤-
C ．1a ≥-
D ．3a ≥-
12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使2
2
110n n nS S +取得最大
值时n 的值为（ ） A ．2 B ．5
C ．4
D ．3
二、填空题
13．点(2,1)A 和点A 关于点15
(,)22
-的对称点B 都在直线320x y a -+=的同侧，则a
的取值范围是__________．
14．
，作为其母线与轴的夹角的大小为__________。

15．数列
的前n 项的和2
21n S n n =-+，则n a = ___ .
16．直线l 过点P (－1，2)且点A (2，3)和点B (－4，6)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为__________ ．
三、解答题
17．已知正数,a b 满足22ab a b =++． （1）求ab 的最小值； （2）求2+a b 的最小值.
18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.
（1）求角C ；（2）若c =
ABC S ∆=
ABC ∆的周长.
19．在ABC △中，已知A ,AB 边上的中线CM 所在直线方程为
9180y +-=，B 的角平分线BT 所在直线的方程为1y =。

求
（1）求顶点B 的坐标； （2）求ABC △的面积。

20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，
PA AB =，M 是PC 上一点.
（1）若BM PC ⊥，求证：PC ⊥平面MBD ；
（2）若M 为PC 的中点，且2AB =，求三棱锥M BCD -的体积.
21．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，过A 、B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F 。

已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、
BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2。

（1）若AF BD ⊥，证明：DEB 为直角三角形∆； （2）若//DE CF ，证明：//BE ACD 平面；
（3）在（1），（2）的条件下，求三棱锥B ACD -的体积。

22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()210,2n
n n n a a S n N *
⎛⎫>=∈ ⎪
⎝⎭
（1）若21log n n n b a S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若0,2tan 2
n n n n a π
θθ<<
=，求证：数列{}n θ是等比数列，并求其通项公式；
（3）记1211122
2
n n c a a a =-+-++-
，若对任意的,n n N c m *
∈≥恒成立，求实数m 的最大值。

参考答案
1．D 【分析】
由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论. 【详解】
解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =-，1
1b =-，11a b
∴>，故A 不正确.
可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确. 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题. 2．B 【解析】
∵集合{
}
2
40{0A x x x x x =->=<或4}x >，集合30{13}1x B x x x x ⎧⎫
-=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭
，
∴集合{10}A B x x ⋂=-<<．故选B ． 3．A 【解析】
当sin 0θ=时，直线的倾斜角为
2
π，否则直线倾斜角的斜率为：1
sin k θ=，此时
直线的倾斜角的范围是：3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤
⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,
综上可得：直线倾斜角的取值范围是3,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
本题选择A 选项.
4．B 【分析】
将11
4
a =-
代入递推关系，依次得到2a ，3a ，4a ……，可观察得数列{}n a 是周期为3的数列，从而得解. 【详解】
在数列{}n a 中，由114
a =-，()1111
n
n a n a -=->， 可得：2312114
1515
a a a a =-
==-=，， 45634511114115145
a a a a a a =-
=-=-==-=，，，…… 所以数列{}n a 是周期为3的数列， 所以201825a a ==. 故选B. 【点睛】
本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．B 【解析】
∵A 1B ∥D 1C ，
∴CP 与A 1B 成角可化为CP 与D 1C 成角。

