离散型随机变量的方差

(xi E )2 pi
(xn E )2 pn
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D
i 1
为随机变量的标准差.
注意：它们都是反映离散型随机变量偏离于均值
的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于
均值的平均程度越小,即越集中于均值,稳定性越大
练习
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
离散型随机变量的方差
温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
n
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平. i1
2、均值的性质
E(aX b) aEX b
3、两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 EX np
__0_._8____.
ξ0 1
2
P a 0.2 0.4
2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 DX＝__p_(_1_－__p_)__.
3．一般地：随机变量η与随机变量ξ满足关系η ＝aξ＋b，其中a，b为常数，则Dη＝______________.
4．若ξ～B(n，p)，则Dξ＝_n_p_(_1_－__p_) .
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX2 8
发现两个均值 相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X1 , X2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X1
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
D X1 (i 8)2 P(X1 i) D X2 (i 8)2 P(X2 i)
1i.550 ,
i5
0.82
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？ 第二名同学的成绩更稳定.
怎样刻画随机变量的稳定性？
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 ，
则这x 组数据的方差为：
S2
1 n [( x1
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面三个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
（2）若 X 服从两点分布，则 D X p(1 p)
（3）若 X ~ B(n, p) ，则 D X np(1 p)
1.已知某离散型随机变量ξ的分布列如下，则a＝ __0_._4__ ， 数 学 均 值 ( 期 望 )Eξ ＝ ____1__ ， 方 差 Dξ ＝
探究
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
方差
样本
离散型随机变量
均公 式
值意 义
x =
1 n
n
xi
i= 1
随着不同样本值 的变化而变化
n
E(X) = xi pi i=1
是一个常数
方 公
差式
s2
1 n
n
(xi
i 1
x)2
n
D( X ) (xi E( X ))2 •pi i 1
或 意 随着不同样本值的 标 义 变化而变化，反映
是一个常数，反映随 变量取值偏离均值的
33
33
DX (8 29 )2 1 (9 29 )2 1 (12 29 )2 1
33
33
33
X 可能取值的方差为
DX 1 [(8 29 )2 (9 29 )2 (12 29 )2 ]
3
3
3
3
随机变量的方差与样本的 方差有何区别和联系
① 随机变量的方差是常数, 样本的方差是随机变量; ② 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均 值越来越接近于总体方差，因此常用样本方差来估计总体
66
6
DX (8 9)2 3 (9 9)2 2 (12 9)2 1 2
6
6
6
X 可能取值的方差为
DX 1 [(8 9)2 (9 9)2 (12 9)2 ] 10
3
3
X 的分布列
X8
随机变量X的方差 与X可能取值的方 9 差1何2 时相等
P
1 3
1 3
1 3
EX 8 1 9 1 12 1 29
准
数据偏离平均数的 平均程度，方差越小，
差
平均程度，方差越 偏离程度越小.
小，偏离程度越小.
练习
1. 已知随机变量X的分布列 X
求DX.
P
01 0.3 0.7
解： EX 0.7
DX (0 0.7)2 0.3 (1 0.7)2 0.7 0.3 0.7 0.21
小结：(1)若 X 服从两点分布，则 D X p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 D X np(1 p)
2. 若随机变量X 满足P（X＝c）＝1，其中c为常数， 求EX 和 DX.
解： EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
结论
根据期望的定义可推出下面三个重要结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ服从两点分布，则 Eξ= np. 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
x
)2
( x2
x
)2
( xn x )2 ]
方差反映了这组
数据的波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
定义离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量 的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ···xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 n
D (x1 E )2 p1
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班
应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩
在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
X 的分布列
随机变量X的方 差与X可能取值 的方差相同吗
X 8 9 12
P
3 6
2 6
1 6
EX 8 3 9 2 12 1 9