最新上海市四区2021年高考数学模拟试卷(7套)

高三第二次质量检测
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的． 1．设集合{}
|2A x y x ==+，{}|ln(3)B x y x ==-，则A B =（ ） A ．{}|2x x ≥- B ． {}|3x x ≤
C ．{}|23x x -<≤
D ．{}|23x x -≤<
2．设复数21i
z i
-=
+，则z =（ ） A ．1322i - B ．1322i +
C ．i 31-
D ．i 31+
3．设y x ,是两个实数，命题“y x ,中至少有一个数大于1”成立 的充分不必要条件是
A ．2=+y x
B ．2>+y x
C ．2
2
2x y +> D ．1>xy
4．右边程序框图中，若输入4m =，10n =，则输出,a i 的 值分别是
A ．12,4
B ．16,5
C ．20,5
D ．24,6
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线
与直线310x y ++=垂直，则双曲线的离心率等于
A ．6
B ．
23
3
C ．10
D ．3
6．已知函数))(2sin()(πφφ<+=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后得到 ()cos(2)6
g x x π
=+，则φ的值为（ ）
A ．23
π
-
B ．3
π
-
C ．
3
π
D ．
23
π 7．在区间[]π2,0上任取一个数x ，则使得1sin 2>x 的概率为（ ） A ．1
6
B ．1
4
C ．13
D ．23
8．右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何 体的体积为 A ．32327π
+ B ．433327π
+ C ．35327
π
+
D ．435327
π
+
9．已知函数1
33,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩
则(2)y f x =-的
大致图象是
10．设函数)(x f 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有
0)()(=--x f x f ，当[]0,1-∈x ，)1(2)(+-=x e x x f ．若x x f x g a log )()(-=在
),0(+∞∈x 有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]5,3
B ．[]6,4
C ．()5,3
D ．()6,4
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 11．已知(1,0),(2,3)a b ==，则(2)()a b a b -⋅+= ；
12．设 ,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
,则 22x y + 的最大值为 ；
13．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4, (517)
1119
⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ 仿此，若3m 的“分裂”数中有一个是73，则m 的值为 ； 14．直线3230x y +-=截圆422=+y x 所得劣弧所对的圆心角的大小为________； 15．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得
12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①2{(,)|+1}M x y y x ==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．
其中是“垂直对点集”的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证
明 过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()sin cos 6f x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
17．（本小题满分12分）
某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有ml 300和ml 500两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：
型号 甲样式 乙样式 丙样式 300ml z 2500 3000 500ml 3000 4500 5000 按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯
子35个．
（1）求z 的值；
（2）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取
2 个杯子，求至少有1个300ml 的杯子的概率．
18.（本小题满分12分）
在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =．沿EF 将△CEF 翻折到△
PEF ，连接P A ,PB ,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且10PB =． （1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BFED -的体积． 19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等比数列，首项11=a ，公比0>q ，其前n 项和为n S ，且11a S +，33S a +，22S a +成等差数列．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足11
()2
n n
a b n a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的
最大值．
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(7,0)F ，A ,B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：当点),(00y x P 在椭圆C 上运动时，直线2:00=+y y x x l 与圆
1:22=+y x O 恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=．
（1）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()a
h x f x x
+=+，求函数()h x 的单调区间； （3）若1()a
g x x
+=-
，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，
求a 的取值范围．高三第二次质量检测
文科数学参考答案
一、DABCC CCDAC
