系统建模与仿真第5次课第三章PPT课件

2.10.1 按残差方差定阶 一种简单而有效的方法就是选定模型阶数n的不同取
值，按估计误差方差最小或F检验来确定模型的阶。 1)按估计误差方差最小定阶
考虑系统模型
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a (z 1 )y (k ) b (z 1 )u (k )(k )（2.178）
最小二乘法：
a1
2n+1维 参数向量
回顾
N维输出向量
y
y(n 1)
y(n
2)
,
M
y(n
N
)
M
an
,
b0
M
bn
(n 1)
(n
2)
M
(n N )
N维噪声向量
N×(2n+1)维
测量矩阵
y(n) L y(1) u(n1) L u(1)
y(n1)
L y(2) u(n2) L u(2)
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2.递推最小二乘法（RLS）
（1）对白噪声，参数估计是无偏的一致的最小方差估计。 （2）对有色噪声，参数估计有偏，但具有收敛性。 （3）对未知的直流分量敏感。 （4）对高阶系统，优于其它算法，可作为其它辨识算法的较 好的起始算法。 （5）计算量少，占用内存较少。 （6）适用于在线辨识，采用自适应算法后，可用于时变系统 的辨识。
L L
L
y(1) y(2)
M y(N)
u(n1) u(n2)
M u(nN)
L L
L
u(1)
u(2)
M u(N)
（2.167）
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递推辅助变量参数估计法 计算步骤：
1)先用最小二乘法求出粗略的)；
2）再将)带入Yy)) Z))，可得y)；
3）利用y)构造辅助变量矩阵Z；
)
4）IV)
(ZT )
)1
ZT
M
M M M M
y(nN1) L y(N) u(nN) L u(N)
则式（2.87）可写为
y
（2.88）
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
可得 的最小二乘估计
)( T )1 Ty
（2.98）
J为极小值的充分条件是
2)J T 0
y；
5）令 IV，重复第2步直到结果满意。
பைடு நூலகம்12
2）自适应滤波法
这种方法所选择的辅助变量 y) ( k ) 和辅助变量矩阵Z
的向形量式 ) 与的上估一计种方方法法与完上全一相种同方，法只有是所辅不助同模。型取中参数
)
)
)
( k ) ( 1 )( k 1 ) ( k d ) （2.168）
辅助模型
的输出向量 y)
y)
)
Z
的元素，辅助变量矩阵Z为
（2.165）
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Z )))M 12 N T T Ty) y)y)nnM nN 1
L L
L
y)(1) y)(2)
M y)(N)
u(n1) u(n2)
M u(nN)
L L
L
u(1)
u(2) M
u(N)
（2.166）
M 12N T T Ty y((nynM (n)N 1))
二乘参数估计值服从正态分布。
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2.8 辅助变量法
现在开始讨论如何克服最小二乘法的有偏估计问 题。
对于原辨识方程
y
（2.157）
当 ( k ) 是不相关随机序列时，最小二乘法可以得到参数
向量 的一致性无偏估计。但是，在实际应用中 ( k )
往往是相关随机序列。
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假定存在着一个 (2n1)N 的矩阵Z（与 同
)
式中： 取0.01: 0.1；d 取0 : 10 ； ( k ) 为k时刻所得到
的参数向量估计值。当u ( k ) 是持续激励信号时，所
选的辅助变量可以满足式（2.158）所给出的2个约束 条件。
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2.9最小二乘类辨识算法的比较
1.基本最小二乘法（LS）
（1）对白噪声，参数估计是无偏的一致的最小方差估计。 （2）对有色噪声，参数估计有偏，但具有收敛性。 （3）对未知的直流分量敏感。 （4）对高阶系统，优于其它算法，可作为其它辨识算法的较 好的起始算法。 （5）一次完成算法精度较高，但逆矩阵计算量大，不适于在 线辨识。 （6）数据较多时，占用存储量和机时较多。
阶数）, 满足约束条件
Nlim
1 N
ZT
E
ZT
0
lim
1 ZT E
ZT
Q
N N
（2.158）
式中Q是非奇异的。
用 Z T 乘以式（2.157）等号两边得
ZTyZTZT
由上式可得
（2.159）
Z T 1Z TyZ T 1Z T （2.160）
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如果取
)
IV
ZT1ZTy
（2.161）
)
作为 的估值，则称估值 I V 为辅助变量估值，矩阵
Z称为辅助变量矩阵，Z中的元素称为辅助变量。
)
)
从式（2.161）可以看到， I V 与最小二乘法估值
的计算公式（2.98）具有相同的形式，因此计算比较简
单。
根据式（2.160）和式（2.161）可得
)IVZT1ZT
（2.162）
2
（2.99）
即矩阵 T 为正定矩阵，或者说矩阵 T 是非奇异的。
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最小二乘估计的概率性质
如果ξ(k)是不相关随机数序列，且均值为0。
1） 无偏性
辅助变量法、广义最小二乘法
2）一致性
当 N 时 ， θ ˆ以 概 率 1 趋 近 于 。
3） 渐进正态性性
如果ξ是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小
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3.辅助变量法（IV）
（1）估计值是弱一致估计的。 （2）对初态敏感，初态选取得不合适，就可能不收敛。 （3）算法简单，计算量少，但不能得到噪声模型。
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2.10 系统结构辨识
模型阶的确定
在一些实际问题中，模型的阶可以按理论推导获得， 而在另一些实际问题中，模型的阶却无法用理论推导的 方法确定，需要对模型的阶进行辨识。下面介绍几种常 用的模型阶的确定方法。
这可以简单地理解为所选择的辅助变量应与 ( k )
不相关，但与u ( k ) 和 中的 y ( k ) 强烈相关。
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Z可以有各种选择方法，下面介绍几种常用的选择方法。
1）递推辅助变量参数估计法
辅助变量取作 y ) ( k ) ( k 1 ,2 ,L ,n N 1 ), y) ( k ) 是
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当N很大时，对上式等号两边取极限得
N li m ˆIVN li m N 1ZT 1g N li m N 1ZT
（2.163）
根据式（2.157）所假定的约束条件，可得
)
Nli mIV
（2.164）
因此辅助变量估计是无偏估计。
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剩下的问题是如何选择辅助变量，即如何确定辅 助变量矩阵Z的各个元素。选择辅助变量的基本原则 是式（2.158）所给出的两个条件必须得到满足。