流体力学教案边界层理论

第八章 边界层理论
§8-1 边界层的基本概念
实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。

对层流而言，单位面积摩擦力的大小y
u
d d μ
τ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。

速度梯度y
u
d d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。

若速度梯度
y
u
d d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。

对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。

则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。

Vl
v l l
V v A y u V l t
V
l t u m
ρρμρρ======2
223d d d d 粘性力惯性力
当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。

由v
Vl
==
粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所
以可略去粘性力。

但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。

所以，在这一薄层中，两者均不能略去。

这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。

a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。

b ．整个流场分为两部分 层外，
0=∂∂y
u
，粘性忽略，无旋流动。

层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。

c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义
，
为边界层厚度。

d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。

由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即
y
u
∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。

所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，
图8-2空气沿平板边界层速度分布
外部区域
边界层
边界层外的流动是无旋的势流。

边界层的基本特征有： (1)
1<<L
δ
⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。

(2) 层内
y
u
∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。

(3) 边界层内，
0=∂∂y
p
，即认为边界层内各截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力；惯性力和粘性力为同一数量级。

另外，边界层又分为层流边界层，紊流边界层以及超始部分为层流，然后是紊流的，为混合边界层。

层流边界层向紊流边界层过渡时，不是突然转变的。

层内的扰动随着边界层的增厚在某个部位出现并发展出来，直至充满整个边界层。

所以，从层流到紊流之间有一过渡区段.
边界层由层流向紊流的转变，决定了Re 的大小，判别边界层层流和紊
o 图 8-3 平板上的混合边界层
流的雷诺数为：v
Vx x =
Re ， 其中：x —为所测点与物体前缘点的距离。

V —为边界层外边界上的速度V (x )。

对平板面言，层流转变为紊流的临界Re 为：
65103~105Re ⨯⨯=临x ，=临界x Re (来流紊流度，物体壁面粗糙度)
Re x 临与边界层外势流的紊流度以及物体壁面的粗糙度有关。

实验证明，若使层外Re
，或增加壁面粗糙度
Re x 临
(相当于增加扰动)，提前
使边界层内的流动由层流转变为紊流。

工程上还常常遇到一种管流边界层。

如图所示。

流体从大容器流入管道，管道入口呈圆角，则在进口断面上处流速分布均匀。

由于粘性，流体在近壁处形成边界层，且边界层厚度沿流动方向增大。

根据流体流动的连续性，边界层内流速的减小，必将使中心部分流速增大，因此，沿流动方向的各断面上速度分布不断改变。

直至在离进口距离为L 的c -c 断面上，边界层基本上扩展至管轴，此时断面中心最大流速已等于完全扩展段的最大流速的0.98-0.99，则认为该断面上流动基本上已完全扩展。

从进口a -a 至c -c 断面的距离L 称为管道的起始段长度，c -c 断面以后则为充分发展的管流。

当起始段边界层为层流时，起始段长度L 较大，约为L /d =0.058Re 。

起始段除了摩擦损失之外，还有流体动能变化而导致的附加损失（从进口处的
2/2V ρ逐渐增大至2V ρ）。

若设附加损失为2/2V k ρ，则起始段内的总压强损失l p ∆为
2
32
2
2
V k
d VL
p p p c a l ρμ+=-=∆
理论分析和实验研究的结果表明：k =1.16~1.33
若加大管道入口流速，使边界层由层流转变为紊流，由于紊流流体质点的脉动混杂，边界层比层流增长得快，因此起始段比层流时要小，约为L /d =30。

实际在距进口12d ，边界层已扩展至接近管轴，之后边界层的继续扩展就很
缓慢，在距进口12d，以后，沿程阻力系数已与充分扩展时相同，这就是说，紊流起始段很短，影响也小，一般情况下可以忽略不计，但在工程测量及管道阻力实验时，需避开起始段的影响。

