2021年江苏省盐城市滨海中学高考数学一模试卷

2021年江苏省盐城市滨海中学高考数学一模试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合{|||2A x x =，}x N ∈，集合2{|60}B x x x =+-=，则(A B = )
A ．{2}
B ．{3-，2}
C ．{3-，1}
D ．{3-，0，1，2}
2．（5分）已知复数21i
z i +=+，则z 的虚部为( ) A ．
1
2
B ．12
i
C ．12
-
D ．12
i -
3．（5分）已知a ，b 都是实数，那么“2a >”是“方程2220x y x a +--=表示圆”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，则(a b ⋅= ) A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
5．（5分）函数||21x y =-的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( ) A 31
B 21
C 31
- D 31
+ 7．（5分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈ A ．734.510⨯秒
B ．654.510⨯秒
C ．74.510⨯秒
D ．28秒
8．（5分）已知函数,0(),0x x
x e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩
，如果关于x 的方程2
[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根，则t 的取值范围( ) A ．1
(,)e e
-∞--
B ．1
(e e
--，2)-
C ．1
(2,)e e
+
D ．1
(e e
+，)+∞
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）若函数()f x 对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，12()x x ≠，
不等式1222
12()()
1f x f x x x -<-成立，则称()
f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有( ) A ．()21f x x =-+
B ．2()21f x x x =++
C ．22()log f x x x =-
D ．22()f
x x x x
=-+
10．（5分）已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线2
2
:13
y C x -=上，下列结论正
确的是( )
A ．双曲线C 的离心率为2
B ．当P 在双曲线左支时，
12
2||||PF PF 的最大值为1
4
C ．点P 到两渐近线距离之积为定值
D ．双曲线C 的渐近线方程为3
y x =±
11．（5分）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为
( )
A ．AC BD ⊥
B ．//A
C 截面PQMN C ．AC B
D =
D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒
12．（5分）已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是(
)
A ．()f x 在(0,)2
π
是增函数
B ．()4
f x π
+是奇函数
C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点
D ．设()()f x g x x =
，则满足1
()()44
n n g g ππ+>的正整数n 的最小值是2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则10a = ．
14．（5分）在直角边长为3的等腰直角ABC ∆中，E 、F 为斜边BC 上的两个不同的三等分点，则AE AF ⋅= ．
15．（5
分）已知函数3()(f x x lg x =++，若|1|[(23)a f a f -⋅-+（2）]0>，则实数
a 的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数3()f x x mx n =++，对任意的[2x ∈-，2]，使得|()|2f x ，则m n += ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足224(*)n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设222221()()n n n b log a log a +=
，{}n b 的前n 项和为n T ，对任意*n N ∈，23
n m
T >恒成立，
求m 的取值范围．
18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且cos 1a B =，sin 2b A =． （Ⅰ）求sin()A C +和边长a ；
（Ⅱ）当22b c +取最小值时，求ABC ∆的面积．
19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23
；向B 靶射击，命中的概率为
3
4
．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．
20．如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，AC
BD O =，
2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点．
（1）求证：//OM 平面PBC ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （3）求二面角A PB C --的余弦值．
