2020年北京市中考数学试卷及答案
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2020年北京市中考数学试卷及答案
一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.(2分)(2020•北京)如图是某几何体的三视图,该几何体是()
A.圆柱B.圆椎C.三棱柱D.长方体
2.(2分)(2020•北京)2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为()
A.0.36×105B.3.6×105C.3.6×104D.36×103
3.(2分)(2020•北京)如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是()
A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1>∠4+∠5D.∠2<∠5 4.(2分)(2020•北京)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是()
A.B.
C.D.
5.(2分)(2020•北京)正五边形的外角和为()
A.180°B.360°C.540°D.720°
6.(2分)(2020•北京)实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示,若实数b 满足﹣a <b <a ,则b 的值可以是( )
A .2
B .﹣1
C .﹣2
D .﹣3
7.(2分)(2020•北京)不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是( ) A .1
4
B .1
3
C .1
2
D .2
3
8.(2分)(2020•北京)有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是10cm ,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )
A .正比例函数关系
B .一次函数关系
C .二次函数关系
D .反比例函数关系
二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.(2分)(2020•北京)若代数式
1x−7
有意义,则实数x 的取值范围是 .
10.(2分)(2020•北京)已知关于x 的方程x 2+2x +k =0有两个相等的实数根,则k 的值是 .
11.(2分)(2020•北京)写出一个比√2大且比√15小的整数 . 12.(2分)(2020•北京)方程组{x −y =13x +y =7
的解为 .
13.(2分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy 中,直线y =x 与双曲线y =m
x
交于A ,B 两点.若点A ,B 的纵坐标分别为y 1,y 2,则y 1+y 2的值为 .
14.(2分)(2020•北京)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 在BC 上(不与点B ,C 重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ,这个条件可以是 (写出一个即可).
15.(2分)(2020•北京)如图所示的网格是正方形网格,A ,B ,C ,D 是网格线交点,则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为:S △ABC S △ABD (填“>”,“=”或“<”).
16.(2分)(2020•北京)如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票,所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时,只购买第一排的座位相邻的票,同时使自己所选的座位号之和最小,如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票,那么甲购买1,2号座位的票,乙购买3,5,7号座位的票,丙选座购票后,丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票,要使其他三人都能购买到第一排座位的票,写出一种满足条件的购票的先后顺序 .
三、解答题(本题共68分,第17-20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每小题5分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.(5分)(2020•北京)计算:(13
)﹣
1+√18+|﹣2|﹣6sin45°.
18.(5分)(2020•北京)解不等式组:{5x −3>2x ,2x−13
<x 2.
19.(5分)(2020•北京)已知5x 2﹣x ﹣1=0,求代数式(3x +2)(3x ﹣2)+x (x ﹣2)的值. 20.(5分)(2020•北京)已知:如图,△ABC 为锐角三角形,AB =AC ,CD ∥AB . 求作:线段BP ,使得点P 在直线CD 上,且∠ABP =1
2∠BAC .
作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;
②连接BP.
线段BP就是所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵CD∥AB,
∴∠ABP=.
∵AB=AC,
∴点B在⊙A上.
又∵点C,P都在⊙A上,
∴∠BPC=1
2∠BAC()(填推理的依据).
∴∠ABP=1
2∠BAC.
21.(6分)(2020•北京)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
22.(5分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b 的值,直接写出m的取值范围.
23.(6分)(2020•北京)如图,AB为⊙O的直径,C为BA延长线上一点,CD是⊙O的切
线,D为切点,OF⊥AD于点E,交CD于点F.(1)求证:∠ADC=∠AOF;
(2)若sin C=1
3,BD=8,求EF的长.
24.(6分)(2020•北京)小云在学习过程中遇到一个函数y=1
6|x|(x
2﹣x+1)(x≥﹣2).
下面是小云对其探究的过程,请补充完整:
(1)当﹣2≤x<0时,对于函数y1=|x|,即y1=﹣x,当﹣2≤x<0时,y1随x的增大而,且y1>0;对于函数y2=x2﹣x+1,当﹣2≤x<0时,y2随x的增大而,且y2>0;结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x<0时,y随x的增大而.
(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:
x01
213
2
25
2
3…
y01
161
6
7
16
195
48
7
2
…
结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy 中,画出当x≥0时的函数y的图象.
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:
若直线l与函数y=1
6|x|(x
2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,则m的最大值是.
