国家级示范性普通高中威远中学每周一练试题14

高2017届高三上学期“大一轮”年级联考卷(14)
数 学
（理工农医类）
班级：________学号：___________姓名：_____________________
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.设集合{}
{}2|4,|1A x Z x B x x =∈≤=>-，则A
B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0-
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1,2 2.在复平面内，复数
52i
i
-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，那么5a 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．18
4.2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩
()2100,X
N σ（试卷满分为150分）
．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的
3
4
，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．200
5.已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于（ ）
A ．1
B
C ．13 D
6.函数()3sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在x θ=时取得最大值，
则tan θ等于（ ）A ． C ．
D 7.设均为正实数，且
，则的最小值为（ ）A.4 B.
C.9
D.16
8.已知三个函数()()()32,1,log x
f x x
g x x
h x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．a c b << 9.已知等差数列
的前项和分别为
，若对于任意的正整数，都有
，则( )A. B. C. D.
10.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，
04,90BC BD CBD ==∠=，
则球O 的表面积为（ ）A ．11π B ．20π C ．23π D ．35π 11.已知双曲线2
2
12
x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点
为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．
12 B ．1
2
- C ． 2 D ．-2 12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x
f x e +<的解集是（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,+∞
C ．1,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则22
x y +的最大值为______________．
14. (
2n
的二次展开式中，
所有项的二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________． 15.已知()()R x x f y ∈=的导函数为()x f '.若()()32x x f x f =--，且当0≥x 时，()2
3x x f >'，则不等
式()()13312
+->--x x x f x f 的解集是 .
16.若数列{}n a 的首项12a =，且()
*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则
123100b b b b ++++=_____________．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3
cos ,24
A C A ==． （1）求sin
B 的值；（2）若4a =，求AB
C ∆的面积S 的值．
18.（本题12分）已知数列是递增等比数列，为其前项和，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求其前项和．
19.（本题12分）
某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中
随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为3
5
．
（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认
为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的
人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++）
20.（本小题满分12分）已知与的夹角为，，，，，且在取得最小值，当时，求的取值范围.
21.（本题12分）设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--．（1）求()G x 的最小值：（2）记()G x 的最小值为e ，已知函数()()()11
2210x a f x a e a a x
++=+-+>，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨
=+⎩
（ϕ为参数），现以原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4
cos sin ρθθ
=
-．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式
()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.
高2017届高三上学期“大一轮”年级联考卷(14)
数 学
（理工农医类）参考答案
一、选择题
二、填空题13. 5 14. 1 15. ),2
1(+∞ 16. 5050 三、解答题： 17.解：（1）由3
cos 4
A =
得sin A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）由正弦定理
sin sin a b A B =得sin 5sin a B
b A
==．
．．．．．．．．．．．．．．．9分 18．【解析】（Ⅰ）由题意可知：142327a a a a ==，
又∵14
28a a +=，解得14127a a =⎧⎨=⎩或14
27
1a a =⎧⎨=⎩， 又∵数列是递增等比数列， ∴141,27a a ==，
设的公比为q ，
则3
27q =，3q =. ∴13n n a -=.
（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知，1331132
n n n S --==
-， 2121211n n n n n n a b S S S S +++++==-⋅， ∴122334
12
1111
11
(
)()(
)n n n n T b b b S S S S S S ++=++
+=-+-++- {}n a {}n a
2221112431
n n S S ++=
-=--. 法2：由（Ⅰ）知，1331
132
n n n S --==-， ∴11212
43112()(31)(31)3131n n n n n n b +++++⋅==----- ∴2334
1
2
1111
11
2[()()(
)]313131313
13
1
n n n T ++=-+-++-
-----
- 2221112
2()3131431
n n ++=-=----. 所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C =
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为3
5
， 所以喜欢游泳的学生人数为3
100605
⨯
=人．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：3分
因为()2
2
1004030201016.6710.82860405050
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．
．．．．． 5分 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．．．．．6分
（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为
1
10
，从而需抽取男生4人，女生2人． 故X 的所有可能取值为0，1，2．．．．． 7分 ()()()211224242226661862
0;1;21515155
C C C C P X P X P X C C C ==========，
X 的分布列为：
．．．．．．． 10分 1824
012151553
EX =⨯
+⨯+⨯=．
．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．【解析】∵|||||(1)|PQ OQ OP t OB tOA =
-=-- ∴22
22||(1)2(1)PQ t OB t t OB
OA t OA =
---⋅+
=
= = ∴12cos 1054cos 5t θθ+<=
<+对，即1cos 02θ-<<，又∵[0,]θπ∈， ∴223
ππ
θ<<.
21.解：（1）由已知得()()01,ln ln 1ln 1x
x G x x x x
'<<=--=-．．．．．．．．．．1分 令()0G x '<，得102x <<
；令()0G x '>，得1
12x <<， 所以()G x 的单调减区间为10,
2⎛⎫ ⎪⎝
⎭，单调增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫
===-
⎪
⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）中ln 2c =-得()()1
21x a f x a e a x
+=+
-+．
．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 所以()()
22
1x ax e a f x x
-+'=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 令()()2
1x
g x ax e a =-+，则()()20x
g x ax x e '=+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以()g x 在()0,+∞上单调递增，
因为()()01g a =-+，且当x →+∞时，()0g x >，
所以存在()00,x ∈+∞，使()00g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．．．．．．8分
因为()()020010x
g x ax e a =-+=，所以0201x ax e a =+，
即020
1
x a a e x +=，因为对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立， 所以()()()00min 0
1
210x a f x f x a e a x +==+
-+≥．
．．．．．．．．．．．9分 所以
()20011210a a a x x +++-+≥，即2
00
1120x x +-≥，亦即2
00210x x --≤，所以01
12
x -
≤≤．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 因为02
01x ax e a =+，所以02011x a x e a +=>，
又00x >，所以001x <≤，从而02
0x x e e ≤，
所以11a e a +<
≤，故1
1
a e ≥
-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意知曲线C 的参数方程12cos 12sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=+⎩可化简为()()22
114x y -+-=，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由直线l 的极坐标方程可得直角坐标方程为40x y --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）若点P 是曲线C 上任意一点，则可设()12cos ,12sin P ϕϕ++， 设其到直线l 的距离为d ，则
d ．．．．．．．．．．．．7分
化简得d 24k πϕπ+=，即24k πϕ
π=-
时，
min 22d =--．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
9分 此时点P
的坐标为(1 ……………………10分
23.解：（1）()32,0
33,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪
=+-=≤≤⎨⎪->⎩
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
从面得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235
x x x >⎧⎨-≥+⎩，解之得2
3x ≤-或x φ∈或8x ≥，
所以不等式的解集为[)2,8,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
．
．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--．．．．．．．．．．．8分 且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。