2019学年高二数学下学期第二次月考试题 理(竞赛) 新版-人教版

2019学年第二学期第二次月考试题
高二数学（理科竞赛）
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1.已知集合{|05}U x N x =∈≤≤，{1,3,5}U C B =，则集合B =（ ）
A ．{2,4}
B ．{0,2,4}
C ．{0,1,3}
D ．{2,3,4}
2．若复数z 满足2,1z
i i
=- 则复数z 对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．命题p ：“R x ∈∃0，02
021x x <+”的否定⌝p 为（ ）
A ．R x ∈∀,x x 212≥+
B ．R x ∈∀,x x 212<+
C ．R x ∈∃0,02
021x x ≥+
D ．R x ∈∃0,02
021x x >+
4. “x ＞1”是“x 2
＋2x ＞0”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5．已知随机变量X ～2
(3,)N σ，且(4)0.15P X >=，则()P X =≥2（ ）
A ．0.15
B ．0.35
C ．0.85
D ．0.3
6.从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）
A ．34
B ．31 C.28 D ．25
7.为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数
据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b y
ˆˆˆ+=．已知24010
1
=∑=i i
x
,
170010
1
=∑=i i
y
，5ˆ=b
，若该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ） A. 160
B. 165
C. 170
D. 175
8．函数2
sin y x x x =-的图象大致为（ ）
9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“红色骰子点数为3”，事件B 为“蓝色骰子出现的点数是奇数”，则=)(A B P （ ） A ．
21 B ．61 C ． 365 D ．12
1
10．若(12)n
x -*
()n ∈N 的展开式中4x 的系数为80，则(12)n
x -的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ） A ．32 B ．81 C ．243 D ．256
11.甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X 表示两人中通过雅思
考试的人数，则X 的方差为（ ）
A ． 0.41
B ．0.42
C ．0.45
D ．0.46 12．若对()0,x ∈+∞恒有ln e 2a
x x x
-+≥
，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,]e -∞- B ．2
(,)e
-∞- C ．(,2e]-∞- D ．(,2e)-∞-
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13.5
122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中含23
x y 项的系数是 ．
14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条
形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽
取32人，则抽取的男生人数为 ．
15、函数x
y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为
__________．
16.已知集合1
{|}2
M x x =≥-，32
{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B
x M x a =∈--=，若集合A B 的
子集的个数为8，则a 的取值范围为 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.） 17.设命题实数满足，其中
，命题实数满足
．
（1）若
，且
为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天
的销售量，统计结果如下：
若将上表中频率视为概率，且每天的销售量相互独立．则在这5年中： (1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)；
(2)已知每件该商品的利润为20元，用X 表示该商品某两天销售的利润和(单位： 元)，求X 的分布列和数学期望．
19．已知函数x ax x x f ln 1)(2
-++-=在1=x 处取得极值． (1)求)(x f ，并求函数)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； (2) 求函数)(x f 的单调区间．
20.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评
之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的 三种骑行券.用户每次使用
APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一
次获得1元券，获得2元券的概率分别是
12，1
5
，且各次获取骑行券的结果相互 独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获
得的骑行券 面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
21.某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道测试题，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为
3
2
．假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立，互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．
(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
22．已知2
()e x
f x x ax =--．
(1)若函数)(x f 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若1=a ，证明：当0>x 时，1()2
f x >