∵△AD 1C 是正三角形可知当P 与A 重合时成角为3
π
， ∵P 不能与D 1重合因为此时D 1C 与A 1B 平行而不是异面直线，
∴θ∈(0,]3π
；
本题选择B 选项.
6．C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据条件可得2
2520q q -+=，结合数列递增及12a =，确
定2q =，利用515(1)
1a q S q
-=-即可得解.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由()112252n n n a a a n +-+=≥，可得：()2
1112252n n n a q a a q n ---+=≥.
所以：2
2520q q -+=，解得：2q =或12
q =
. 因为数列{}n a 为递增等比数列，且11a =，所以2q =.
有：515(1)
311a q S q
-=
=-. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题. 7．D 【分析】
由正方体的性质及异面直线的概念依次验证选项即可. 【详解】
A 项，如下图在正方体1111ABCD A
B
C
D -中，11//A D AD ，在等腰直角111A D C 中，11A C 与11A D 成45︒角，故A 项错误； B 项，11////D C DC AB ，故B 项错误；
C 项，因为11//DC
D C ，在11AD C 中，111190AD C AC D ∠=︒∠，为1AC 与CD 所成的角，
令正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则1AD =
111D C =，
1
1111
1AD tan AC D D C ∠=
=≠，即1AC 与CD 所成的角不是45︒，故C 项错误； D 项，如下图，连接11AC AB B C ，，，则11//AC A C ，1ACB ∠为11A C 与1B C 所成的角，在1AB C 中，11AB B C AC ==，即1AB C 为等边三角形，所以，160ACB ∠=︒，即11A C 与1B C 成60︒角，故D 项正确.
故选D. 【点睛】
本题主要考查正方体中各直线间的位置关系，属于中档题. 8．D 【分析】
由三视图可知三棱柱的高为2,
4
2
=.应选D. 9．A 【解析】
变量x,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域如图：
xy 的几何意义是，如图虚线矩形框的面积，
显然矩形一个顶点在C 在线段x+y=2，
第一象限部分上xy 取得最大值,k=xy=x(2−x)=2x−x 2， 当x=1时1的最大值。