21．在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切．设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ． （Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点．设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点．
22．已知函数()(1)x f x e ln x =++．
（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；
（2）若不等式()1f x ax -对任意[0x ∈，)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．
2021年江苏省盐城市滨海中学高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合{|||2A x x =，}x N ∈，集合2{|60}B x x x =+-=，则(A B = )
A ．{2}
B ．{3-，2}
C ．{3-，1}
D ．{3-，0，1，2}
【解答】解：{|22A x x =-，}{0x N ∈=，1，2}，{3B =-，2}，
{2}A
B ∴=．
故选：A ．
2．（5分）已知复数21i
z i +=+，则z 的虚部为( ) A ．
1
2
B ．12
i
C ．12
-
D ．12
i -
【解答】解：复数222(2)(1)331
11222
i i i i z i i i ++--====-+-， 则3122z i =
+，所以z 的虚部为1
2
． 故选：A ．
3．（5分）已知a ，b 都是实数，那么“2a >”是“方程2220x y x a +--=表示圆”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为22222(1)10x y x a x y a +--=-+=+>， 所以10a +>即1a >-，
由2a >能推出1a >-，反之不成立，
故“2a >”是“方程2220x y x a +--=表示圆”的充分不必要条件． 故选：A ．
4．（5分）已知向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，则(a b ⋅= ) A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【解答】解：向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，
2224a a b b -⋅+=，
即1254a b -⋅+=， 则1a b ⋅=． 故选：C ．
5．（5分）函数||21x y =-的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：函数的定义域为R ，排除A ，D ， 当0x >时，210x y =->，排除B ， 故选：C ．
6．（5分）已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( )
A 1
B 1
C
D 【解答】解：由题意设(,0)A c -，(,0)D c ，不妨设点
E 在第一象限， 则由正六边形的性质可得三角形ODE 为边长为c 的正三角形，
则点E 的坐标为(2c ，代入椭圆方程可得：
22223144c c a b +=，根据222
,c a b c e a
=+=
化简可得：
42840e e -+=，所以244e =-+（舍去），
所以1e =-， 故选：A ．
7．（5分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈ A ．734.510⨯秒
B ．654.510⨯秒
C ．74.510⨯秒
D ．28秒
【解答】解：设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒， 则：112562.5102x ⨯=，
两边同时取常用对数得：11256( 2.510)2lg x lg ⨯=，
112.5102562lgx lg lg lg ∴++=， 52112562lgx lg lg lg ∴+-+=， 122112562lgx lg lg lg ∴+--+=，
2582122580.3011265.658lgx lg ∴=-≈⨯-=， 65.658650.658101010x ∴≈=⨯，
而9
4.52320.6532
lg lg
lg lg ==-≈，0.65810 4.5∴≈， 654.510x ∴≈⨯，
故选：B ．
8．（5分）已知函数,0(),0x x
x e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩
，如果关于x 的方程2
[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有
四个不等的实数根，则t 的取值范围( ) A ．1
(,)e e
-∞--
B ．1
(e e
--，2)-
C ．1
(2,)e e
+
D ．1
(e e
+，)+∞
【解答】解：函数,0
(),0x x
x e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩
， 当0x 时，()x f x xe =，则()(1)0x f x e x '=+>， 故()f x 在[0，)+∞上单调递增，
当0x <时，()x f x xe =-，所以()(1)x f x e x '=-+，
所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，且1
(1)f e
-=，
作出函数()f x 的图象如图所示， 令()f x m =，由图象可知，
当1
m e =时，()f x 与y m =有两个交点，
当1
m e
>或0m =时，()f x 与y m =有1个交点，
当1