§8-2 不可压层流边界层方程
边界层特性的确定，关系到流动阻力、能量损失、传热传质等重要的工程实际问题。

德国人普朗特和匈牙利人冯·卡门(普朗特的学生)在这方面作出了巨大贡献。

他们除了提出边界层的概念以外，还推导了边界层的解析计算法和动量计算法。

前者算为边界层的微分方程式，后者称为边界层的积分方程式。

下面，我们首先讨论边界层的微分方程式。

由于在边界层以外，
y
u
∂∂很小，可认为是无旋运动，则可利用理想流体的势流理论进行处理。

所以，对流体的流动阻力，我们可近似地认为全部发生在边界层以内。

(这就是研究边界层内的流动的意义之一)
前提：在边界层以内，取值范围：0≤x ≤l ，0≤y ≤l ，由于x ≥y ，我们认为x 的数量级是1，y 的数量级是△，并且认为：△比1低一个数量级。

所谓低一个数量级，一般可以这样认为，两个量之比，其中一个量可忽略时，则认为这个量比另一个量小一数量级。

即：x ~1，y ~△
并且边界层内，由u ≥υ，故认为或由连续方程
0=∂∂+∂∂y
x u υ，u ~1，υ~△，
∞
V x
图 8-5 不可压平板层流边界层
∵x ~1并且我们认为u ~1，而y ~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方程，
0=∂∂+∂∂y
x u υ，∆∆+11。

注意：导数又称为微商，例如x
y
x y x ∆∆=→∆0lim
d d ，类似地在进行数量级比较时，我们可以写成
1
1~x u ∂∂，即x y
∂∂1的数量级。

假定边界层内流动全是层流，且忽略质量力，那么，对于不可压流体定常二元绕流流动并忽略质量力时，N-S 方程和连续方程为：
因为两方程联立，上式保留1的数量级项，低于1的数量级统统忽略。

①、②两式中右边括号内的两项相比，后一项要比前一项大得多，所以
2
222x x u ∂∂∂∂υ
，均可略去，又由①式由于惯性力和粘性力属于同一数量级，而惯性项的1的数量级，而粘性项必然为1，而22x u ∂∂为21
∆
的数量级，则必有v 为2
∆的数量级。

又②式与①式相比，又可略去三项。

至于压力梯度的数量级，我
2∆111∆∆11121∆)(12222y
u
x u v x p y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρυ0=∂∂+∂∂y
x u υ∆∆1112∆∆∆∆∆11∆2∆
∆)(12222y x v y p y x u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂υ
υρυυυ(1)
(2)
(3)
们后面再讨论。

故由： ⇒)1( 221y
u
v x p y u x u u ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρυ
⇒)2( 0=∂∂y
p
⇒)3(
0=∂∂+∂∂y
x u υ
边界条件中，y =0，u =υ=0；y =δ，u =u (x )，对沿平壁面而言y =δ，u =1。

上式即为层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特在1904年提出。

从(3)还可以得到一个重要结论，在边界层内
0=∂∂y
p
，即边界层横截面上应点压力相等，即p =f (x )，而边界层外界上及边界层以外，由势流伯努利方程：
const 2
1
2e =+
U p ρ 求导，则：
x
U U x p
x U U x p d d d d 0d d 221d d e e e e ρρ-=⇒=+ 说明层外压力项和惯性项具有同一数量级，而边界层以内
0=∂∂y
p
，并且，由于在边界层以内惯性项和粘性项为同一数量级，所以压力梯度至多也只能是1的数量级，否则等式(3)不能成立。

当流体纵掠平板时，边界层外主流速度没有变化，此时，
0d d e
=x
U ，则0d d =x
p
，则整个流场压力处处相等。

方程(3)虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的曲线壁面仍然
适用。

此时，x 轴沿壁面方向，y 轴沿壁面法线方向。

边界层微分方程式是边界层计算的基本方程式。

显然，此方程比一般的N-S 方程要简单，但是，由于它的非线性(例如y
u
x u u
∂∂+∂∂υ，就并非一次函数)，即使对于外形最简单的物体，求解也是十分困难的。

目前，只能对最简单的平板绕流层流边界层进行计算，对复杂物体的绕流以及紊流边界层还不能用微分方程求解。

为此，下一节讨论边界层问题的近似解法，即边界层动量积分关系式。

§8-3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。

推导前提：二元定常，忽略质量力，且u >>υ(由边界层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x 方向的动量变化，不引入y 方向的流速υ。

