1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(两个课时)课件(人教版)

章节：第一章 集合与常用逻辑语言
标题：1.4空间向量的应用
课时：5课时
章节：第一章 空间向量与立体几何
标题：1.4.1用空间向量研
究直线、平面的位置关系
第一课时
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向
l
n
m
m
α
直线与平面平行，则直线的方向向量垂直于平面的法向量
反过来也成立
情景三：
问题5 如果两个平面平行，这两个平面的法向量有什么关系？
n2
n
n
β
P
m
m
n1
α
平面
法向量
平面
法向量
概念3：
n2
n
n
β
P
m
m
n1
α
// ⟺ // ⟺ ∃ ∈ ，使得 = .
两个平面垂直，则两个平面的法向量平行（共线）
2 ∙ 1 = −2 + 2 = 0.
取 = 3，则x = 2，y = 3.
于是2 = (2，3，3)是平面的一个法向量.
求法向量的步骤
设向量
选向量
列方程组
设平面法向量 = (, , )
在平面内选取两个不共线向量,
∙ = 0
∙ = 0
赋值
取x,y,z中一个为非零值(常取±1)
量和法向量.
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平
面的夹角以及垂直与平行关系.
4.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系
的判定定理.
5.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互
平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题
结论
得到平面的一个法向量
1.空间点的位置向量：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意
一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.
2.空间直线的向量表示：
1. =
2. = +
3. = + ( + = 1)
3.空间平面的向量表示：
反过来也成立
线线平行
线面平行
面面平行
课堂例题
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线
与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：如图， ⊂ ， ⊂ ， ∩ = ，// ，//.
a
b
P
求证：//.
β
α
证明：如图，取平面α的法向量，，直线的方向向量，.
的判定定理.
5.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互
平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题
的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
素养目标
直观想象
逻辑推理
数学运算
环节2：教学重难点
重点：
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与
平面的夹角以及垂直与平行关系.
【分析】求得 AC, AD1 坐标，设出法向量，根据
即可求解.
m AD1 0
【详解】由题可得 C 0, 4,0 , A 3,0,0 , D1 0,0, 2 ，
则 AC 3, 4,0 , AD1 3,0, 2 ，
设平面 ACD1 的一个法向量为 m ( x, y, z ) ，



1
D1 A1 A1 A AB BA
2
因为 D1 A1 AD b ， A1 A AA1 c ，
所以 OA


1
1
1
1
b c a a a b c
2
2
2
2
1
1
1
所以直线 OA 的一个方向向量为 a b c
2
2
2
1
D1B BA
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
难点：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互
平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角
问题
空间向量
位
置
关
系
立体几何
方向向量
直线
法向量
平面
平行、垂直该如何用空间向量判断？
位
置
关
系
1.空间直线、平面的平行
情景一：
问题1 由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向
还可以表示出内的任
意一点
由 = +
P
α
O
取定空间任意一点O，空间一点位于平面内的充
要条件是存在实数，
使 = + + （三角形法则）
C
P
α A
上式称为空间平面的向量表示式.
O
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
问题9 空间中一点和一个向量是否可以表示一个平面？
空间向量运算的坐标表示
设 = ( ， ， )， = ( ，�� ， )
加法
减法
数乘
数量积
模长
夹角
平行
垂直
两点距离
2.空间中点、直线和平面的向量表示
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关
空间位置关系和度量的问题.
我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决
P
a
B
空间直线的向量表示：
1. =
2. = +
3. = + ( + = 1)
直线的方向向量有无线条！
A
l
情景二：
问题7 如何用空间向量表示平面？
空间
（1）不共线的三点确定一个平面
（2）直线和直线外一点确定一个平面
（3）两条相交直线确定一个平面
的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
素养目标
直观想象
逻辑推理
数学运算
环节2：教学重难点
重点：
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向
向量和法向量
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
难点：掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
1.复习回顾
回顾 空间向量运算的坐标表示如何定义?
1. = +
2. = + +
3. = + + ，( + + ) =
4.给定一个点A和一个向量（平面的法向量）(
Ԧ
Ԧ ∙ =0)
课本P29 练习
2．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，AB a ，AD b ，AA1 c ，O 是 BD1 与 B1 D 的交点．以
量有什么关系呢？
如图所示，设1 , 2 分别是直线1, 2的方向向量，
由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么
它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线
的方向向量平行，那么这两条直线也平行
直线
方向向量
概念1：
u1
u1
l1l2 // ⟺ Nhomakorabea // ⟺ ∃ ∈ ，使得 = .
如图，直线l⊥ 面α．取直线l的方向向量，我
Ԧ
们称向量为平面的法向量.
Ԧ
给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以
Ԧ
向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
Ԧ
{P|·
Ԧ =0}.
为面的法向量
a