0m e
<<
时，()f x 与y m =有3个交点， 当0m <时，()f x 与y m =没有交点，
因为2[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根， 则方程210m tm ++=有两个不同的实数根，12m m <， 因为121m m =，12m m t +=-，所以10m ≠， 所以1211
(0,),(,)m m e e
∈∈+∞，且211m m =，
所以12111m m m m +=+，11
(0,)m e
∈， 设1()g x x x =+
，1(0,)x e ∈，则21
()10g x x
'=-<， 所以()g x 在1
(0,)e 上单调递减，
则11
()()g x g e e e
>=+，
故1t e e
->+
， 所以1
t e e
<--．
故选：A ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）若函数()f x 对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，12()x x ≠，
不等式1222
12()()
1f x f x x x -<-成立，
则称()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有( ) A ．()21f x x =-+ B ．2()21f x x x =++
C ．22()log f x x x =-
D ．22()f x x x x
=-+
【解答】解：根据题意，设2()()g x f x x =-，
若()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，12()x x ≠，不等式1222
12()()
1f x f x x x -<-成立，
则有
2212112212222212121212()()()[()]()()1
10f x f x f x x f x x g x g x x x x x x x x x ------==⨯=<--+-， 则有
1212
()()
0g x g x x x -<-，则函数2()()g x f x x =-在[1，)+∞为减函数，
反之，若函数
2
()()g x f x x =-在[1，)+∞为减函数，则有
2212112212221212()()()[()]
()0g x g x f x x f x x x x x x x x ----=+<--，即()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，
分析选项：
对于A ，()21f x x =--，22()()21g x f x x x x =-=---，为开口向下，对称轴为1x =-的二次函数，()g x 在区间[1，)+∞为减函数，则()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”； 对于B ，2()21f x x x =++，2()()21g x f x x x =-=+，()g x 在区间[1，)+∞为增函数，则()
f x
在(1,)+∞上不是“平方差减函数”；
对于C ，22()log f x x x =-，22()()log g x f x x x =-=-，()g x 在区间[1，)+∞为减函数，则()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”； 对于D ，22()f x x x x =-+
，22
()()g x f x x x x
=-=-+，()g x 在区间[1，)+∞为减函数，则()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”； 故选：ACD ．
10．（5分）已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线2
2
:13
y C x -=上，下列结论正
确的是( )
A ．双曲线C 的离心率为2
B ．当P 在双曲线左支时，
12
2||||PF PF 的最大值为1
4
C ．点P 到两渐近线距离之积为定值
D ．双曲线C
的渐近线方程为y = 【解答】解：由双曲线2
2
13y x -=，得21a =，23b =
，则2c ==，
∴双曲线C 的离心率为2c
e a
==，故A 正确；
当P 在双曲线左支时，1||1PF c a -=，211||2||||2PF a PF PF =+=+，
11122221111
1||||||1
14||(||2)||44||8
||4
2||||PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ===
=+++++． 当且仅当1||
2PF =时等号成立，∴
122||||PF PF 的最大值为1
8
，故B 错误； 设0(P x ，0)
y ，则22
0013y x -=
，双曲线的两条渐近线方程为0x y ±=，
则点P 22
000000
||||||
33443y x y x y x -+-==，故C 正确；
双曲线的渐近线方程为y =，故D 错误． 故选：AC ．
11．（5分）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为
( )
A ．AC BD ⊥
B ．//A
C 截面PQMN C ．AC B
D =
D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒
【解答】解：因为截面PQMN 是正方形，所以//PQ MN 、//QM PN ， 则//PQ 平面ACD 、//QM 平面BDA ， 所以//PQ AC ，//QM BD ，
由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，故A 正确； 由//PQ AC 可得//AC 截面PQMN ，故B 正确；
异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选：ABD ．