取控制体如图所示，沿边界层取一块面积ABDC ，AB 、CD 为两通直线，且垂直壁面的两者相距d x ，BD 为壁面，并且也为x 轴。

AC 为边界层的外边界线(并非流线)。

垂直纸面(黑板面)方向的尺寸为1，则单位时间内： AB 面流进的流体质量⎰⋅=δ
ρ0
AB d 1y u m ；
动量⎰=δ
ρ0
2AB d y u K
CD 面流出的流体质量⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+
=δ
δ
ρρ0
0CD d d d x y u x y u m ；
d
p
⎪⎭⎫∂∂+
x x d δC d 图 8-6 边界层微元控制体
同理 动量⎰⎰⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+=δ
δρρ0
22
CD d d d x y u x y u K
对定常流，由质量守恒：
流进控制面的流体质量=流出控制面的流体质量
又因边界层外边界线AC 与流线并不平行，故AC 面有质量流进。

则AC 面流进的流体质量，由m AB +m AC =m CD
⇒x y u x m m m d )d (0
AB CD AC ⎰∂∂=
-=δ
ρ 动量=质量流量×速度 ⇒x y u x U K e
d )d (0
AC ⎰∂∂=δ
ρ 其中U e 为边界层外边界上的速度。

则单位时间内通过控制面的x 方向的动量变化为：出口动量—入口动量
x y u x U y u x K K K d d d 0e 02AC
AB CD ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂-∂∂=--⎰⎰δδρρ 而控制体在x 方向的受力为： AB 面：F AB =p ·δ·1
CD 面：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+
-=x x p p F d d )(d CD δδ AC 面：x x x x p p F d d d 2d AC δ⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+= BD 面：1d w BD ⋅-=x F τ 负号是因为受力与x 轴方向相反 则x 方向外力之和为：
∑-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=x x x px p x x p p p F x d d d )(d d 2d w τδδδ
x x x p x x p x x p
x x p p d d d d d d d d d d d 2d w w τδτδδδ--=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 其中略去了二阶微量。

那么，由动量定理，得到：定常运动条件下边界层的动量积分关系式。

⎰⎰-∂∂-=∂∂-∂∂δδτδρρ0w 0e 2d d x
p
y u x U y u x 由于在边界层内，0=∂∂y
p
，∴，p =p (x )，且δ=δ(x )，所以，上述偏导数可改写成：
⎰⎰--=-δδτδρρ0w 0e
2d d d d d d d d x
p y u x U y u x
上式即为边界层的动量积分关系式。

由于在推导过程中，未知对w τ作任何本质的假设，所以上式适用于层、紊流。

对不可压流体，上式的未知数有三个，即u ，w τ，δ，所以一个方程要解三个未知数，那么还要补充两个方程。

二、边界层的位移厚度和动量损失厚度
动量积分关系式
⎰⎰--=-δδτδρρ0w 0e
2d d d d d d d d x
p y u x U y u x ， 先改写动量积分关系式，由势流伯努到方程：const 2
1
2e =+U p ρ 则
x
U U x p
d d d d
e e ρ-=， 再由于 ⎰=δδ0
d y ，
则 ⎰
⎰
-=-=δ
δ
ρ
ρδ
e 0
e d d d d d d d d y U x
V
y x
U x p
再对左边第二项做了变换，由乘积求导公式：
x
x x x x x d d )
(d d d d d d d d )(d d η
ϕ
ϕηϕηϕηηϕϕη-=⇒+=，令e U
=， ⎰
⎰⎰==⇒=δ
δδ
ρρηϕϕρ0
e e d d d y u U y u U y u
则 ⎰⎰⎰
-=δδδ
ρρρ000
e
e
e
d d d d d d d d d y u x
U y u U x y u x U
按上述变换代入，且左边第一项以及或边的w τ得：
⎰⎰⎰⎰
-=-+-δδ
δ
δ
τ
ρ
ρρρ00w
e
e
e e
2d d d d d d d d d d d d y U x
U y u x
U y uU x y u x
()()w 0e e 0
e
d d d d d d τρρδδ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰y u U x U y u U u x 下面分析式中两次积分的物理意义： 第一项积分：⎰⎰-δ
δ0
e d d y u y U
()()⎰⎰⨯-=-δ
δ0e 0e 1d d y u U y u U
表示速度为V 的理想流体，流经高度为
，垂直纸面尺寸为1的截面的
流量与以实际流速u 流过同样截面的流量之差。

