昔阳县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

昔阳县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列各组函数为同一函数的是（ ） A ．f （x ）=1；g （x ）
= B ．f （x ）=x ﹣2；g （x ）
= C ．f （x ）=|x|；g （x ）
=
D ．f （x ）
=
•；g （x ）
=
2． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则
=（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．13
3． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ）
A ．2个
B ．3 个
C ．4 个
D ．8个
4． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．
π21 C ．π121- D ．π
2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
5． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ）
A ．∅
B ．{1，4}
C ．M
D ．{2，7}
6． 已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ） A ．k
B ．﹣k
C ．1﹣k
D ．2﹣k
7．
设集合（ ）
A
． B
．
C
．
D
．
D
A
B
C
O
8．已知集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于（）A．0 B．1 C．2 D．3
9．若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α相交但不垂直
10．,
AD BE分别是ABC
∆的中线，若1
AD BE
==，且AD与BE的夹角为120，则AB AC
⋅=（）
（A）1
3
（B ）
4
9
（C）
2
3
（D）
8
9
11．若函数()()()()()
1
cos sin cos sin3sin cos41
2
f x x x x x a x x a x
=-++-+-在0
2
π
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（）
A．
1
1
7
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，B．
1
1
7
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，
C.
1
(][1)
7
-∞-+∞
，，D．[1)
+∞
，
12．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（）
A．4 B．5 C．32D．33
二、填空题
13．设R
m∈，实数x，y满足2360
3260
y m
x y
x y
≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪--≤
⎩
，若18
2≤
+y
x，则实数m的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．
15．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被
抽到的概率都为，则总体的个数为．
16．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是．
17．设α为锐角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）=．
18．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．
三、解答题
19．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条
谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，
您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？
20．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy
中，直线的参数方程为32
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C
的方程为ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P
的坐标为(3,，求PA PB +．
21．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；
（1）求ω，φ；
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个
对称点为（，0），求θ的最小值．
（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．
23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．
24．已知函数()()2
1+2||02
()1()102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．
（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域；
（2）根据图像求不等式3
(x)2
f ≥的解集（写答案即可）
昔阳县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：A 、函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数； B 、函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x|x ≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数； C
、因为
，故两函数相同；
D 、函数f （x ）的定义域为{x|x ≥1}，函数g （x ）的定义域为{x|x ≤1或x ≥1}，定义域不同，故不是相同函数．
综上可得，C 项正确． 故选：C ．
2． 【答案】D
【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，
∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，
∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4）， 解得
=13．
故选：D ．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．
3． 【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}， ∴集合S=A ∩B={1，3}，
则集合S 的子集有22
=4个，
故选：C ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．
4． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 5． 【答案】D
【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，
∴集合N不可能是{2，7}，
故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
6．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k，
∴f（2016）=20163a+2016b+1=k，
∴20163a+2016b=k﹣1，
∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．【答案】B
【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，
集合B中的解集为x＞，
则A∩B=（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥，
因此l⊥α．
故选：B．
10．【答案】C
【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422
()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
11．【答案】D 【
解
析
】
考
点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
12．【答案】D 【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,
根据几何体的性质得：AC GC ==
GE ===
4,BG AD EF CE ====
所以最长为GC =
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．
二、填空题
13．【答案】[3,6]-.
【解析】
14．【答案】甲．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
15．【答案】300．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
16．【答案】．
【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==
故答案为：
【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．
17．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====
．
故答案为：．
18．【答案】（1，2）．
【解析】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，
即y=2x2．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立，解得：．
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，
（0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，
则ξ～B（3，），
∴E（ξ）=．
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[]×20=30，
∵P （η=0）
=，
P （η=1）
=， P （η=2）
=，
P （η=3）
=，
∴E η
=
．
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为
[]×20=24．
∴120+30＞120+24， ∴支持票投给甲队．
【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．
20．【答案】
【解析】Ⅰ
∵:C ρθ=
∴2:sin C ρθ=
∴22:0C x y +-=，即圆C
的标准方程为22(5x y +=．
直线的普通方程为30x y +=． 所以，圆C
=
．
Ⅱ由22(53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩
，解得12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以 21．【答案】
【解析】
【专题】概率与统计． 【分析】（I ）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II ）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株
数为12，
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有
=36种，选取的两株作物恰好“
相
||||PA PB +==
近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概
率为=；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象，可得
•=，
求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣）的图象，
∵y=g（x）图象的一个对称点为（，0），∴2•+2θ﹣=kπ，k∈Z，∴θ=﹣，
故θ的最小正值为．
（3）对任意的x∈[，]时，2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈，即f（x）∈，
∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[，]时的图象可得，1≤m＜2．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
或
，
解得：＜x ≤2或﹣≤x ≤或﹣1≤x ＜﹣， ∴不等式f （x ）≤6的解集为{x|﹣1≤x ≤2}．
（Ⅱ）不等式f （x ）﹣
＞2恒成立⇔
+2＜f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|恒成立⇔
+2＜f （x ）min 恒成立，
∵|2x+1|+|2x ﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4， ∴f （x ）的最小值为4， ∴+2＜4，
即
，
解得：﹣1＜a ＜0或3＜a ＜4．
∴实数a 的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．
24．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。

【解析】
试题分析：（1）画函数()f x 的图象，分区间画图，当0x ≤时，()2
122
f x x x =--，此时为二次函数，开口向下，配方得()()()2
1142222
f x x x x =-
+=-++，可以画出该二次函数在0x ≤的图象，当0x >时，
()1()12x f x =-，可以先画出函数1
()2
x y =的图象，然后再向下平移1个单位就得到0x >时相应的函数图
象；（2）作出函数()f x 的图象后，在作直线3
2
y =，求出与函数()f x 图象交点的横坐标，就可以求出x 的
取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可知：增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域为：(],2-∞。

（2）观察下图，()3
2
f x ≥
的解集为：[]3,1--。

考点：1.分段函数；2.函数图象。