二、11．1－9 12． 29 13． 9 14．
3
π
15③④． 三、16、（1）解：()sin cos 6f x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
sin cos
cos sin
cos 6
6
x x x π
π
=-+ …………………………1分
31
cos 2
x x + (2)
分
sin cos
cos sin
6
6
x x π
π
=+ (3)
分
sin 6x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
(4)
分
∴ 函数()f x 的最小正周期为2π． ………………………5分 （2）
∵435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴ 4sin 365ππα⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭．
(6)
分
∴ 4sin 25πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
∴ 4
cos 5
α=． ………………………7分
∵
α是第一象限角，
∴ 23
sin 1cos 5
αα=-． ……………………8分
∴ sin 3
tan cos 4
ααα=
=． ………………………9分 ∴ tan tan
4tan 4
1tan tan
4π
απαπ
α-⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭
+⋅ ………………………10分 3143114
-=+⨯ ………………………11分 1
7
=-． (12)
17．解：（1）设该厂本月生产的甲样式的杯子为n 个，在丙样式的杯子中抽取了x 个，
由题意
5000
30004500250035+=
+x
，.40=∴x ……3分 ∴在甲样式的杯子中抽取了253540100=--个，
n
25
700035=
∴，解得5000=n ，200030005000=-=∴z ． ………6分 （2）设所抽样本中有m 个ml 300的杯子， 5
50002000m =∴，2=∴m ． ………8分 也就是抽取的5个样本中有2个ml 300的杯子，分别记作21,A A ;3个ml 500的杯子，分别记作321,,B B B ． ………9分
则从中任取2个300ml 的杯子的所有基本事件为),(11B A ,),(21B A ,),(31B A ,
),(12B A ,),(22B A ,),(32B A ,),(21A A ,),(21B B ,),(31B B ,),(32B B ，共10个．…10分
其中至少有1个300ml 的杯子的基本事件有),(11B A ,),(21B A ,),(31B A ,),(12B A ,
),(22B A ,),(32B A ,),(21A A ,共7个；
………11分 ∴至少有1个300ml 的杯子的概率为10
7
．
………12分
18．解析：（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，
∴BD ∥EF ． …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，
∴BD AC ⊥． …………………………2分 ∴EF AC ⊥． …………………………3分 ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥． …………………………4分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =，
∴EF ⊥平面POA ． …………………………5分 ∴BD ⊥平面POA ． …………………………6分 （2）解：设AO BD H =，连接BO ，
∵60DAB ︒∠=，
∴△ABD 为等边三角形． …………………………7分 ∴4BD =，2BH =，23HA =3HO PO ==
在R t △BHO 中，227BO BH HO +=， (8)
分 在△PBO 中，22210BO PO PB +==， ∴PO BO ⊥．
∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，
∴PO ⊥平面BFED ． …………………………10分 梯形BFED 的面积为()1
332
S EF BD HO =+⋅=，∴四棱锥P BFED -的体积
11
333333
V S PO =⋅=⨯．………………12分
19．解：（1）法一：由题意可知：3311222()()()S a S a S a +=+++
32123132a a a S S S S -+=-+-∴，
即134a a =，于是
41213==q a a ，0>q ，2
1
=∴q ； ……… 3分 11=a ， 1)2
1
(-=∴n n a ． ……… 4分
（1）法二：由题意可知：3311222()()()S a S a S a +=+++
当1=q 时，不符合题意； ……… 1分
当1≠q 时，q q q q q q +--++=+--1111)11(
222
3， q q q q q +++=+++∴12)1(222，142=∴q ，4
1
2=
∴q ，……… 2分 H
F E
P
O
D
B A
0>q ，21
=
∴q , ……… 3分 11=a ， 1)21
(-=∴n n a ． ……… 4分
（2） n n b a n a )21(1=+ ，n n b
a n )21()21(=∴ ，12-⋅=∴n n n
b ， ……… 5分
122232211-⋅++⨯+⨯+⨯=∴n n n T （1） n n n T 2232221232⋅++⨯+⨯+⨯=∴ （2）
)2()1(-∴得：n n n n T 2222112⋅-++++=-- ……… 6分
12)1(22
121--=⋅---=n n n
n n
n n n T 2)1(1-+=∴
……… 8分
m T n ≥恒成立，只需m T n ≥min )( ……… 9分
02)1(2)1(211>⋅+=⋅--⋅=-++n n n n n n n n T T
}{n T ∴为递增数列，∴ 当1=n 时，1)(min =n T ， ……… 11分
1≤∴m ，∴m 的最大值为1． ……… 12分
∴圆心O 到直线00:=2l x x y y +的距离
22
220000229916
d x y x x =
=
++-
2
01
7916
x =<+ (2
0016x ≤≤)
∴直线00:2l x x y y +=与圆221O x y +=：恒有两个交点
…………9分
222
042217916
L r d x =-=-
+…………10分
2
0016x ≤≤
2
07991616x ∴≤
+≤ 2533L ≤≤
…………13分
21．（1）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(，
……1分
x
x f 2
1)('-
=∴，121)1('-=-==∴f k ， (3)
分
∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=． (4)
分
（2）1()ln a
h x x a x x
+=-+
，定义域为),0(+∞， 2
222'