图示如下：
V
x
y
U e -u
图 8-7 边界层位移厚度
而曲边三角形的面积总可用一个矩形面积来代替，令
()⎰-=⋅δ
δ0
e e 1d y u U U
()⎰⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=-=
δ
δ
δ00e e e
1d 1d 1y U u y u U U
1
就称为位移厚度。

比较同一平板表面的粘性流和理想势流流动，由
于粘性流体边界层内的流动受阻，在无穷远处来流中每一条确定的流线在理想势流流场中的位置被向外排挤了一段距离。

方程第三项积分的物理意义为：
()()⎰⎰
∞
-=-0
e 0
e d d y u U u y u U u ρρδ
显然()⎰∞-0
e d y u U u ρ表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。

令()⎰∞
-=⋅⋅0e 2
e 2d 1y u U u U ρρδ
()⎰⎰
∞∞
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=
0e
e 0
e 2
e
2d 1d 1y U u
U u y u U u U δ
2δ称为动量损失厚度，它的物理意义为：当理想流体流过平板时，某一断面处通过的质量流量为⎰δ
ρ0
e d y U ；若是粘性流体通过该断面，其质量流量
为⎰δρ0
d y u ，因此在同一断面损失的理想流体的质量为()⎰-δ
ρ0
e d y u U ，损失的
动量为()⎰-δ
ρ0
e d y u u U ，把这部分动量损失折算为厚度
2，的理想势流所具
有的动量，边界层内的流体动量损失，其数值相当于平板表面上的厚度为
2的一层理想流体的动量。

§8-4平板层流边界层的近似计算
作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。

如图所示：
设x 轴沿着平板，y 轴为平板法线方向。

坐标原点在平板前缘点上，来流的∞V 沿x 轴，板长为l 。

假定来流∞V 流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。

现在要求的是边界的厚度δ的变化规律和摩擦阻力F D 。

由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流动的改变。

所以，
在边界层外边界上，()∞=V x V &
，由势流的伯努利方程： const 2
12
=+∞V p ρ
两边对x 求导，则：
0d d 221
d d =+∞∞x V V x p ρ 0d d =x
p
即：p =常数，即边界层外边界上压力为常数。

而边界层内，
0=∂∂y
p。

所
∞
V )(x V 外部速度
x
图 8-8 平板层流边界层
以整个边界层内向点压力相同。

即=
x p d d 0=∂∂y
p
整个流场压力处处相等。

代入上式则变成：
w 002d d d d d d τρρδ
δ-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∞y u x V y u x
(1)
(1)式中有三个未知数u ，w τ，δ，所以再补充两个方程。

①当x 固定时，假设边界层内速度u 的分布为：
∑==++++=4
04
43
32
210)(k k k y a y a y a y a y a a y u (2)
可以看出层内随y ↑—>u ↑，这和实际情况是符合的。

边界条件：
1) 壁面外，y =0，u =0；
2) 边界层外边界处，y =δ，u = V ； 3) 边界层外边界处，y =δ，
0=∂∂=s
y y
u
；
4) 边界层外边界处，由于u = V ，由层流边界层微分方程(即普朗特边界层方程),在边界层的外边界上：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=-=∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂=0d d 112
222x p y u y u
v x p y u x u u s y μρυ
5) 在平板壁面处，y =0，u =υ=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得：
0d d 10
2
2=-
=∂∂=x
p
y u
y μ； 把边界条件代入(2)式，得：
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎨⎧=-====∞∞443
3210202
0δδδV a V
a a V a a
再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中的速度分布规律为：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞4322δδδy y y V u
再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得：
δμδδδδ
μμτ∞=∞
==⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==V y y y V y u
y y 2462)d d (03
20w (3)
再将上式代入(1)式求积分，则得到：
δδ
∞=
⎰
V y u 10
7
d 0
(4)
δδ
2
2630
367d ∞=
⎰
V y u
(5)
将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得： v x
V =∞d d 63037δδ x v V d d 630
37
=∞δδ，积分得：
C vx V +=∞21260
37
δ 确定积分常数C ，x =0，δ=0，C =0，于是得：
2
1
Re 84.584.5-
==∞
x x V vx δ，v x V x ∞=Re
它的精确解为2
1
Re 5-
=x x δ，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精确。