25.(5分)(2020•北京)小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:
a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:
b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:时段1日至10日11日至20日21日至30日
平均数100170250
(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为(结果取整数);
(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍(结果保留小数点后一位);
(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12,5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32.直接写出s12,s22,s32的大小关系.
26.(6分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y =ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1<x2.
(1)若抛物线的对称轴为x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c;
(2)设抛物线的对称轴为x=t,若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围.27.(7分)(2020•北京)在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF 之间的数量关系,并证明.
28.(7分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,A ,B 为⊙O 外两点,AB =1.
给出如下定义:平移线段AB ,得到⊙O 的弦A 'B '(A ',B ′分别为点A ,B 的对应点),线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4,则这两条弦的位置关系是 ;在点P 1,P 2,P 3,P 4中,连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”;
(2)若点A ,B 都在直线y =√3x +2√3上,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1,求d 1的最小值;
(3)若点A 的坐标为(2,3
2),记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2,直接写出d 2的
取值范围.
2020年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.(2分)(2020•北京)如图是某几何体的三视图,该几何体是()
A.圆柱B.圆椎C.三棱柱D.长方体
【解答】解:该几何体是长方体,
故选:D.
2.(2分)(2020•北京)2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为()
A.0.36×105B.3.6×105C.3.6×104D.36×103
【解答】解:36000=3.6×104,
故选:C.
3.(2分)(2020•北京)如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是()
A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1>∠4+∠5D.∠2<∠5
【解答】解:A.∵∠1和∠2是对顶角,
∴∠1=∠2,
故A正确;
B.∵∠2=∠A+∠3,
∴∠2>∠3,
故B错误;
C.∵∠1=∠4+∠5,
故③错误;
D.∵∠2=∠4+∠5,
∴∠2>∠5;
故D错误;
故选:A.
4.(2分)(2020•北京)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A.B.
C.D.
【解答】解:A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;
D、既是中心对称图形,又是轴对称图形,符合题意.
故选:D.
5.(2分)(2020•北京)正五边形的外角和为()
A.180°B.360°C.540°D.720°
【解答】解:任意多边形的外角和都是360°,
故正五边形的外角和的度数为360°.
故选:B.
6.(2分)(2020•北京)实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,若实数b满足﹣a<b<a,则b的值可以是()
A.2B.﹣1C.﹣2D.﹣3
【解答】解:因为1<a <2, 所以﹣2<﹣a <﹣1, 因为﹣a <b <a , 所以b 只能是﹣1. 故选:B .
7.(2分)(2020•北京)不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是( ) A .1
4
B .1
3
C .1
2
D .2
3
【解答】解:列表如下:
1 2 1 2 3 2
3
4
由表可知,共有4种等可能结果,其中两次记录的数字之和为3的有2种结果, 所以两次记录的数字之和为3的概率为2
4
=1
2,
故选:C .
8.(2分)(2020•北京)有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是10cm ,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )
A .正比例函数关系
B .一次函数关系
C .二次函数关系
D .反比例函数关系
【解答】解:设容器内的水面高度为h ,注水时间为t ,根据题意得: h =0.2t +10,
∴容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关
系. 故选:B .
二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.(2分)(2020•北京)若代数式1
x−7
有意义,则实数x 的取值范围是 x ≠7 .
【解答】解:若代数式1
x−7
有意义,
则x ﹣7≠0, 解得:x ≠7. 故答案为:x ≠7.
10.(2分)(2020•北京)已知关于x 的方程x 2+2x +k =0有两个相等的实数根,则k 的值是 1 .
【解答】解:∵关于x 的方程x 2+2x +k =0有两个相等的实数根, ∴△=22﹣4×1×k =0, 解得:k =1. 故答案为:1.
11.(2分)(2020•北京)写出一个比√2大且比√15小的整数 2或3(答案不唯一) . 【解答】解:∵1<√2<2,3<√15<4,
∴比√2大且比√15小的整数2或3(答案不唯一). 故答案为:2或3(答案不唯一).
12.(2分)(2020•北京)方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 .
【解答】解:{x −y =1①
3x +y =7②,
①+②得:4x =8, 解得:x =2,
把x =2代入①得:y =1, 则方程组的解为{x =2
y =1.
故答案为:{x =2
y =1
.
13.(2分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy 中,直线y =x 与双曲线y =m
x 交于A ,B 两点.若点A ,B 的纵坐标分别为y 1,y 2,则y 1+y 2的值为 0 .