)]1()[1()1(11)(x
a x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= (5)
分
①当01>+a ，即1->a 时，令0)('
>x h ，a x x +>∴>1,0
令0)('
<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('
>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （3）意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ，
即函数1()ln a
h x x a x x
+=-+
在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，
01)()]([min ≤-++==∴a e
a
e e h x h ，112-+≥
∴e e a ， 1112->-+e e e ，1
12-+≥∴e e a ； ……10分
②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，
011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分 ③当e a <+<11，即10-<<e a 时，
0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h
1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h
此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分 综上可得所求a 的范围是：1
1
2-+≥e e a 或2-≤a ．………………14分
高三年级第二次综合练习
数学学科测试
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． 1．设集合A (1)(2)0x x x ，集合1
B x x ，则A B
A ．
B ．1x x
C ．12x x
D ．12x x
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．π32
3．实数x ，y 满足不等式组0,
0,2,x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数3z
x y 的最小值是
A ．
12 B ． 8 C ． 4 D ．0
4. 已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与a b 共线”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
开始 S =0，n =1
结束
n =n +2 n >5?
输出S 是
否
cos
n S S π=+3
5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．0 B ．1 C ．1
2 D ．32
6.函数21,11,
()
lg ,1,
x x f x x x 的零点个数是
A. 0
B.1
C.2
D.3 7．已知点A 为抛物线:C 2
4x
y 上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛
物线C 的焦点为F ，则ABF
A ．一定是直角
B ．一定是锐角
C ．一定是钝角
D ．上述三种情况都可能 8．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一
项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．
此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设i 为虚数单位，则i(1i)
．
10．若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F ，
一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ．
11．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥 的体积为 ；表面积为 ．
12. 已知在
ABC 中，4C
，3
cos 5
B
，5AB ，则sin A ；ABC 的面
积为 ． 13．在圆C ：2
2
2
(2)8x
y 内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，
最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 14．关于函数1
()42
x f x =
+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,
)；
③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ．
2
俯视图
1 正视图
侧视图
1
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π
[,π]2
上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x ，求0x 的值．
16．（本小题满分13分）
已知递增的等差数列{}n a （*n N ）的前三项之和为18，前三项之积为120．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*
n
N ）从左至右依次都在函数2
3
x
y
的图象上，求这n 个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和．
17．（本小题满分13分）
某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：
试题 A
B
C
人数
180
120
120
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,B C 题作答的试卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点． （Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；
（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：
①l 平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：
2
214x y ,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且
90AOB
．
（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB 的面积；
（Ⅱ）若直线l 始终与圆2
22(0)x y r r
相切，求r 的值．
20．（本小题满分13分）
已知函数()sin cos f x a x x ，其中0a ．
