高三数学(理)二轮专题复习习题：专题七选考系列第2讲不等式选讲含解析

高三数学（理）二轮专题复习习题：专题七选考系列第2讲
不等式选讲含解析
高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y ＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b ，求a ＋b 的最小值.
解 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x≥1. y ＝f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知，y ＝f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax ＋4，g(x)＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f(x)＝－x2＋x ＋4，
g(x)＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>1，2，－1≤x≤1，－2x ，x<－1.
①当x>1时，f(x)≥g(x)－x2＋x ＋4≥2x ，
解之得1<x≤.
②当－1≤x ≤1时，f(x)≥g(x)(x －2)(x ＋1)≤0，
则－1≤x≤1.
③当x<－1时，f(x)≥g(x)
x2－3x －4≤0， 解得－1≤x≤4，
又x<－1，∴不等式此时的解集为空集.
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为.
(2)依题意得：－x2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立.
则x2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.
则只需解之得－1≤a≤1.
故a 的取值范围是[－1，1].
考 点 整 合
1.绝对值不等式的性质
定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0。