其系数为4.64。

因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。

由上式可看出：x ↑—>δ↑；V ∞↑—>δ↓。

将表达式，代入(c)式，得切向应力：
2
12w Re 365.0-
∞
=x V ρτ
从上式可以看出：沿平板长度方向(x 方向)，w τ越来越小，这是因随
x
，速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。

总摩擦阻力为：
⎰-∞
==η
02
12w D Re 73.0d L V bl x b F ρτ
其中b 为板宽，且F D 为平板一面的摩擦阻力，一块板两面的摩擦阻力为2F D 。

摩擦阻力系数为： 2
12D f Re 46.12
1
-∞==
L bl V F C ρ。

其中C f 为无量纲数
§8-5 平板紊流边界层近似计算
对紊流必须用另外的方法去找两个补充关系式。

根据普朗特假设，通常我们和圆管内的紊流进行比拟。

并认为圆管中心线上的最大速度相当于平板未流速度V ，圆管半径r 相当于边界层厚度。

并且假定从平板前缘一开始
(x =0处)就是紊流边界层。

那么与圆管一样，假定紊流边界层内速度分布也服从七分之一次方规律，则：
7
1)(δy
V u ∞=
(1)
并且由公式g
V d L h L gh r 222
f f 0w
λρτ==和推出： 2w 8
V ρλ
τ=
(2)
在4×103≤Re ≤105范围内
⎪
⎩⎪⎨⎧
===max 4/125.08.0)(2660.0Re 3164.0u V v Vr &λ
其中，v
Vr
v Vd 2Re =
=，V 为边界层内的平均流速，u max 相当于V 。

且将r 换成
，则得：
4/12w )(
0234.0δ
ρτ∞∞=V v V
(3)
将(1)(3)代入，并且由前节推导
0d d =x
p
，最后经积分，微分，再积分得：
C x x
V +=∞5
1)(
383.0ν
δ
确定积分常数C ，x =0，δ=0，得C =0，得：
5
1Re 383.0-
=x x δ
代入(c)得：
5
12w Re 0297.0-
∞
=x V ρτ
则平板一个壁面上的总摩擦阻力
⎰-∞==L
L V bL x b F 05
1
2
w D Re 0371.0d ρτ
摩擦阻力系数为：
5
12D f Re 074.02
1
-∞==
L bL V F C ρ
根据实验测量：C f 的系数比较精确的数值是0.074，则：
5
1f Re 074.0-=L C
上式仅适用于5×105≤L Re ≤107
当L Re >107时，速度分布的1/7次规律与实际出入较大，此时层内速度分布相当于对数规律式，则：
()
58
.2f Re lg 455
.0L C =
表8-1给出了平板层流边界层和紊流边界层的近似计算公式。

从表中可看出，平板层流边界层和紊流边界层的重大差别有： 1) 紊流边界层沿平板壁面法向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快，也即使说紊流边界层的速度分布曲线比层流边界层的速度分布曲线要
饱满得多，这与圆管的情况相似；
2) 沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得快，因为紊流的δ与5
4
x 成比例，而层流的δ则与2
1x 成比例，在紊流边界层内流体微团发生横向运动，容易促使厚度迅速增长；
3) 在其他条件相同的情况下，沿平板壁面上紊流边界层的切向应力沿着壁面的减小要比层流边界层的减小慢些；
4) 在同一L Re 下，紊流边界层的摩擦阻力比层流边界层的大得多，这是因为层流中的摩擦阻力只是由不同流层之间发生相对运动而引起的，紊流中还有流体微团的很剧烈的横向掺混，因而产生更大的摩擦阻力。

§8-6 平板混合边界层近似计算
为了求平板混合边界层的摩擦阻力，作出下面两个假设：
1) 在A 点由层流边界层突然转变为紊流边界层，即在某一截面上突然发生转变。

