浙江省金华市2020年高二第二学期数学期末经典试题含解析

浙江省金华市2020年高二第二学期数学期末经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米
A ．243π-
B ．36363π-
C ．36243π-
D ．48363π-【答案】D
【解析】 分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．
详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，
故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.33ππ⨯⨯-
-平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米，
故水的体积V=Sh=48 3π-
故选D ．
点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档．
2．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则
A ．i S ∈
B ．2i S ∈
C ．3i S ∈
D ．2S i ∈ 【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，
22i S i
=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系.
3．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【答案】A
【解析】
【分析】
先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.
【详解】
先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1．
故选A
【点睛】
本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.
4．设S 为复数集C 的非空子集，若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意直接验证①的正误；令x ＝y 可推出②是正确的；举反例集合S ＝{0}判断③错误；S ＝{0}，T ＝{0，1}，推出﹣1不属于T ，判断④错误．
【详解】
解：由a ，b ，c ，d 为整数，可得（a+bi ）+（c+di ）＝（a+c ）+（b+d ）i ∈S ；
（a+bi ）﹣（c+di ）＝（a ﹣c ）+（b ﹣d ）i ∈S ；（a+bi ）（c+di ）＝（ac ﹣bd ）+（bc+ad ）i ∈S ；
集合S ＝{a+bi|（a ，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集，①正确；
当S 为封闭集时，因为x ﹣y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确；
对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；
取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0﹣1＝﹣1不属于T ，故T 不是封闭集，④错误． 故正确的命题是①②，
故选B ．
【点睛】
本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高.
5．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B 为：在参观的第二个
小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A =（ ）．
A ．38
B ．18
C ．316
D ．116
【答案】A
【解析】
【分析】
先求事件A 包含的基本事件，再求事件AB 包含的基本事件，利用公式可得.
【详解】
由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A 包含的基本事件有222
642C C C 个；在事件A 发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为
2人的基本事件为2
44C ⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24
643(/)28C P B A ⨯==,故选A. 【点睛】
本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.
6．已知复数z 满足(12)5z i i ⋅-=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部等于（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2 【答案】A
【解析】 由题设可得5212i z i i
==-+-，则复数z 的虚部等于1，应选答案A 。

7．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，
()f n =1+
1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1
B ．21k +
C ．2k
D ．21k -
【答案】C
【解析】 分析：分别计算当n k =时，()1
?f k = + 1112321
k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221
k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，
()1?f k = + 1111123212221
k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()
221212k k k k +---=
故选C
点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

考查了当n k =和1n k =+成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。

8．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．
【详解】
由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，
∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，
当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；
当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．
故跑第三棒的是丙．
故选：C ．
【点睛】
本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题． 9．已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】
【分析】 先对函数求导，然后将代入导函数中，可求出，从而得到的解析式. 【详解】 由题意，，则，解得，故.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.
10．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2
B ．至少有一个不大于2
C ．都大于2
D ．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.
【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，
故选D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．1A E BF ⊥
B ．1A F 与BD 所成角为60︒
C ．1A E ⊥平面ADF
D ．1A F 与平面ABCD 所成角的余弦值为13
- 【答案】C
【解析】
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】
解：设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
A 1（2，0，2），E （2，1，0），
B （2，2，0），F （0，2，1），
1A E =（0，1，﹣2）
，BF =（﹣2，0，1）， 1A E BF ⋅=-2≠0，∴A 1E 与BF 不垂直，
故A 错误；
1A F =（﹣2，2，﹣1）
，BD =（﹣2，﹣2，0）， cos 1A F ＜，11A F BD BD A
F BD ⋅==⋅＞0，
∴A 1F 与BD 所成角为90°，故B 错误；
DA =（2，0，0）
，DF =（0，2，1）， 1A E =（0，1，﹣2）
， 1A E •DA =0，1A E DF ⋅=0，
∴A 1E ⊥DA ，A 1E ⊥DF ，
∴A 1E ⊥平面ADF ，故C 正确；
1A F =（﹣2，2，﹣1）
，平面ABCD 的法向量n =（0，0，1）， 设A 1F 与平面ABCD 所成角为θ，
则sin θ1113
n A F
n A F ⋅==⋅， ∴cos θ122193
=-=． ∴A 1F 与平面ABCD 所成角的余弦值为
223，故D 错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和1．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（ ）
A ．23
B ．89
C ．1213
D ．2425
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据几何概型计算得到答案.