． 参考数据：e 2.71828≈，69.02ln ≈．
理科竞赛答案 选择题
二、填空题：13、-20； 14. 24 ； 15、(0,-1)； 16. [,1)(1,)28
---
三、解答题 17：（1）当时，由，得． 由
，得
，所以
．
由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题， 因此的取值范围是
．
（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件， 由题意可得，, 所以，因此
且
，解得
．
18.解：(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率
3
32523144()()
55625
p C =⋅=
．5分 (2) X 的可能取值为4000,5000,6000．
339(4000)5525P X ==⨯=，1
23212(5000)5525P X C ==⨯⨯=，
224
(6000)5525
P X ==
⨯=
．8分 所以X 的分布列为
数学期望124
()4000500060004800252525
E X =⨯
+⨯+⨯=（元）
． 12分 19． 本小题满分12分．
解：(1)因为2
()1ln f x x ax x =-++-，所以1
()2(0)f x x a x x
'=-+-
>． 1分
因为()f x 在1=x 处取得极值，所以(1)0f '=，即210a -+-=， 解得所以3a =． 3分 因为1()23(0)f x x x x '=-+-
>，2ln 3)2(-=f ，3(2)2
f '=-， 所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为3
6ln 22
y x =-+-． 6分 (2)由(1) 1
()23(0)f x x x x
'=-+->， 令()0f x '>，即1
230x x -+-
>，解得12
1<<x ， 所以()f x 的单调递增区间为1(,1)2
． 9分 令()0f x '<，即1
230x x -+-
<，解得2
10<<x 或1>x ， 所以()f x 的单调递减区间为)2
1
,0(，),1(+∞．
综上，()f x 的单调递减区间为1
(0,)2和(1,)+∞，单调递增区间为1(,1)2
．12分
20.解：（1）由22⨯列联表的数据，有
2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2
200(30001200)1406070130-=⨯⨯⨯
220018146713⨯=⨯⨯⨯54008.4810.828637
=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为
3
10
.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.∵239(0)()10100P X ===，12(1)P X C ==13321010
⨯=， 12(2)P X C ==213137()5102100⨯+=，12(3)P X C ==111255⨯=， 211
(4)()525
P X ===
， ∴X 的分布列为：
X 的数学期望为3371210100EX =⨯
+⨯1134 1.8525
+⨯+⨯=（元）. 21．本小题满分12分．
解：(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P ，
则2
1
2
2112
0142423333661211133315C C C C P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
．4分 (2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1,2,3．
1242361(1)5C C P X C ===， 2142363(2)5C C P X C ===， 3
43
61
(3)5
C P X C ===．6分 X 的分布列为：
所以131
()1232555E X =⨯
+⨯+⨯=，()()()2221312()1222325
5
5
5
D X =-+-+-=
．8分 设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3．则)3
2
,3(~B Y ． 所以2
()323
E Y =⨯
=，222()31333D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．10分
因为)()(Y E X E =，()()D X D Y <，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．12分 22解：（1）依题意()e 2x
f x x a '=--．1分
因为函数)(x f 在R 上单调递增，所以()e 20x
f x x a '=--≥在R 上恒成立，
因此e 2x a x -≤．2分令()e 2x
g x x =-，则()e 2x
g x '=-，令()0g x '=，解得2ln =x ， 所以)(x g 在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 所以当2ln =x 时，)(x g 取得最小值22ln2-， 故22ln2a -≤，即a 的取值范围为(],22ln2-∞-．4分
(2)证明：若1=a ，则2
()e x
f x x x =--，得()e 21x
f x x '=--， 由(1)知()f x '在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增．5分
又(0)0f '=，(1)e 30f '=-<
，1
1ln 2211
(1ln 2)e 2(1ln 2)13ln 2022
f +'+=-+-=-->．
所以存在0l 1,1ln 22x ⎛⎫
∈+
⎪⎝
⎭
，使得()00f x '=．7分 所以当),0(0x x ∈时，()0f x '<，当),(0+∞∈x x 时，()0f x '>， 则函数)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增．
则当0x x =时，函数)(x f 在()0,+∞上有最小值02
000()e x
f x x x =--．8分
由00e 210x
x --=得0
0e
21x x =+，
所以02
000()e x
f x x x =--=120+x 02
0x x --=102
0++-x x =4
5
)21(20+
--x ．10分 由于)2ln 2
1
1,1(0+
∈x ， 所以=)(0x f >+--45)21(20x 2
1151ln 22
24⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2
10.752111
2244002⎛⎫>-++=> ⎪⎝⎭． 所以当0>x 时，1
()2
f x >．。