2) 在计算紊流边界层的厚度变化(即
)，层内速度和切应力的分布时都
认为是从前缘点O 开始的(否则前面的有关公式则不能用)。

由以上两个假定，则平板混合边界层的总摩擦阻力：
DLOA DTAB DMOB F F F +=
其中：DM F ——代表混合边界层总摩擦力； DL F ——代表层流边界层总摩擦力； DT F ——代表紊边界层总摩擦力； 则：DLOA DTOA DTOB DMOB F F F F +-=
()22
2
2
2
cr L T T 2
L
cr 2
T
2
T
∞
∞∞∞⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--+-V bL L x C C C bx V C bx V C bL V C f f f cr
f f f ρρδρ
图 8-9 平板混合边界层
其中：x cr ——为转变点A 至前缘点O 的距离； L f C ——为层流边界层的摩擦阻力系数； T f C ——为紊流边界层的摩擦阻力系数； b ——为垂直黑板方向的平板宽度。

由上式，则混合边界层的摩擦阻力系数为：
()
L
f f f f f A C L
x C C C C Re T
cr L T T -=--=
式中：xc L T Re )(f f C C A -=，取决于层流边界层转变为紊流，边界层的临界雷诺数Re xc 。

本书介绍了以下两个公式，由上式用来计算平板混合边界层的摩阻系数：
5×105≤L Re ≤107，L
L f A
C Re Re 074.02
.0-= (1) 5×105≤L Re ≤109，L
L f A C Re )Re (lg 455.058.2'
-=
(2)
并且，层流边界层的摩擦阻力系数比紊流的摩阻系数要小得多。

所以，在混合边界层中，层流边界层越长，则平板摩擦力阻力就越小。

§8-7 边界层的分离现象
前面几节讲座的是绕平板流动的边界层问题，这类问题比较简单，这是因为整个流场包括边界层内压力保持不变。

但是当粘性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的流体速
度V是改变的，即
d
d
≠
x
V
，0
d
d
≠
x
p
，所以，曲面边界层内的压力也将发生变
化。

图8-10 边界层分离示意图
(a) 流线型物体(b)非流线形物体
下面我们就来分析由于压力的变化，即
0d d ≠x
p
对边界层内流动的影响，进一步说明流动离开物体而分离的原因。

并且，由于层内
0=∂∂y
p
，故 x
p x p d d d d ∞
=。

那么，什么叫边界层分离呢？
指边界层从某个位置开始脱离物面，此时物面附近出现回流现象，这样的现象又称作边界层脱体现象。

流体绕流机翼，无穷远处来流速度为V ∞，压力为p ∞。

下面我们只研究上半表面并把它放大，如图所示，沿上表面流体先加速，即0d d >x
V
，到最小截面M 处，流速最大为V max ，反之，压力沿x 下降，即
0d d <x
p
，到最小截面处压力最小为p min 。

图中实线处表示流线，虚线表示边界层的外边界。

过了M 点以后，由于截面扩大，流体减速，即
0d d <x V ，压力上升，即0d d >x
p
，于是，到某一截面，S 点以后，发生边界层分离。

下面我们进一步分析分离现象的物理过程，我们知道粘性力，即摩擦力
∞
V ∞
p x
)
(x p 图 8-11 曲面边界层分离形成示意图
对流体的流动起阻碍作用，即损耗动能，减低流速，而越靠近物体壁面(因
y
u
d d 越大)受粘性力的阻滞作用越大，那么动能损耗越大，减速越快。

而在曲面降压加速段中，由于流体的部分压能转变为流体的动能，由于，所以，虽然粘性力阻碍流体运动，但由于0d d <x
p
，推动流体前进，对摩擦力起着抵消作用。

所以，流体仍能前进。

但在曲面减速升压段中，于前述恰恰相反，一方面流体的动能部分地能转变为压能(由于做减速运动)，即
0d d >x
p
，另一方面，粘性力的阻碍作用又继续损耗功能，即压力的沿流程上升和摩擦阻力一起同时流动起阻碍作用。