【详解】
22212313S =+=，21234122S =⨯⨯⨯=，故21
1213S p S ==. 故选：C .
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题
13．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断.
【详解】
,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定
定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理.
14．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是________．
【答案】a n ＝23,1
{3,22
n n n -=-≥ 【解析】
当n ＝1时，20·
a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n≥2时，2n －1·
a n ＝S n －S n －1＝－6. ∴a n ＝－23
2n -.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝23,1
{3,22
n n n -=-≥. 15．已知函数()f x 的导函数为
'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________ 【答案】-1
【解析】
【分析】
首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可.
【详解】
由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x
=+， 令1x =可得：()()1'12'11
f f =+，则()'11f =-.
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．命题“若0a =，则复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题．．．
是____命题.（填“真”或“假”） 【答案】真
【解析】
分析：写出命题“若0a =，则复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题，判断其真假.
详解：命题“若0a =，则复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题为“若复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数，则0a =”，它是真命题.
点睛：本题考查命题的真假的判断，属基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数1()(,0)e
kx kx f x k k k -=∈≠R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1x 时，ln x f x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求k 的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2）k 0<或1k e
≥
【解析】
【分析】 （1）将函数求导并化简，对k 分成0,0k k ><两种情况，讨论函数()f x 的单调性.（2）原不等式即1ln x x x ke -≤（1x ≥），当k 0<时，上述不等式显然成立.当0k >时，将不等式变为1ln 0x x k x e
--≤，构造函数()()1ln 1x x g x k x x e
-=-≥，利用导数研究函数的单调性，由此求得k 的取值范围. 【详解】
解：（1）()()()
211'kx kx kx ke kx ke f x k e --=⋅ 2kx kx e -= 2kx k x k e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=． ①若0k >，当2,x k ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； 当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减． ②若0k <，当2,x k ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
上单调递减； 当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． ∴当0k >时，()f x 在2,k ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减； 当0k <时，()f x 在2,k ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． （2）1ln x x x f x k ke -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭
（1x ≥），
当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；
当0k >时，1ln x x x f x k ke -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，等价于1ln 0x x k x e --≤， 设()()1ln 1x x g x k x x e -=-≥，则()2'x x k g x e x -=- 22x
x
x x ke xe --=， 设()22x h x x x ke =--（1x ≥），则()()'210x
h x x ke =--<， ∴()h x 在[)1,+∞上单调递减，得()()11h x h ke ≤=-．
①当10ke -≤，即1k e
≥时，得()0h x ≤，()'0g x ≤， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递减，得()()10g x g ≤=，满足题设条件；
②当10ke ->，即10k e
<<时，()10h >，而()220h ke =-<， ∴()01,2x ∃∈，()00h x =，又()h x 单调递减，
∴当()01,x x ∈，()0h x >，得()'0g x >，
∴()g x 在[)01,x 上单调递增，得()()10g x g ≥=，不满足题设条件；
综上所述，0k <或1k e ≥
． 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.
18．阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：
（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本. （i ）求抽取的文科生和理科生的人数；
（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：
2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
【答案】 (1)见解析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解析 【解析】 【分析】
（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.
（2）（i ）文科生与理科生的比为
3
10
，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】
解：（1）依题意填写列联表如下：
计算22
2
()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
=≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.
（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯
=（人），理科生人数是70
107100
⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，
则0
337
3
10C C 7(0)C 24P X ===， 1237
3
10C C 21(1)C 40P X ===， 17213307
(2)40C C P X C ===，
3037
3
10C C 1(3)C 120
P X ===. 其分布列为
所以()012
32440401204010
E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
19
．已知复数z a bi =+
（a ，b 为正实数，i 是虚数单位）是方程2450x x -+=的一个根. （1）求此方程的另一个根1z 及1z 的值；
（2）复数3w u i =+()u R ∈
满足w z -<u 的取值范围. 【答案】 (1) 12z i =-,1z =26u -<<
【解析】 【分析】
(1)先求得245
0x x -+=的根,再根据题意求另一根1z 即可. (2)
根据复数模长的计算表达w z -<. 【详解】
(1)
22450(2)12x x x x i -+=⇒-=
-⇒=±,故
2z i =+,12z i =-,1z =.
(2)由w z -<(3)(2)u i i +-+<,<
所以26u -<<. 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算以及模长的用法等,属于基础题型.
20．已知曲线C 的极坐标方程为2
2236
4cos 9sin ρθθ
=
+
（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若(,)P x y 是曲线C 上一个动点，求21x y ++的最大值，以及取得最大值时P 点的坐标.