则xy 的最大值为：1. 本题选择A 选项.
点睛： (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．
10．A 【分析】
由a b cx +=得,a b x c +=
，由正弦定理得：
()45a b
A c
+=+︒，由()0,90A ∈︒能确定实数x 的取值范围． 【详解】
由a b cx +=得,a b x c
+=
， 由题意得在△ABC 中,∠C =90∘,则∠A +∠B =90∘， 由正弦定理得：
()()90
4590sinA sin A a b sinA sinB sinA cosA A c sinC sin +︒-++===+=+︒︒
， 由()0,90A ∈︒得,()4545,135A +︒∈︒︒，
所以()452sin A ⎛⎤+︒∈ ⎥ ⎝⎦
，
()(
45A +︒∈，
∴
(
a b
c
+∈，
∴(
a b
x c
+=∈. 故选A. 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 11．C 【分析】 根据题意可得22()y y a
x x -,对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，令t y
x
=，则1⩽t ⩽3，得22a t t -在[1,3]上恒成立，从而得解.
【详解】
由题意可知：不等式2
2
2xy ax y ≤+对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立， 即：22()y y
a x x
-,对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立， 令
t y
x
=，则1⩽t ⩽3， ∴22a t t -在[1,3]上恒成立，
∵2
2
1122(),4
8
y t t t =-+=--+ 1⩽t ⩽3， ∴1max y =-， ∴1a -. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了恒成立问题，涉及变量分离和变量集中的思想，属于中档题. 12．D 【分析】
可将原递推式化为11
11n n
S S +-=，即1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列，故可得{}n S 的通项公式，代入表达式结合对勾函数的单调性即可得最后结果. 【详解】
∵11a =，11n n n a S S ++=-，∴11n n n n S S S S ++-=-，
∴11 11n n
S S +-=，即1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴
()1
11n
n n S =+-=， ∴1
n S n =
，则使22
2
2211 11011010110n
n n nS n n S n n n n
⨯
===+++⨯+， 令()10f n n n N n
*
=+∈，，
由对勾函数的性质可得其在(
，单调递减，在)
+∞单调递增；
而()27f =，()193,(4) 6.53f f =
=，即可得当3n =时，1
n n
+最小， 故取得最大值时n 的值为3，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、函数的单调性在数列中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．(,4)(17,)-∞-+∞
【解析】
设对称点的坐标为：()',A m n ，由题意可得：21
22
{
15
22m n +=-+= ， 解得：3
{
4
m n =-= ，即：()'3,4A - ， 结合点与直线的关系可得：()()322133240a a ⎡⎤⨯-⨯+⨯⨯--⨯+>⎣⎦ ， 求解不等式可得a 的取值范围是()(),417,-∞-⋃+∞.
14．
6
π
【解析】
设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， 则圆锥的侧面积为：rl π ，过轴的截面面积为：rh ，
，
∴
3
rl
rh
π=
， 设母线与轴的夹角为θ ，
则cos 2
h l θ==
， 故6
π
θ=
.
15．2(1)
{43(2,)
n n n n N +=-≥∈
【分析】
解：因为2
21n S n n =-+，
当n=1时，则12a =
当n ≥2时，则143n n n a S S n -=-=- 验证当n=1不适合上式，因此得到n a =2(1)
{43(2,)
n n n n N +=-≥∈
【详解】 请在此输入详解！ 【点睛】 请在此输入点睛！
16．230=1x y x +-=-或 【解析】
由题意可知，
①所求直线与直线AB 平行，即直线的斜率42
263
k --=
=--， 直线方程为：()()221y x -=-+，即：230x y +-=，
②所求直线过AB 的中点：91,2M ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，此时直线方程为1x =-,
综上可得，直线l 的方程为 230=1x y x +-=-或.
17．（1）见解析；（2）见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）将已知
中的2a b +利用222a b ab +≥转化为ab 表示，
进而解ab 的不等式求得其最值；（Ⅱ）将
变形为
代入
2+a b 转化为用a 表示的函数，从而可求得函数最值
试题解析：（Ⅰ），设
，所以
，解
得
，
所以ab 最小值为，当
，即
时取到.
（Ⅱ）由题可得，
所以，即
最小值为
，
当
，即
时取到
考点：均值不等式求最值
18．（1）3
C π
=（2）5
【详解】
试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1
cos ,2
C =
从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=
12cos sin()sin cos 23
π
∴+=⇒=
⇒=C A B C C C
（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又
2222cos +-=a b ab C c
2213a b ∴+=，2
()255∴+=⇒+=a b a b
ABC ∆∴
的周长为5+考点：正余弦定理解三角形.
19．（1
）(；（2
）【解析】 【分析】
（1）设()00,B x y ，可得AB 的中点坐标，代入直线CM
上可得到009+60y +=， 又点B 在直线BT 上，01y =即：，代入可得点B 坐标； （2）由B ∠的角平分线BT 所在直线的方程为1y =，所以点
(
)
3,3A 关于直线1y =对称
点
的坐标为
(
)
3,1-，在直线BC 上，再由BC BD k k =可得直线BC 的方程，与直线CM 联
立可得点C 的坐标，从而得|BC|，再求出A 点到直线BC 的距离，即可得解. 【详解】
（1）设()00,B x y ，则
的中点0033,22x y M ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
在直线上.
所以00
3918022
x y ++⨯-= 009+60y += ① 又点在直线
上，01y =即： ②
由① ②可得00=31x y -=，，即点的坐标为(
)
3,1-. （2）因为点(
)
3,3A
关于直线
的对称点
的坐标为(
)
3,1-，而点
在直线上。

由题知得，BC BD 113
3
33
k k --==
=-
--所以直线的方程为30x y +=。

因为直线BC 和直线CM 交于C 点 ，由0
9180
x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩知()
3C -
则8BC =
= ， A 点到直线BC 的距离d =
=
所以1
82
ABC S ∆=
⨯⨯=.
【点睛】
本题考查求直线方程，解题关键是掌握直线方程的各种形式，明确在什么条件下用什么形式的方程．为此要掌握中点坐标公式，直线平行与垂直的关系等． 20．（1）证明见解析；（2）2
3
. 【解析】
试题分析：（1）易证得PC BD ⊥和PC BM ⊥，从而得证； （2）由111
223
M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅即可得解. 试题解析：
（1）证明：连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD 得BD PA ⊥，
又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=， ∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥， 又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=， ∴PC ⊥平面MBD .
（2）解：由M 为PC 的中点得
111223M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅ 1112
2222323
=⨯⨯⨯⨯⨯=.
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）2
3
B ACD V -=.
【解析】
试题分析：
(1)由题意可得DE ABFE ⊥平面，则DE BE ⊥，即DEB ∆为直角三角形； (2)利用题意可得//BE GD ，结合线面平行的判断定理可得//BE ACD 平面； (3)利用题意可得AE 为三棱锥的高，结合体积公式可得23
B ACD V -=. 试题解析：
（1）证明：由已知得，四边形ABFE 为正方形，且边长为2，则在图2中，AF BE ⊥ 由已知AF BD ⊥，
，可得AF BDE ⊥面，
又DE BDE ⊂平面，所以AF DE ⊥， 又AE DE ⊥， AF AE A ⋂=，所以DE ABFE ⊥平面， 又BE ABFE ⊂平面，所以DE BE ⊥，即DEB ∆为直角三角形。