一个平面的法向量有无数条，它们之间是共线的。
概念4：
P
α
空间平面的向量表示：
O
C
1. = +
几何问题的关键.
本节，我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关的直线、平面位置
关系与度量问题。
问题1 空间向量解决立体几何中那些问题？
可以解决立体几何中：
∥, ⊥, ,
问题2 利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？
平面向量
空间向量
对应关系
对应关系
立体几何
点
直线
问题3 如何用向量表示一个点？

m AC 3x 4 y 0
则
，令 x 4 ，得 y 3, z 6 ，

m AD1 3x 2 z 0
则平面 ACD1 的一个法向量为 4,3,6 .
章节：第一章 空间向量与立体几何
标题：1.4.1用空间向量研
究直线、平面的位置关系
第二课时
2，是的中点.以为原点，，，1 所在直线分别为轴、轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面1 1 的法向量；
(2)求平面1 的法向量.
解：(1)因为轴垂直于平面1 1 ，
所以1 = (0，1，0)是平面1 1 的一个法向量.
(2)因为 = 4， = 3，1 = 2，是的中点，所以， ，
方向向量
P
a
l
B
A
如图，是直线l的方向向量，在直线l上取= ，设P是
直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
点P在直线l上充要条件存在实数t，使得 = ，
即 =
(1)= 为方向向量
(2), , 三点共线
问题6 除了 = 表示直线l,还有其他方法表示
两条直线平行，则两条直线的方向向量平行（共线）
反过来也成立。
情景二：
问题2 由直线与平面平行，那直线的方向向量与平面的法向量有
什么关系？
u
l
n
m
m
α
直线
方向向量
平面
法向量
概念2：
u
如图所示，设 是直线的方向向量
是平面的法向量， ⊄
则// ⟺ ⊥ ⟺ ∙ =
2
课本P22 练习
3.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 4 ， BC 3 ， CC1 2 ．以 D 为原点，以
1
1
1

DA
,
DC
,
DD

1 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系 Oxyz，求平面 ACD1
4
2
3

的一个法向量．
m AC 0
P
α A
2. = + +
O
3. = + +
a
( + + ) =
4.给定一个点A和一个向量（平面的法向量）(
Ԧ
Ԧ ∙ =0)

情景三：
问题9 如何求平面的法向量？
课堂例题
例1 如图，在长方体 − 1 1 1 1 中， = 4， = 3，1 =
a, b , c 为空间的一个基底，求直线 OA 的一个方向向量．
1
1
1
【答案】 a b c
2
2
2


【分析】依题意就是用 a, b , c 表示 OA ，根据空间向量的线性运算法则计算可得；
【详解】解：因为 AB a ， AD b ， AA1 c ，如图 OA OB BA
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向
量和法向量.
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平
面的夹角以及垂直与平行关系.
4.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系
给定空间一点A和一条直线l
过点且垂直于直线l的平面
是唯一确定的
利用点和直线l的方向向量来确
定平面.
如图，直线l⊥ 面α．取直线l的方向向量，我
Ԧ
们称向量为平面的法向量.
Ԧ
给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以
Ԧ
向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
Ԧ
{P|·
Ԧ =0}.
概念3：
1 的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2).
因此 = (−3，2，0)，1 = (0， − 2，2).
设2 = (x，y，z)是平面1 的法向量，则2 ⊥ ，2 ⊥ 1
2 ∙ = −3 + 2 = 0，
2
= ，
3
所以
所以
= .
平面
概念1：
点的位置向量：
如图，在空间中,我们取一定点作为基
点,那么空间中任意一点就可以用向量来
表示.
我们把向量称为点的位置向量.
P
O
定原点（参照物）
情景一：
问题4 如何用空间向量表示空间中的直线？
空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l
几何中
向量中
一个点 + 一个方向
点
吗？（, , 三点共线，还有其他表示方法吗？）
如图, Ԧ 是直线 的方向向量，在 上取 = Ԧ ，
设 = 即
Ԧ
= .
则 = + Ԧ
所以 = +
(1)= 为方向向量
(2)A,B,P三点共线
（三角形法则）
P
a
B
A
l
概念2：
（4）两条平行直线确定一个平面
空间向量？
平面
在直线中：一点和直线的方向向量唯一确定.
问题8 一个定点和两个方向向量确定一个平面？
共面向量定理:如果两个向量,不共线，那么向量
Ԧ
与向量
Ԧ
,共面的充要
Ԧ
条件是存在唯一的有序实数对(，)，使＝＋
P
α
O



点与向量Ԧ
不仅可以确定平面，
Ԧ
因为//，//，所以 ∙ = 0， ∙ Ԧ = 0.
b
因为 ⊂ ， ⊂ ， ∩ = ，