中考数学复习压轴题专项突破由比例线段产生的函数关系问题(无答案)

中考数学复习压轴题专项突破
由比例线段产生的函数关系问题
图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.
由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用.
图1 图2
由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.
真题在线:
1.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2ax+c经过A(-4, 0)、B(0, 4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 点P是第二象限抛物线上的一个动点,连结EP,过点E作EP的垂线l,在l 上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);
(3) 在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连结DH,点G为DH 的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.
图1 备用图
思路:
1.第(2)题,过点E构造以PE、EF为斜边的直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样就得到了直角三角形全等,把直角边可以用t表示出来了.
2.第(3)题中的PH与x轴始终是平行的,而且点G是DH的中点,当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.
2.如图所示,梯形ABCD中,AB∥DC, ∠B=90°,AD=15, AB=16, BC=12.点E是边AB上的动点,点F是射线CD上一点,射线ED与射线AF交于点G,且∠AGE=∠DAB.
(1) 求线段CD的长;
(2) 如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形,求线段AE的长;
(3) 当点F在边CD上(不与点C、D重合),设AE=x, DF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
思路:
1.因为△AEG∽△DEA,把讨论等腰三角形AEG转化为讨论等腰三角形DEA.
2.由△AEG∽△DEA,△AEG∽FDG,根据对应线段成比例,经过变形整理,可以得
到y关于x的函数关系式.
3.如图,在△ABC中,∠ACB为直角,AB=10, ∠A=30°,半径为1的动圆Q的圆心从点C出发,沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点B 出发,沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t ≤5),以P为圆心、PB为半径的☉P与AB、BC的另一个交点分别为E、D,连结ED、EQ.
(1) 判断并证明ED与BC的位置关系,并求当点Q与点D重合时t的值;
(2) 当☉P和AC相交时,设CQ为x,☉P被AC截得的弦长为y,求y关于x的函数解析式,并求当☉Q过点B时☉P被AC截得的弦长;
(3) 若☉P与☉Q相交,写出t的取值范围.
思路:
1.第(1)题中Q、D重合时,根据CQ+BD=BC列关于t的方程.
2.第(2)题中☉Q过点B时,CQ=5-1=4.
3.第(3)题中求☉P与☉Q相交,先求临界位置——外切时t的值.
4.如图1,线段AB=4,以AB为直径作半圆O,点C为弧AB的中点,点P为直径AB 上一点,连结PC,过点C作CD∥AB,且CD=PC,过点D作DE∥PC,交射线PB于点E, PD与CE相交于点Q.
(1) 若点P与点A重合,求BE的长;
(2) 设PC=x, =y,当点P在线段AO上时,求y关于x的函数关系式及定义域;
(3) 当点Q在半圆O上时,求PC的长.
图1 备用图
思路:
1.四边形PCDE是菱形,对角线互相垂直平分.
2.第(2)题根据∠PEQ和∠CEO是同一个角,用正切值得到关系式.
3.第(3)题画图的步骤是:点Q在OC的中垂线与圆的交点处,延长CQ交AB 的延长线于点E,过点Q作CE的垂线得到点P、D.
5.如图,在△ABC中,AB=AC=5, cos B=,点P为边BC上一动点,过点P作射线PE 交射线BA于点D, ∠BPD=∠BAC.以点P为圆心, PC长为半径作☉P交射线PD于点E,连结CE,设BD=x, CE=y.
(1) 当☉P与AB相切时,求☉P的半径;
(2) 当点D在BA的延长线上时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3) 如果☉O与☉P相交于点C、E,且☉O经过点B,当OP=时,求AD的长.
思路:
1.作☉P的弦CE对应的弦心距PN,把图形中与∠B相等的角都标记出来.
2.第(3)题中圆O经过B、C、E三点,事实上OP与BD是平行的.
6.已知AB=8,☉O 经过点A 、 B ,以AB 为一边画平行四边形ABCD ,另一边CD 经过点O (如图1).以点B 为圆心, BC 长为半径画弧,交线段OC 于点E (点E 不与点O 、点C 重合).
(1) 求证:OD=OE ;
(2) 如果☉O 的半径长为5(如图2),设OD=x , BC=y ,求y 与x 的函数解析式,并写出它的定义域;
(3) 如果☉O 的半径长为5,连结AC ,当BE ⊥AC 时,求OD 的长.
图1 图2 备用图
思路:
1. 根据等腰梯形是轴对称图形,很容易知道点O 是DE 的中点.
2. 第(2)题中,等腰三角形BCE 的高BH 为定值,先用x 表示EC ,再用勾股定理就可以表示BC 了.
3. 第(3)题如何利用BE ⊥AC ,常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形.
7.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标是(6, 0),点B的坐标是(0, 8),点C的坐标是(-2, 4).点M、N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O—A—B路线向终点B匀速运动,动点N从点O开始,以每秒2个单位长度的速度沿O—C—B —A路线向终点A匀速运动.点M、N同时从点O出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.设动点运动的时间为t秒(t>0), △OMN的面积为S.
(1) 填空: AB的长度是, BC的长度是;
(2) 当t=3时,求S的值;
(3) 当3<t<6时,设点N的纵坐标为y,求y与t的函数关系式;
(4) 若S=,请直接写出此时t的值.
思路:
1.把四边形OABC的边长都标记出来.因为点M、N的位置不同,用t表示线段的长的代数式也不同.
2.第(2)题的结果为第(4)题分类寻找点M、N的位置作了铺垫.
3.第(4)题需分三种情况,容易忽略点M、N相遇以后的情况.
4.第(4)题中当点M在OA上,点N在CB上时,△OMN的高就可以利用第(3)题的结论了.。