（2）证明：如图，取AC 的中点G ，连接OG ，DG ，则1
////2
OG CF DE ， 则四边形DEOG 为平行四边形，所以//BE GD ，
又BE ACD ⊄平面，GD ACD ⊂平面，所以//BE ACD 平面。

（3）解：因为三棱锥B ACD -的体积B ACD E ACD A CDE V V V ---==， 而AE DE ⊥，AE EF ⊥，所以AE CDE ⊥平面。

即11112
12233323A CDE CDE DEF V S AE S AE -∆∆=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
故2
3
B ACD V -=
点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
22．（1）2n -；（2）1tan 22n n n
a π+⎛⎫ ⎪⎝⎭=
；（3）0 【解析】 【分析】
（1）根据题意可得12n b n =-，所以()212n T n n =-+++，即可得解；
（2）根据条件可得可得：12tan n n n S θ=
，结合1n n n a S S -=-和tan 2n
n
n
a θ=可得：1
1tan 1122tan 2tan n n n n n n θθθ--=-，整理为()1tan ?tan 2n n θθ-=，得112
n n θθ-=，由等比数列
从而得解；
（3）可知1tan 22n n n a π+⎛⎫ ⎪⎝⎭=为递减数列，1
02
n
a -≤，由()121211122
22
n n n n
c a a a a a a =-
+-++-
=-+++，再由1n n c c +-可得数列的单
调性，由()min n m c ≤即可得解. 【详解】
（1）解析：（1）22211log 1log 122n
n n n b a S n ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ ()()2121222
n n n T n n n n +∴=-++
+=-⋅
=-
（2）由2tan n
n n a θ=可知tan 2n n n a θ=，代入212n
n n a S ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可得：12tan n n n S θ= 2n ∴≥时，111
11
2tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-=
-
代入tan 2n
n n
a θ=
可得：11tan 1122tan 2tan n n n n n n θθθ--=- 211tan tan tan 2tan n n n n θθθθ--∴=- ()122tan tan tan 21tan n
n n n
θθθθ-∴=
=-
而02
n π
θ<<
，112n n θθ-∴=
，即{}n θ是公比为1
2
的等比数列。

在(
)
2*10,2n
n n n a a S n N ⎛⎫>=∈ ⎪⎝⎭
中，令1n =可得：112
a =
111tan 214a π
θθ∴==⇒= 1
11
122n n n π
θθ-+⎛⎫
∴=⋅=
⎪⎝⎭
1tan 22n n n
a π+⎛⎫
⎪
⎝⎭∴=
（3）可知1tan 22n n n
a π+⎛⎫ ⎪⎝⎭=为递减数列112n a a ∴≤= 1
02
n
a ∴-≤
()121211122
22
2
n n n n n
n
c a a a a a a S ∴=-
+-++-
=-+++=
- 11111
0222
n n n n n n n c c S S a ++++⎛⎫-=
---=-> ⎪⎝⎭ {}n c ∴为递增数列 ()11min 1
02
n m c c a ∴≤==-
=即m 的最大值为0. 【点睛】
数列最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列{}n a 的最大值，可通过解不等式组
11{n n n n a a a a +-≥≥ ()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；求数列{}n a 的最小值，可通过解不等式组1
1
{
n n n n a a a a +-≤≤ ()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通
项公式n a 对应函数()y f x =的特点，借助函数()y f x =的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．。