反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型
一、知识点回顾
1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k
x
（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x
k y =
（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k
x
（k≠0）的性质
（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，
y 随x 的增大而减小．
（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
（3）在反比例函数y=
k
x
中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).
（4）若双曲线y=
k x
图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2
－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2
x
-．
（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
二、新知讲解与例题训练 模型一：
如图，点A 为反比例函数x
k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于
x 轴，则有
2||k S OAB =
∆
例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=
x
m
在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积
变式题
1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=
x
8
(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________
2、 如图，点A 在双曲线1y x =
上，点B 在双曲线3
y x
=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .
模型二：
如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x
k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于
M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN
D
F
A
B D
F M
N
x
y O
例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数k
y x
=
的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；
③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k
y x
=
的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．
（1）若点A B ，在反比例函数k
y x
=
的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数k
y x
=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗试证明你的结论．
y x
D
C
A B O F
E 图1
图1
图2
模型三：
如图，已知反比例函数k
y x
=
（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.
例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x
=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.
例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与
反比例函数2
k y x
=
的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.
例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k
y k x
=>交于A 、
B 两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值；
（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于C 、D 两点
（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．
模型四：
在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F
点的反比例函数(0)k
y x x =>的图象与AC 边交于点E
，则
CE
a CF b
=.
例7：两个反比例函数k y x =
和1
y x
=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1
y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点
D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在k
y x
=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA
与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正
确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．
课堂练习： 一、选择题
1、已知m<0，则函数mx y =1与x
m
y -=2的图像如图，大致是（ ）
x
B F
C E A O y
A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线x
y 6
=
上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ） A.72 C.74 D.22 3、如图，双曲线x
k
y =
（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）
A.x y 1=
B. x y 2=
C. x y 3=
D. x
y 6=
题 3 题 4 题5
4、如图，A,B 是函数x
y 2
=
的图像上关于原点
对
称
的
任
意
两
点
，
BC ABC
∆k x 1y x =3y x
=
D
B A
y
x
O C
2、如图，双曲线)0(2
x x
y =
经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，
则四边形OABC 的面积是 .
3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点
A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k
x
，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，
以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.
（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .
（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .
4、如图，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .
5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x
=
， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．
课后习练
一、填空题
1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线
y=4
x
交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．
2、反比例函数y=
k x
的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2
－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．
3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．
4、反比例函数y=
k x
的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2
+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．
5、如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．
第5题图 第6题图 的图像与反比例函数y=
2
x
6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，
那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．
2
2
C ．2
D ．22
7、已知P 为函数y=2
x
的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ）
A ．0个
B ．2个
C ．4个
D ．无数个
A
B
C
D
E y
x
O。