新人教版必修四高中数学探究导学课型第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二课件

所以
8
8
3 1,
8
cos 3sin 33.

88
(2)选D.在直角坐标系中作单位圆如图所示.
在 5 范围内3作任意角α与单位圆交于P,作
4
2
PM⊥x轴于M,由单位圆与x轴正方向的交点A作Ox的垂
线与OP的反向延长线交于T点,则sinα=MP,cosα=OM,
tanα=AT,由图知|AT|>|MP|>|OM|而cosα,sinα均
角α的正弦线为MP,余弦线为OM, 正切线为AT. 当α的终边为OQ时,角α的正弦线为MQ,余弦线为OM,正切线为AT′.
【延伸探究】
1.将本题中条件“cosα= ”改为“1 sinα= ”,
2
其他条件不变,结论如何?
2
2
【解析】如图①作直线y= ,交单位圆2 于P,Q,则OP,OQ为角α的终边.
如图②所示,当α的终边是OP
2
时,角α的正弦线为MP,余弦线
为OM,正切线为AT.
当α的终边为OQ时,角α的正弦线为NQ,余弦线为ON,正切线为AT′.
2.将本题中条件“cosα= ”改为“1 cosα≥ ”其他
1
2
2
条件不变,则角α的终边落在什么范围?
【解析】结合典例1的解析可知,当cosα≥ 时,角的
6
2.利用单位圆写出满足sinα< ,且α∈(30,π)的角α的集合. 2
【解析】作正弦线如图:
MP=NQ= ,当sinα< 时,角α对应的正弦线变短,所
以0<α< ,或3 2
3
<α<π,即α∈ 3 2
2
3
(0, )(2,). 33
拓展类型:利用三角函数线证明不等式
【典例】利用三角函数线求证:若α∈
2.设α为锐角,你能根据正弦线和余弦线说明sinα+cosα>1吗? 提示:设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,则 sinα=MP,cosα=OM,OP=1. 在Rt△OMP中,由两边之和大于第三边得: MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.
【探究总结】 知识归纳:
注意事项:(1)当角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时 正弦线与正切线都变成了一点,值为零,而余弦线OM=1或-1. (2)当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了一点,值为零, 正切线不存在.
cosα<0,所以cosα=- .
1
答案:-
2
1
2
5.比较sin1,cos1,tan1的大小关系是
.
【解析】作出sin1,cos1,tan1的三角函数线,如图,显然cos1<sin1<tan1.
答案:cos1<sin1<tan1
【备选训练】已知sinα≥ ,求角α1 的集合. 【解析】作直线y= 交单位1 圆于A,B两2 点,连接 OA,OB,则OA与OB围成的2 区域(图中阴影部分)即角
()
A.y轴上
B.x轴上
C.直线y=x上
D.直线y=-x上
【解析】选B.由题意得|cosα|=1,即cosα=±1,则角α的终边在x轴上,故 选B.
类型二:利用三角函数线比较三角函数值的大小
【典例2】(1)(2016·广州高一检测) 的大小关系是 ( )
sin3,cos 3,3
8
88
A .sin33cos3
为负值,tanα为正值,所以tanα>cosα>sinα.
【规律总结】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 (1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线. (2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
【巩固训练】
1.(2016·重庆高一检测)设a=tan 35°,b=cos55°,
【巩固训练】
1.已知
求其定义域.
ysinx2cosx3，
【解析】由题意得:
sinx 0,