【答案】（1）22
194x y +=.（2）最大值为6，98,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
(1)利用极坐标化直角坐标的公式求解即可;(2)设(3cos ,2sin )P θθ利用三角函数图象和性质解答得解. 【详解】
(1)把曲线C 的极坐标方程为2
22364cos 9sin ρθθ=+,化为直角坐标方程为22194
x y
+=;
(2)化出曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
(θ为参数).
若(,)P x y 是曲线C 上的一个动点,则(3cos ,2sin )P θθ, 可得21=3cos 4sin 15sin()+1x y θθθϕ++++=+
,其中34
sin ,cos 55ϕϕ=
=,故当sin()1θϕ+=时, 21x y ++取得最大值为6,此时,=2πθϕ+,4
sin cos 5
θϕ==,
3
cos sin 5
θϕ==,
98,55P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化,考查三角函数的恒等变换和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,难度一般.
21．已知函数()3ln f x ax x =-（a 为常数）与函数3
()ln 2
g x x x =-在1x =处的切线互相平行． （1）求函数()y f x =在[1,2]上的最大值和最小值；
（2）求证：函数()y f x =的图象总在函数()y g x =图象的上方． 【答案】（1）最小值为3
33ln 2
-，最大值为2；（2）见解析 【解析】
分析：（1）求得3
()(0)f x a x x
'=-
>，()(ln 1)g x x '=-+，由已知有(1)(1)f g ''=，解得2a =，代入得到函数()f x ，利用导数求得函数()f x 的单调性，进而求得最大值与最小值； （2）令3
()()()2ln 3ln 2
h x f x g x x x x x =-=+--
，则只须证()0h x >恒成立即可， 由导数求解函数()h x 的单调性和最值，即可作出证明． 详解：（1）()3
(0)f x a x x
'=-
>，()()ln 1g x x '=-+，由已知有()()11f g '='，解得2a =． 当2a =时，()23ln f x x x =-． 令()320f x x =-='，解得32
x =． ∴当31,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当3,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又()12f =，()243ln2f =-， ()()2
2123ln2ln 08
e f f -=-=<．
∴ 最小值为3333ln 22f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，最大值为()12f =． （2）令()()()3
2ln 3ln 2
h x f x g x x x x x =-=+--，则只须证()0h x >恒成立即可． ∵()33ln h x x x
+'=-
． 显然，()3
3ln h x x x
+'=-单调递增（也可再次求导证明之），且()10h '=．
∴ ()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；
()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；
∴()()1
102
h x h ≥=
>恒成立，所以得证． 点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22．已知过点()()1,3,1,1-且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ上的任意一点
P 与,A B 两点连线的斜率之积为34
-
． （1）求曲线Γ的方程；
（2）过原点O 作射线,OM ON ，分别平行于,PA PB ，交曲线Γ于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．
【答案】（1）()22
1243x y x +=≠±；（2）7(23,]2
.
【解析】
分析：（1）先求出圆C 的方程()2
215x y ++=为，再利用直接法求曲线Γ的方程.(2) 设()11,M x y ，射
线OM 的斜率为()0k k ≠，则射线ON 的斜率为34k -,求出()2222121169
=3443
k k OM ON k k ++⋅⋅++，再换元求其取值范围.
详解：（1）∵圆C 过点()1,3-，()1,1，
∴圆心在直线1y =-上， 又圆心在直线1y x =-上，
∴当1y =-时，0x =，即圆心为()0,1-. 又()0,1-与()1,1的距离为5， ∴圆C 的方程为()2
215x y ++=. 令0y =，得2x =±. 不妨设()2,0A -，()2,0B ， 由题意可得2AP y k x =+，2BP y
k x =-， ∴3224
AP BP
y y k k x x ⋅=⋅=-+-, ∴曲线Γ的方程为：22
143
x y +=(2x ≠±)．
（2）设()11,M x y ，射线OM 的斜率为()0k k ≠，则射线ON 的斜率为34k
-
. 2
2,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2
122
21
212341234x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，
∴
OM =
=
同理，ON ===分 ∴
OM ON ⋅
设2
34(3)k t t +=>，则2
3
4
t k -=
， ∴
OM ON ⋅=
又∵110,3t ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴72
OM ON ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝
⎦
.
点睛：（1）本题主要考查圆的方程的求法，考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
解答本题的关键有两点，其一是求出
OM ON ⋅OM ON ⋅的取值范围.。