人教版高中数学必修五课时作业23：第2课时 正弦定理和余弦定理

第2课时 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )
A ．能组成直角三角形
B ．能组成锐角三角形
C ．能组成钝角三角形
D ．不能组成三角形
答案 B
解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为
cos θ＝52＋62－722×5×6＝15
>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A
解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.
由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，
∴4ac cos B ＋ac ＝0.
∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14
，又B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝154
.
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
答案 C
解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，
∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，
即c 2－3c －4＝0，
解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．
4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23
答案 A
解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，
∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )
＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，
∴ab ＝43
. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B
的值为( )
A.12
B ．1
C ．2
D ．3 答案 C
解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B
＝a b
＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )
A.π3
B.3π4
C.2π3
D.5π6
答案 C
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75
a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋
b 2－
c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3
. 7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13
，则其外接圆的直径为( ) A.92
2 B.92
4 C.92
8 D ．9 2
答案 B
解析 设另一条边为x ，
则x 2＝22＋32－2×2×3×1
3＝9，∴x ＝3. 设cos θ＝1
3，θ为长度为2,3的两边的夹角，
则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223
＝92
4. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π
4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于(
) A.1010 B.10
5 C.31010 D.5
5
答案 C
解析 在△ABC 中，由余弦定理，得
AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC
＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.
∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝AC
sin ∠ABC ，得
sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π
45 ＝3×22
5＝310
10.
二、填空题
9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则c
sin C ＝ .
答案 2
解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，
∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝33
2
＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .
答案 45°
解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，
由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝
22
. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.
11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .
答案 30°
解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，
把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，
即a 2＝7b 2.
由余弦定理，得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32
， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.
三、解答题
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65
ac . 求2sin 2A ＋C 2
＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合
解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35
， 所以cos B ＝35
， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，
所以sin B ＝1－cos 2B ＝45
， 所以2sin 2
A ＋C 2＋sin 2
B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B
＝1＋35＋2×45×35＝6425
. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．
解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，
∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12
. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.
(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，
∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，
由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，
∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，
∴32sin B ＋32
cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，
∴30°<B ＋30°<150°，
∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，
∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．
14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．不确定
答案 A
解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc
＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 24
2bc >0，
∴0°<A <90°，即角A 是锐角．
15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c
. (1)求C 的大小；
(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合
解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C
，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3
. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12
.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
＝(a＋b)2－2ab－2ab cos π
3
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.∴c＝2 3.。