12．（5分）已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是(
)
A ．()f x 在(0,)2
π
是增函数
B ．()4
f x π
+是奇函数
C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点
D ．设()()f x g x x =
，则满足1
()()44
n n g g ππ+>的正整数n 的最小值是2 【解答】解：对于函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数， 所以sin cos ()cos sin x x f x xe x e '=+⋅，
对于A ：由于(0,)2x π
∈时，cos 0x >，sin 0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 为增函数，故A 正确；
对于B ：设sin()
cos()
4
4
()()4x x h x f x e
e
π
π
π
++=+=-，
所以sin()
cos()
cos()
cos()
cos()
sin()
4
4
42
4
4
4
()()x x x x x x h x e
e
e
e e
e
h x π
π
πππ
π
π
-+-+-+--++-=-=-=-=-，故B 正确；
对于C ：由sin cos ()cos sin x x f x xe x e '=+⋅， 在(0,)2x π
∈时，cos 0x >，sin 0x >，
所以()0f x '>，
所以函数在此区间上无极值点， 由2
x π
=
时，()10f x '=≠，
下面考虑(,)2
x π
π∈上
由sin 2cos 2()(cos sin )(cos sin )x x f x e x x e x x ''=-+-，
当3(,)24
x ππ
∈时，2cos sin 0x x -<，2cos sin 0x x -<，
所以()0f x ''<，函数()f x '为单调递减函数，由()12
f π
'=，3()4f e
π'=-，
所以3()04
f π
'<，
故明显存在()0f x '=； 在3(
,)4
x ππ∈上，sin cos ()cos sin x x
f x xe x e '=+⋅， 由|sin ||cos |x x <，而cos 0x <，sin 0x >， 所以sin cos x x <-， 所以sin cos 0x x +<， 而由sin cos x x e e >，明显成立， 即sin cos |cos ||sin |x x x e x e ⋅>⋅， 即sin cos cos sin 0x x xe x e +⋅<， 所以不存在零点，
故()f x '在(0,)π只有一个零点，即函数()f x 只有一个极值点．故C 错误；
对于D ：由1n =时，sin
cos
4
4
()04
e
e
g ππππ
-=
=，
所以sin
cos
2
2
22()()(1)42
2
e
e
g g e πππππ
π-==
=
-，明显()()42
g g ππ
>不成立，
由2n =时，2
()(1)2g e ππ
=-，
同理33sin cos
4
4
34()(34
34
e
e g e πππππ
-=
=-， 由() 1.09392g π≈，3()0.65154
g π
≈，
所以3(
(
)2
4
g g π
π
>， 所以n 的最小值为2，故D 正确． 故选：ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则10a = 19 ． 【解答】解：当1n =时，2111S ==，
当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， 又1n =时，1211a =-=，满足通项公式，
∴此数列为等差数列，其通项公式为21n a n =-，
则10210119a =⨯-=． 故答案为：19．
14．（5分）在直角边长为3的等腰直角ABC ∆中，E 、F 为斜边BC 上的两个不同的三等分点，则AE AF ⋅= 4 ．
【解答】解：由题意，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ，
由于E 、F 为斜边BC 上的两个不同的三等分点，
则由题意，不妨设(2,1)E ，(1,2)F ，可得(2,1)AE =，(1,2)AF =， 可得21124AE AF ⋅=⨯+⨯=． 故答案为：4．
15．（5分）已知函数32()(1)f x x lg x x =+++，若|1|[(23)a f a f -⋅-+（2）]0>，则实数
a 的取值范围是 1
(2
，1)
(1⋃，)+∞
．
【解答】解：
()f x 的
定
义
域
为
R ，且
3232()(1)(1)()f x x lg x x x lg x x f x -=-++=--+=-，
()f x ∴是R 上的奇函数，
又()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x ∴是R 上的增函数，
由|1|[(23)a f a f -⋅-+（2）]0>得，1
(23)(2)a f a f ≠⎧⎨->-⎩
，
∴1232
a a ≠⎧⎨
->-⎩，解得1
2a >，且1a ≠，
a ∴的取值范围是1
(,1)
(1,)2+∞．
故答案为：1
(,1)
(1,)2
+∞．
16．（5分）已知函数3()f x x mx n =++，对任意的[2x ∈-，2]，使得|()|2f x ，则m n += 3- ．
【解答】解：2()3f x x m '=+，
①当0m 时，函数()f x 在[2-，2]单调递增， 要使|()|2f x ，必有(2)822(2)822f m n f m n -=--+-⎧⎨=++⎩
，
可得3m -，与0m 矛盾，不符合题意；
②当0m <时，令()0f x '=，可得3
m x =±-
， ()()2f x f x n +-=，∴函数()f x 的图象关于(0,)n 对称，
故函数()f x 的图象如下：
23m
-
时，即12m -时，只需(2)822(2)282f m n f m n -=--+⎧⎨