（Ⅰ）当1a 时，判断()f x 在区间π
[0,]4
上的单调性；
（Ⅱ）当0
1a 2
2
2()
21
a f x t at
a 对于x ∈π
[0,]4
恒成立，求实
数t 的取值范围．
A
B
C
M
D
O
A
B
C
M
D
高三第二次质量检测
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设全集U R =，集合1
{|()2}2
x A x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则( )A B =
A ．{|1x x ≤-或0}x ≥
B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥
C ．{|0}x x ≥
D ．{|1}x x >-
2．已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为 A ．
1
10
B ．1
10
-
C ．
10
i
D ．10i -
3．设y x ,是两个实数，命题“y x ,中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A ．2x y +=
B ．2x y +>
C ．222x y +>
D ．1xy >
4．已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示
的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 A ．8?n ≤ B ．9?n ≤ C ．10?n ≤ D ．11?n ≤
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线
310x y ++=垂直，则双曲线的离心率等于
A ．6
B ．
23
3
C ．10
D ．3
6．定义：
32414
2
31a a a a a a a a -=，若函数1
3
()sin cos f x x
x
=， 将其图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．
3
π
B ．23
π
C ．
6
π
D ．56
π
7．已知函数1
3
3, (1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 A ．47
6 B ．
233
C ．
152
D ．7
9．若实数y x ,满足的约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+-≤-+010101y y x y x ，将一颗骰子投掷两次
得到的点数分别为b a ,，则函数by ax z +=2在点)1,2(-处取得最大值的概率为 A ．15
B ．2
5
C ．1
6
D ．56
10．已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且 23AB AC =30BAC ∠=︒若△MBC ，△
MAB ，△MCA 的面积分别为,,x y z ，记149
(,,)f x y z x y z
=++，则(,,)f x y z 的最小值为 A ．26 B ．32
C ．36
D ．48
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知向量b a 、，其中2=
a ，2=
b ，且
a b)a ⊥-（，则向量a 和
b 的夹角是 __________
12．在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q = 13．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,
,600，
分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间
[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间[496，60]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．
14．已知对于任意的x R ∈，不等式35x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是________． 15．已知函数()f x 满足1
(1)()
f x f x +=-
，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且
2
3
2cos cos sin()sin cos()25
A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值;
（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影． 17．（本小题满分12分）
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知学生小张只选甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用
ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望； 18．（本小题满分12分）
在如图1所示的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =AD =BC =1
2
CD =a ，E 为CD 中点．若
沿AE 将三角形DAE 折起，使平面DAE ⊥平面ABCE ，连结DB ,DC ，得到如图2所示的几何体D -ABCE ，在图2中解答以下问题：
（Ⅰ）设F 为AB 中点，求证：DF ⊥AC ； （Ⅱ）求二面角A -BD -C 的正弦值．
19．（本小题满分12分）
设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-．
（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令22log 2n n n
n
c b b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T 20．（本小题满分13分）
已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()a
h x f x x
+=+，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若1()a
g x x
+=-
，在[1,]( 2.71828)e e =⋯上存在一点0x ，使得00()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）
已知椭圆22122:1,(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32e =，且过点3
(1,)2．抛物线
22:2,(0)C x py p =->的焦点坐标为1
(0,)2
-．
（Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；