即 s i n x利用0 单, 位圆中的三角2c函os数x线 得3 0,

c o s x
3. 2
2kx2k,kZ, 2k6 x2k6,kZ. 解得 {x|2kx2k,k Z }.
1
终边与 相交,角α的终边落在
2
(k∈Z)内.P» Q
[2k,2k]
3
3
【规律总结】单位圆中求作角的终边的方法 (1)若sinα=m,作出直线y=m与单位圆相交,得交点. 若cosα=m,作出直线x=m与单位圆相交,得交点. (2)将原点与交点连线所得射线即为所求角的终边.
【补偿训练】若角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在
88
8
C .cos 33sin 3
88
8
B .sin 3cos 33
8
88
D .cos 3sin 33
8
88
(2)若 5 ,则3sinα,cosα,tanα的大小关系
4
2
是( )
A.sinα<tanα<cosα B.tanα<sinα<cosα
C.cosα<sinα<tanα D.sinα<cosα<tanα
α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为
{ |2 k 2 k 5 ,k Z } .
6
6
【互动探究】 1.若α是任意角,根据正弦线、余弦线,则sinα, cosα的取值范围是什么? 提示:由单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 -1≤sinα≤1,-1≤cosα≤1.
【题型探究】
类型一:任意角的三角函数线
【典例1】在单位圆中作出满足cosα= 的角α的终边,并作出其正弦线、
1
余弦线和正切线.
2
【解题指南】由cosα= ,可作直1线x= ,与单位圆的交1 点即为角α的终边
2
2
与单位圆的交点,然后根据三角函数线的定义得出正弦线、余弦线和正切
线.
【解析】如图①,作直线x= 交单位圆1 于点P,Q,则OP,OQ为角α的终边. 如图②所示,当α的终边是OP时, 2
【解题指南】(1)通过 的范围3,利 用三角函数线比较 8
正弦、余弦线的大小,以及 与1的大小3 ,即可得到结论.
(2)作出终边落在
范5围内任一3角8 的三角函数
线,观察图象,即可判断大小4.
2
【解析】(1)选D.因为 所以
对应的3三角函数，线如图所示. 284
又因为 sin3 cos3,
c=sin23°,则 ( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
【解析】选A.由题可知,b=cos55°=sin35°,sin35°> sin23°,有b>c,利用三角函数线比较tan35°,sin35°, 如图, 通过比较三角函数线可知, tan35°>sin35°, 则有a>b,综上,a>b>c.
显然sin2>cos2.
3.下列角的正切线不存在的是 ( )
A . 1 1 【解析1 】0 选B.因为
B . 9
C . 3
D . 8
的终9 边 2 落在y轴的非负半轴4 上,故正切线不存7 在.
2
4.若角α的余弦线长度为 ,且方向1 与x轴负方向相同,
2
则cosα=
.
【解析】因为α的余弦线方向与x轴负方向相同,所以
,则sinα( 0<,α <) tanα.
【解题指南】利用单位圆中角α的正弦线、正切线、角α2 所对应的弧长及
有关图形的面积之间的关系,列出不等式即可进行证明.
__________.
作单位圆,圆与角的终边交点为P,与x轴正半
轴交点为A
第三步,__________过__P_作__P_M_⊥__x_轴__,_过__A_作__x_轴__垂__线__与__角__的_ 终边或其
____反__向__延__长__线__交__于__点. T
第四步,_______________________________________ 有向线段MP,OM,AT即分别为该角的正弦线、
2
2
则满足- <sin3 x< 的角x的3 终边落在图中的阴影区
2 域内,所以 即定义域为
2
( 2 k ,2 k (k ∈)Z ),( 2 k 2 ,2 k 4 )
(k(k∈3 ,Zk). )3
33
3
3
【规律总结】利用三角函数线解三角不等式的关键及类型 (1)关键:利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关 键是恰当地寻求点.
66
方向相同,因而相等;
的 终和 边4 在 同一条直线上,
因而正切线相等;
的余3弦线方3 向不同,因而不相
等.故选B.
和 5 44
2.若a=sin2,b=cos2,则a,b的大小关系为 ( )
A.a<b
B.b<a
C.a=b
D.不能确定
【解析】选B.因为 <2<π ,作出2的正弦线,余弦线. 2
(2)类型:①对于sinx≥b,cosx≥a(或sinx≤b,cosx ≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交 点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定 相应的x的范围;②对于tanx≥c(或tanx≤c),则取点 (1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反 向延长,结合图象可得.
α的正切?
提示:如图,过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α的
终边或反向延长线交于点T,根据相似三角形的知识
知:tanα=
=AT. y x
通过以上探究总结三角函数线的意义: (1)有向线段:________带__有__方__向_.的线段 (2)三角函数线:如图
则:sinα=___;cMoPsα=___;tanαOM=___.
AT
有向线段___,M_P__,__O_M分别A叫T 做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为 三角函数线.
【深度思考】
结合教材P17三角函数线的定义,你认为如何作任意角
(终边不在坐标轴上)的三角函数线?
第一步,_________________.
作出任意角的终边 第二步,_______________________________________
2.若角α为第三象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 sinα=y,cosα=x都是负数,此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段 表示?
提示:过角α的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂足为M,则|MP|=y=sinα,-|OM|=x=cosα.
3.由上面1,2知|MP|=|y|=|sinα|;|OM|=|x|=|cosα|,问怎样规定一个适 当的方向使线段OM,MP的取值与点P的坐标一致?
2.下列关系正确的是 ( ) A.sin10°<cos10°<sin20° B.sin20°<sin10°<cos10° C.sin10°<sin20°<cos10° D.sin20°<cos10°<sin10°
【解析】选C.在单位圆中,作出10°,20°的正弦,余弦线,通过观察可知 cos10°>sin20°>sin10°.
类型三:利用三角函数线解简单三角不等式 【典例3】(2016·济宁高一检测)求函数y= lg(3-4sin2x)的定义域. 【解题指南】先由3-4sin2x>0,解出sinx的范围,再借助三角函数线求解.
【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x< ,
3
所以- <s3inx< . 3
4
如图作直线2 y=- ,y= 3 分2 别与单3位圆交于P,Q,M,N.
提示:因为直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关,所以可以以坐标 轴的方向来规定线段OM,MP的方向,当OM,MP的方向与坐标轴的方向相同时, 规定为正值;当OM,MP的方向与坐标轴的方向相反时,规定为负值.这样不 论P,M的位置在何处,都有其值与点P的坐标一致.
4.如何在单位圆中找像OM,MP这样的线段来表示角
1.2.1 任意角的三角函数(二)
【自主预习】 主题:三角函数线 1.如图,设角α为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 sinα=y,cosα=x都是正数,你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余 弦值吗?
提示:过角α的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂足为M,则 |MP|=y=sinα,|OM|=x=cosα.
_______________. 余弦线、正切线
【预习小测】 1.有三个说法:① 的正切线相等;③ 有( ) A.1个 C.3个
的 和正弦5 线相等;② 的6 余弦6 线相等.其中正确的 和 5 44 B.2个 D.0个
和 4 33
【解析】选B.
的和正5 弦 线关于y轴对称,大小相等,