=++-⎩
， 解得5m -，与12m -矛盾； 23
m
-
<时，即120m -<<时， 则有(2)822(2)822f m n f m n -=--+-⎧⎨=++⎩
，
可得3m -，
或()23()23m f m f ⎧--⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，即2()23
3223
3m m n m m n ⎧⋅--+⎪
⎪⎨⎪-+-⎪⎩， 解得3m -， 综上，3m =-，
把3m =-代入(2)822(2)822f m n f m n -=--+-⎧⎨=++⎩
，可得0n =，
综上，3m n +=-， 故答案为：3-．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足224(*)n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设222221()()n n n b log a log a +=
，{}n b 的前n 项和为n T ，对任意*n N ∈，23
n m
T >恒成立，
求m 的取值范围．
【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S 满足224(*)n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列．
11221242S a a a a ∴=-⇒=； 33232242S a a a a =-⇒=；
2131211a a a a =+-⇒=，22a =； 242n n S a ∴=-； 11242n n S a --=-；
可得：12n n a a -=⇒数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列；
∴数列{}n a 的通项公式为：12n n a -=，(*)n N ∈，
（2）2222211111
()()()(21)(21)22121
n n n b log a log a n n n n +=
==--+-+；
{}n b ∴的前n 项和为11111111
[(1)()()](1)23352121221
n T n n n =-+-⋯+-=--++是单调递增数
列；
11
3
n T T ∴=；
对任意*n N ∈，23
n m
T >
恒成立， ∴
123
3233
m m >⇒<
； 故m 的取值范围23
(,
)3
-∞． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且cos 1a B =，sin 2b A =． （Ⅰ）求sin()A C +和边长a ；
（Ⅱ）当22b c +取最小值时，求ABC ∆的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及cos 1a B =与sin 2b A =得：2sin cos 1R A B =，2sin sin 2(R B A R =是ABC ∆的外接圆半径）， 两式相除，得
1cos 2sin B
B
=
， 设cos B k =，sin 2B k =，
B 是AB
C ∆的内角，sin 0B ∴>，0k ∴>，
22sin cos 1B B +=，∴k =
，
∴cos B =
sin B =，
将cos B =
cos 1a B =，得a =，
∴sin()sin()sin A C B B π+=-==
； （Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知22222cos 52b a c ac B c c =+-=+-，
∴22221992252()222
b c c c c +=-+=-+
， 当且仅当12c =
时，22b c +取得最小值92
，
∴1111sin 2222
ABC S ac B ∆=
==， 22b c ∴+最小时ABC ∆的面积为1
2
．
19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23
；向B 靶射击，命中的概率为
3
4
．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．
【解答】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ， “甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知品
P （D ）23=
，P （E ）3
()4
P F ==． 由于C DEF DEF DEF =++，
P ∴（C ）2111131311
3443443446
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6． 1111
(0)34448P X ==⨯⨯=
； 2111
(1)34424
P X ==
⨯⨯=
，
1
21131(2)3448P X C ==⨯⨯⨯=，
1
22311(3)3444P X C ==⨯⨯⨯=，
1333
(5)34416P X ==⨯⨯=，
2333
(6)3448
P X ==⨯⨯=，
X 0 1 2 3 5 6 P
148
124
18
14
316
38
111133203
()01235648248416848
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
． 20．如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，AC
BD O =，
2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点．
（1）求证：//OM 平面PBC ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （3）求二面角A PB C --的余弦值．
【解答】（1）证明：四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O =，