（Ⅱ）若点M 是直线l :2430x y -+=上的动点，过点M 作抛
物线C 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 交椭 圆C 1于P ，Q 两点．
i ）求证直线AB 过定点，并求出该定点坐标； ii ）当△OPQ 的面积取最大值时，求直线AB 的方程．
高三第二次质量检测
理科数学参考答案
一、选择题：1-5 CABBC 6-10 BAADC 二、填空题：11．4
π
12．2 13．8 14．()()--28∞+∞，， 15．[)∞+，5
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ；依题意得
(1)(1)0.08(1)0.121(1)(1)(1)0.88x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩ 解得0.4
0.60.5x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以学生小张选修甲的概率为0．4 …………………………………．4分 (Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0
)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ
24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=
∴事件A 的概率为0.24 ………………………………………… 8分 (Ⅲ）依题意知0,2ξ=， 则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52E ξ=⨯+⨯= ……………………12分 18．证明： （Ⅰ）取AE 中点H ，连结HF ，连结EB ，
因为△DAE 为等边三角形，所以DH ⊥AE ，因为平面DAE ⊥平面ABCE ，
.............................. 6分
.............................. 12分
.............................. 8分
所以DH ⊥平面ABCE ，AC ⊂平面ABCE ，
所以AC ⊥DH ，因为ABCE 为平行四边形，CE =BC =a ，
所以,ABCE 为菱形，AC ⊥BE ， 因为H 、F 分别为AE 、AB 中点，所以GH ∥BE ， 所以AC ⊥HF ；因为HF ⊂平面DHF ，DH ⊂平面DHF ，且HF
DH H =，
所以AC ⊥平面DHF ，又DF ⊂平面DHF ，所以DF ⊥AC 。

………………… 5分
（Ⅱ）连结,BH EB 由题意得三角形ABE 为等边三角形，所以，BH AE ⊥，由（Ⅰ）知DH ⊥ 底面ABCE ，以H 为原点，分别以,,HA HB HD 所在直线为,,x y z 轴
建立空间直角坐标系，如图所示： ………………………………… 6分 则333(,0,0),,0),),(,0)2a A B D C a -，
所以，33
(0,)BD =，(,0,0)BC a =-，设面DCB 的法向量为(,,)m x y z =， 则033
0ax -=⎧
⎪⎨=⎪⎩，不妨设(0,1,1)m =， ………………………… 8分 设面DAB 的法向量(,,)n x y z '''=，又3(,0,)2a DA = ，则300x z y z ⎧''=⎪⎨''-=⎪⎩
，
取33
(1,
,)3n =， …………………………………………………………… 10分 所以10
cos ,5
||||
m n m n m n •<>=
=
•，所以二面角A BD C --15。

…… 12分
19．解： （Ⅰ）因为n n n S a 31+=+,所以n n n n S S S 31+=-+，
即n n n S S 321+=+，则)3(23323111n n n n n n n S S S -=-+=-+++，
所以n n b b 21=+，又133111=-=-=a S b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列。

故数列{}n b 的通项公式为1
2
-=n n b 。

…………………………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：122
22log 2--=+-
=n n n n n
n b n b c ，………………… 6分
设12322
212423221--+-+++++=n n n
n M ………………① 则
n n n
n M 2
2124232221211432+-+++++=- ……………②……………………8分 ①-②得： n n n n n
n M 22122212121212112111432--=-++++++=-- ，……10分
所以11
2
2242214---+-
=--=n n n n n M ，所以422
)1(1
-+++=-n n
n n n T 。

…………12分
20．解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分
x
x f 21)('-
=∴，121)1('
-=-==∴f k ， ......3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=． (4)
分
（Ⅱ）1()ln a
h x x a x x
+=-+
，定义域为),0(+∞， 2
222'
)]
1()[1()1(11)(x
a x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('
>x h ，a x x +>∴>1,0
令0)('
<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('
>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln a
h x x a x x
+=-+
在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，
01)()]([min
≤-++==∴a e
a
e e h x h ，112-+≥
∴e e a ， 1112->-+e e e ，1
1
2-+≥∴e e a ； ……10分
②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，
011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分
③当e a <+<11，即10-<<e a 时，
0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h
1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h
此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……12分
综上可得所求a 的范围是：1
1
2-+≥e e a 或2-≤a ．………………13分
21．解：（I ）由于椭圆1C 中，3e =2204x y λ+=>，由于点3
在