从而使流速降低，边界层增厚。

当流体流到曲面的某一点S 时，这时，靠近壁面的流体微团动能已全部损耗。

所以，这部分流体微团便停滞不前，速度为零，并且阻碍了后面流体微团的前进，后面的流体微团只能绕道前进，与此同时，由于
0d d >x
p
，即压力继续升高，迫使下部分流体微团向反方向逆流，并迅速向外扩张，于是，后面的来流由于受这部分流体的阻碍，则被迫离开物体壁面。

这样，便形成了边界层分离。

并且，S 点为曲面上流体的流动方向发生改变的点，称为分离点。

ST 线上一系列流体微团速度均等于零。

线以上流体正向流动，线以下流体反向流动(即倒流)，由于间断面(注意当数学上意义不一样)的不稳定性，所以，很小扰动就会引起ST 线的波动，形成旋涡，被主流带走，并在物体的后面开成尾涡区。

边界层分离的结果是在流场中形成旋涡区，由于旋涡运动损耗大量功能(变成热量耗散)，因而边界层分离现象应尽量避免。

并且，从上述分析可看
出，边界层分离现象只可能发生在逆压梯度(即
0d d >x
p
)的区域。

由边界层分离的数学分析，我们知道在边界层外边缘，即y =δ处，切应力很小，而在边界层外的主流区则认为切应力为零，则在边界层外边缘切应力沿y 方向的变化率为负值。

即，
0<∂∂=s
y y
τ
而边界层内(假定为层流)，将y
u
∂∂=μ
τ代入上式，
0)(22<∂∂=∂∂∂∂==s
y s y y
u y u y μμ
即，02
2<∂∂=s
y y
u
(1)
而二阶导数小于零，说明曲线是凸的，说明在外界层外缘速度分布曲线的曲率中心在曲线左侧；
而在壁面上，即y =0处，由普朗特边界层方程：
221y
u
v x p y u y u u ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρυ
由00==y u ，00
==y υ
，则
x
p
y u y ∂∂=
∂∂=μ10
2
2
(2)
下面分三种情况讨论： (一)加速段，即
0<∂∂x
p
，顺压梯度的情况
由(2)式得：00
2
2<∂∂=y y u
由(1)式得：02
2<∂∂=δ
y y
u
说明在0≤y ≤的区域内二阶导数小于零，速度分布曲线是凸的，曲率
中心在曲线左侧。

(二)零压梯度，即
0=∂∂x
p
，即压力最小处 由(2)式00
2
2=∂∂=y y
u
，二阶导数为零，说明速度分布曲线在y =0处存在拐
点，即速度在此点有反方向变化趋势，而边界层外缘，02
2=∂∂=δ
y y
u。

(三)减速段，即
0>∂∂x
p
，逆压梯度的情况 由(2)式00
2
2>∂∂=y y
u
，二阶导数大于零，速度曲线为凹型，说明速度反方
向变化，而边界层外缘，02
2>∂∂=δ
y y
u。

图8-12 边界层分离示意图
曲线由凹到凸，说明速度分布曲线在0≤y ≤的周围内存在拐点。

速度
到面沿流程的变化趋势为，即速度到面越来越瘦。

于是在某一点x =x s 处，
00=∂∂==xs
x y y
u ，而在x =x s 左侧，
00
>∂∂=y y
u ，流体沿流动方向流动；在x =x s 右侧，
00
<∂∂=y y
u ，流体反方向流动；则x =x s 处，
00=∂∂==xs
x y y
u ，流体微团停止前进，
而是在(y =0+△y )流体发生分离。

而x >x s 处，二阶导数00
2
2>∂∂=y y u
为凹，到
02
2<∂∂=s
y y u 为凸，中间必然存在一个拐点，022=∂∂y
u
，并且速度由正方向到反
方向中间必有速度为0的点，此点的速度等于0。

结论：边界层分离只可能发生在压力沿流程升高的区域，即
0>∂∂x
p
，逆压梯度的情况下(但不是充分条件)。

并且，分离点后的区域不再保持边界层特性。

继续增加雷诺数，即使柱体的后半部分的0>∂∂x
p
，继续增加那么分离点S 就一直前移。

ST 线上流体正方向流动 ST 线下流体反方向流动
形成旋涡，消耗能量。