O ∴为BD 中点，
M 为PD 中点，
//OM PB ∴，OM ⊂/平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， //OM ∴平面PBC ．
（2）证明：四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O =，
O ∴为AC ，BD 中点，
PB PD =，PA PC =，
PO AC ∴⊥，PO BD ⊥，AC
BD O =，
PO ∴⊥平面ABCD ， AD PO ∴⊥，
又AD BD ⊥，BD PO O =，
AD ∴⊥平面ABD ，AD ⊂平面PAD ，
∴平面PAD ⊥平面PBD ．
（3）解：以DA ，DB 分别为x 轴，y 轴，过D 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，
2AD BD ==，AD BD ⊥，
BC BD ∴⊥，2BC =，22AB CD ==，
PB PD ⊥，PB PD =，
∴2PB PD =1PO =，
2AD =，AD BD ⊥，1DO =，
∴5AO OC =，
(2A ∴，0，0)，(0P ，1，1)，(0B ，2，0)，(2C -，2，0)， (2,1,1)PA =--，(0,1,1)PB =-，(2,1,1)PC =--，
设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为111(,,1)n x y =-，222(,,1)n x y =-， 则1n ，2n 夹角的补角θ就是二面角A PB C --的平面角， 由1111121010n PA x y n PB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩和2222210210n PB y n PC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 解得：1111x y =-⎧⎨=-⎩和2201
x y =⎧⎨=-⎩，
∴1(1,1,1)n =---，2(0,1,1)n =--，
12
12
cos||
||||
n n
n
n
θ
⋅
∴=-=-=，
∴二面角A PB C
--的余弦值为．
21．在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点(1,0)
F，且与直线1
x=-相切．设
动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线
1
l、
2
l与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、
CD的中点．设
1
l与
2
l的斜率依次为
1
k、
2
k，若
12
1
k k
+=-，求证：直线MN恒过定点．【解答】（Ⅰ）解：设(,)
Q x y，依题意可得：|1|
x+=，化简得：24
y x
=．
（Ⅱ）证明：设
1
l，
2
l的方程为
1
(1)
y k x
=-；
2
(1)
y k x
=-．联立1
2
(1)
4
y k x
y x
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
得2222
111
(24)0
k x k x k
-++=，
所以
2
1
122
1
24
k
x x
k
+
+=，则
2
1
2
11
22
(,)
k
M
k k
+
，
同理联立2
2
(1)
4
y k x
y x
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
得2222
222
(24)0
k x k x k
-++=，
所以
2
2
122
2
24
k
x x
k
+
+=，
2
2
2
22
22
(,)
k
N
k k
+
，
所以1212
22
1212
22
12
22
22
MN
k k k k
k
k k k k
k k
-
==-
+++
-
，
由
12
1
k k
+=-可得：
11
(1)
MN
k k k
=+，
所以直线MN的方程为：
2
1
112
11
2
2
(1)()
k
y k k x
k k
+
-=+-，
化简整理得：
11
2(1)(1)
y k k x
+=+-，
所以直线MN恒过定点(1,2)
-．
22．已知函数()(1)
x
f x e ln x
=++．
（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；
（2）若不等式()1f x ax -对任意[0x ∈，)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，0(0)(01)1f e ln =++=，所以切点为(0,1)， 又1()1
x f x e x '=++， 所以0(0)12f e '=+=，
所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=；
（2）令()()1(0)g x f x ax x =--， 则1()()1x g x f x a e a x ''=-=+
-+， 令1()(0)1
x h x e x x =++，则21()(1)x h x e x '=-+， 当0x 时，1x e ，2101(1)x <+， 所以()0h x '，函数()h x 在[0，)+∞上是增函数，
所以()(0)2h x h =，所以()2g x a '-，
①当2a 时，()0g x '，所以函数()g x 在[0，)+∞上是增函数， 所以()(0)0g x g =，即对任意[0x ∈，)+∞，不等式()1f x ax -恒成立． ②当2a >时，11a ->，由0x ，得1011
x <+， 1()11x x g x e a e a x '=+-+-+， 当(0x ∈，(1))ln a -时，10x e a +-<，即()0g x '<，
所以函数()g x 在(0，(1))ln a -上是减函数，
所以()(0)0g x g <=，即()1f x ax -<，不合题意．
综上，所以实数a 的取值范围是(-∞，2]．。