利用根轨迹分析系统性能

根轨迹图的最 大特点是参数的可 视化。这正是时域 法的不足。
4-4系统性能分析
自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确 定，从根轨迹图可以直接看出；稳态性能只同开环 传递函数有关，具体说就是同开环传递函数的K*、开 环零极点和ν有关，这些信息在根轨迹图上都有反 映；动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的 分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布 确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析 必须首先要解决的问题。
1
s(s 2)(s 4)
G(s)H(s)
1
s(s 2)(s 1)
G(s)H
(s)

1 s2(s
2)
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)
1
s(s 2) 由以上对比可以
s(s 2)(s 4)
看出，引入开环
极点后可使根轨
迹向右移动或弯
曲，开环极点越
G(s)H(s)
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即 求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但 对四阶以上的高阶系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它 是在已知系统的开环传递函数零、极点分布 的基础上，研究某一个和某些参数的变化对 系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。 由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方 程的根在S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以看到系统参数的 变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析 研究控制系统的性能和提出改善系统性能的 合理途径都具有重要意义。
G(s)H (s)

s(s2
s 2s

2)
G(s)H(s)
1
s(s2 2s 2)
G(s)H
(s)

s(s2
s2 2s
2)
由以上对比 可以看出， 引入开环零 点后可使根 轨迹向左移 动或弯曲， 开环零点越 接近原点， 系统性能变 得越好。
s3 G(s)H (s) s(s2 2s 2)
线性系统根轨迹分析法的第一个工 作是分析根轨迹图上的规律，并寻找到可 以作为工作点的参考范围。第二个工作将 是设法改造根轨迹图，使根轨迹图变成一 个像软面条一样的玩具可以任意塑造，并 使其按我们的希望目标变形。这就是增加 零极点的技术。
一、增加开环零极点对系统性能的影响
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因 此在系统中增加或改变零极点在s平面的位 置，可以改变根轨迹的形状，影响系统的性 能。
G(s)H (s)

s(s2
s 2s

2)
2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹向右半 s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，增加点p＝0
G(s)H(s) 1 s(s 2)
G(s)H(s)
由开环传递函数借助于根轨迹图可以写出闭 环传递函数，运用拉氏变换或借助于计算机，可 以求出系统的时间响应（时域分析）。
用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：
⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制
出系统的根轨迹图。
⑵由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如
果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增
1、增加开环零点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹向左半 s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，减少渐 近线的条数。
设开环传函 增加零点z＝-3 增加零点z＝-2 增加零点z＝0
G(s)H
(s)

s(s2
1 2s

2)
G(s)H
(s)

s(s2
s3 2s

2)
s2 G(s)H (s) s(s2 2s 2)
m
m
K

lim s G(s)H (s)
s0

lim
s0
K*
(s
i 1
n
(s
j 1
zi ) pj)

K*
(
i 1
zi
)
n
(
j 1
p
j
)
K在阶跃输入下定义：
Kp

limG(s)H (s)
s0
ess

1 1 Kp
K在速度输入下定义：
Kv

lim
s0
sG(s)H (s)
界值
K
* c
时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键
是求出开环根轨迹增益K *
的临界值 K
* c
。这为分析和设计系统
的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。
⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬 态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上 确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常 用简单的作图法 （如作等阻尼比线等）求出系统的主导极 点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点 （通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其 各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主 导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近 的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的 距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有 闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、 极点对系统瞬态响应性能指标的影响。
1
s(s 2)(s 1)
接近原点，系统 性能变得越差。
G(s)H
(s)

1 s2(s
2)
如果引入一个0
极点，系统将一
直处于不稳定状
态。
二、系统三大性能分析
1、稳定性： 由根轨迹图可以很直观地看出：与K*相
对应的闭环特征方程的特征根在s平面上的 分布位置，由此可以判断系统的稳定性。
2、稳态性能：
在今后的工作中将以MATLAB工具为辅助分析和设计工具。
“时域分析法+根轨迹法”，合起来 共同构成s平面上的“点”、“线”、 “面”全方位分析体系：用增加零极点 的办法将根轨迹曲线“推拉”到希望的 区域（面），对选定的根轨迹曲线按指 定参数进行区间和范围的划分和必要的 定性分析（线） ，用时域法对希望区间 内的范围进行选点计算，得到关键点的 定量分析（点）。对三者的分析结果进 行综合，就形成了对系统的更深层次上 的理解。这就是我们所设想的一个完美
益 k* 为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以
上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹
增益 k*如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条
以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部
（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说
明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹增益 K *大于临
ess

1 Kv
K在加速度输入下定义：
Ka

lim s2 s0
G(s)H (s)
ess

1 Ka
3、动态性能
根据开环零极点和闭环零极点的关系：
（1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向 通道根轨迹增益KG*；
（2）闭环零点＝开环前向通路传函零点+反馈 通路传函极点；
（3）闭环极点可由根轨迹确定（在根轨迹上 找出与K*相对应的极点）。