椭圆上，故代入得1λ=．故椭圆1C 的方程为22
14
x y +=．对抛物线2
C 中， 122p =，故1p =，从而椭圆1C 的方程为2
214
x y +=，抛物线2C 的方程为22x y =-．------4分
（II ）i)设点00(,)M x y ，且满足002430x y -+=，点1122(,),(,)A x y B x y ，则切线MA 的
斜率为1x -，从而MA 的方程为111()y x x x y =--+，考虑到2112
x y =-，则切线MA 的
方程为110x x y y ++=，同理切线MB 的方程为220x x y y ++=，----5分
由于切线MA ，MB 同过点M ，从而有200220020
x x y y x x y y ++=⎧⎨++=⎩，由此点1122(,),(,)
A x y
B x y 在直线000x x y y ++=上．又点M 在直线2430x y -+=上，则002430x y -+=，-6分
故直线AB 的方程为00(43)220y x y y -++=，即0(42)(23)0y x y x ++-=，显然直线AB 过定点13
(,)24
-
-．-------8分 ii ）设3344(,),(,)P x y Q x y ，考虑到直线AB 的方程为000x x y y ++=，则联立方程
2
20
014
x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，消去y 并简化得222
0000(14)8440x x x y x y +++-=，-----9分 2
200
16(41)0x y ∆=-+>，003420841x y x x x +=-+，2
0342
044
41
y x x x -=+-------10分 从而22
00222
23434340
2
16(41)
||1|1()4114PQ PQ x y PQ k
x x k x x x x x
x -+=+-=++-++，--11
分
点O 到PQ 的距离02
01d x =+， 从而2200200220
16(41)11||122141OPQ x y S PQ d x x x ∆-+=⋅⋅=+++222222000000200
(41)(41)114y x y y x y x ⋅-++-+==+ ，-----12分 当且仅当22200041y x y =-+，即2200122
y x =+ 又由于002430x y -+=，从而消去0x 得22002(43)1y y =-+，即20071250y y -+=，从而求得00517y y ==或，从而00121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或0011457x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，从而所求的直线为 220x y ++=或14100x y --= ……………………………………………………14分
2021年高考模拟试题(一)
文科数学
2021.5
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.i 是虚数单位，若
21i i -+在复平面上的对应点在 A.第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 2.已知集合{}{}1,3,,,,A x B x A B B x ==⋂==则
A. 0或3
B. 3或9
C. 0或9
D. 1或9 3.函数()2323log 2y x x x =--+的定义域为
A. ()(),13,-∞-⋃+∞
B. ()[),13,-∞-⋃+∞
C. (]2,1--
D. (][)2,13,--⋃+∞
4.设向量()()cos ,1,2,sin ,a b a b αα=-=⊥若，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A. 13- B. 13 C. 3- D. 3
5.执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为
A.（11，12）
B.（12，13）
C.（13，14）
D.（13，12）
6.下列结论中正确的个数是
①命题“,cos 0x R x ∀∈>”的否定是“00,cos 0x R x ∃∈≤”；
②射击比赛中，比赛成绩的方差越小的运动员成绩越不稳定；
③在ABC ∆中，“A B <”是“22cos cos A B >”的充要条件；
④若p q ⌝∨是假命题，则p q ∧是假命题
A.1
B.2
C.3
D.4
7.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A. 48
B. 48817+
C. 32817+
D.80 8.函数()()ln 2cos f x x x =++的图象大致为
9.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><
）的图象如图，为了得到()sin g x A x
ω=的图象，则只需将()f x 的图象 A.向右平移6
π B. 向右平移
12π C. 向左平移6π D. 向左平移12π
10.已知双曲线向右平移()222210,0x y a b a b
-=>>的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=
A.4
B.3
C.2
D.1
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.
11.某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数_________.
12.已知直线10x y -+=与圆心为C 的圆22240x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________.
13.已知函数()2
2f x x ax b =+-，若a,b 都是区间[]0,4内的数，则使()10f <成立的概率是_______.
14.设210,1x y x y x y
>>0,2+=2,++则的最小值为___________. 15.对于函数()(),f x g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得()()001f x g x -≤，则称0x 是函数()()f x g x 和在区间D 上的“互相接近点”.现给出两个函数：
①()()22,2f x x g x x =+=； ②()()ln ,2x f x g x x
== ③()()11,x f x e g x x
-=+=- ④()()ln ,f x x g x x == 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
某校从参加考试的学生中抽出50名，将其成绩（均为整数）分成六组[)[)40,50,50,60，…，[]90,100，其样
本频率分布表如
下：
（I ）试把给出的样本频率分布表中的空格都填上；
（II ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（III ）从成绩是80分以上（含80分）的学生中选两名，求他们在同一分数段的概率.
17. （本小题满分12分）
已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ABC ∆，设的面积为S ，且2302S AB AC c -⋅==，.
（I ）求角A 的大小；
（II ）若22265
a b c ab +-=，求b 的值.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AD ⊥平
面ABE ，EB BC =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ；
（I ）求证：AE ⊥平面BCE ；
（II ）求证：AE//平面BFD.
19. （本小题满分12分）
已知{}n a 的首项112
a =，前n 项和为,n n n S S p a =-且. （I ）求p 及{}n a 的通项公式；
（II ）对n N *∈，在1n n a a +与之间插入3n 个数，使得这32n +项成等差数列，记插入的3n 个数之和为43
n n n b c nb =，令，求{}n c 的前n 项和n T .
20. （本小题满分13分）
已知函数()32
,.f x x ax x a R =++∈. （I ）若()[]11f x -在，上是增函数，求a 的取值范围；
（II ）若a =0，对任意的0x >，总有()()
x f x x e k <+成立，求实数k 的取值范围.
21. （本小题满分14分）
如图，椭圆C 的左、右交点分别为122,,F F F 过的
直线l 交C 于A,B 两点，1ABF ∆的周长为8，
且2F
与抛物线24y x =的焦点重合. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若直线l 交y 轴于点M ，且22,MA AF MB BF λμ==，求λμ+的值； （III ）是否存在实数t ，使得2222AF BF t AF BF +=⋅恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.
2021年高考模拟试题
理科数学
2021．5
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．
1.设i 是虚数单位，若21mi i -+为纯虚数，则实数m 的值为 A. 2 B. 2- C. 12 D. 12
- 2.设集合{}{}
22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则 A. []1,2 B. [)1,2 C. []0,3 D. (]0,3
3.若0a b <<，则下列结论中正确的是
A. 22a b <
B. 2ab b <
C. 1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. 2b a a b
+> 4.已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则
A.4
B.2
C. 3-
D. 4-
5.执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为
A.（11，12）
B.（12，13）
C.（13，14）
D.（13，12） 6.已知()x f x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则
A.p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈<
B. p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤
C. p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈<
D. p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤
7.若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8.已知函数()()()()()()22,log ,ln x f x x g x x x h x x x f a g b h c =+=+=+==，若 0=，则
A. c b a <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. a c b << 9.设平面区域D 是由双曲线2
214
x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则
211y x x -++的取值范围是 A. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. []1,1- C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
10.若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为
①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；
②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13
~λ特征函数”至少有一个零点； ④()x f x e =是一个“~λ特征函数”.
A.1
B.2
C.3
D.4
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.
11.已知向量a 与b 满足()2,2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.
12.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.
13.直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______.
14.已知()()0sin n
f n nx dx π
=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒
成立，则正整数n 的最大值为___________.
15.已知点A,B,C,D 均在球O 的球面上，1,3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14
，则球O 的表面积为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
. （I ）求()f x 的最小正周期；
（II ）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为23，求c 的值.
17. （本小题满分12分）
某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单
位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如
图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.
（I ）求直方图中x 的值；
（II ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请
政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少
企业可以申请政策优惠；
（III ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于
20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以
直方图中的频率作为概率）
18. （本小题满分12分）
一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中AB=6,AD=4，顶部线段EF//平面ABCD ，棱EA=ED=FB=FC=62，二面角F BC A --的余弦值为1717.设M,N 分别是AD ，BC 的中点.
（I ）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；
（II ）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）
已知{}n a 满足()()
121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和，
求证：对任意,2n n N S π*∈<+.
20. （本小题满分13分）
已知函数()()2
ln 1f x ax x =++. （I ）当14
a =-时，求函数()f x 的极值； （II ）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩
所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32
，它的一个顶点恰好是抛物线242x y =的焦点.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）直线2x =与椭圆交于P,Q 两点，P 点位于第一象限，A,B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点.
（i ）若直线AB 的斜率为
12
，求四边形APBQ 面积的最大值；。