【解答】解:∵直线y =x 与双曲线y =m
x
交于A ,B 两点, ∴联立方程组得:{y =x
y =m x
,
解得:{
x 1=√m y 1=√m ,{
x
2
=−√m
y
2
=−√m ,
∴y 1+y 2=0, 故答案为:0.
14.(2分)(2020•北京)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 在BC 上(不与点B ,C 重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ,这个条件可以是 BD =CD (写出一个即可).
【解答】解:∵AB =AC , ∴∠ABD =∠ACD , 添加BD =CD , ∴在△ABD 与△ACD 中 {AB =AC
∠ABD =∠ACD BD =CD
, ∴△ABD ≌△ACD (SAS ), 故答案为:BD =CD .
15.(2分)(2020•北京)如图所示的网格是正方形网格,A ,B ,C ,D 是网格线交点,则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为:S △ABC = S △ABD (填“>”,“=”或“<”).
【解答】解:∵S △ABC =12×2×4=4,S △ABD =2×5−12×5×1−12×1×3−1
2×2×2=4, ∴S △ABC =S △ABD , 故答案为:=.
16.(2分)(2020•北京)如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票,所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时,只购买第一排的座位相邻的票,同时使自己所选的座位号之和最小,如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票,那么甲购买1,2号座位的票,乙购买3,5,7号座位的票,丙选座购票后,丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票,要使其他三人都能购买到第一排座位的票,写出一种满足条件的购票的先后顺序 丙、丁、甲、乙 .
【解答】解:根据题意,丙第一个购票,只能购买3,1,2,4号票, 此时,3号左边有6个座位,4号右边有5个座位,
即甲、乙购买的票只要在丙的同侧,四个人购买的票全在第一排, ①第二个丁可以购买3号左边的5个座位,另一侧的座位甲和乙购买, 即丙(3,1,2,4)、丁(5,7,9,11,13)、甲(6,8)、乙(10,12,14), 或丙(3,1,2,4)、丁(5,7,9,11,13)、乙(6,8,10)、甲(12,14); ②第二个由甲或乙购买,此时,只能购买5,7号票,第三个购买的只能是丁,且只能购买6,8,10,12,14号票, 此时,四个人购买的票全在第一排,
即丙(3,1,2,4)、甲(5,7)、丁(6,8,10,12,14)、乙(9,11,13), 或丙(3,1,2,4)、乙(5,7,9)、丁(6,8,10,12,14)、甲(11,13), 因此,第一个是丙购买票,丁只要不是最后一个购买票的人,都能使四个人购买的票全在第一排,
故答案为:丙、丁、甲、乙.
三、解答题(本题共68分,第17-20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每小题5分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.(5分)(2020•北京)计算:(13
)﹣
1+√18+|﹣2|﹣6sin45°.
【解答】解:原式=3+3√2+2﹣6×√2
2 =3+3√2+2﹣3√2
=5.
18.(5分)(2020•北京)解不等式组:{5x −3>2x ,
2x−13
<x 2.
【解答】解:解不等式5x ﹣3>2x ,得:x >1, 解不等式
2x−13
<x
2
,得:x <2,
则不等式组的解集为1<x <2.
19.(5分)(2020•北京)已知5x 2﹣x ﹣1=0,求代数式(3x +2)(3x ﹣2)+x (x ﹣2)的值. 【解答】解:(3x +2)(3x ﹣2)+x (x ﹣2) =9x 2﹣4+x 2﹣2x =10x 2﹣2x ﹣4, ∵5x 2﹣x ﹣1=0, ∴5x 2﹣x =1,
∴原式=2(5x 2﹣x )﹣4=﹣2.
20.(5分)(2020•北京)已知:如图,△ABC 为锐角三角形,AB =AC ,CD ∥AB . 求作:线段BP ,使得点P 在直线CD 上,且∠ABP =1
2
∠BAC . 作法:①以点A 为圆心,AC 长为半径画圆,交直线CD 于C ,P 两点; ②连接BP .
线段BP 就是所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:∵CD ∥AB , ∴∠ABP = ∠BPC . ∵AB =AC , ∴点B 在⊙A 上. 又∵点C ,P 都在⊙A 上,
∴∠BPC =1
2∠BAC ( 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 )(填推理的依据). ∴∠ABP =12∠BAC .
【解答】解:(1)如图,即为补全的图形;
(2)证明:∵CD∥AB,
∴∠ABP=∠BPC.
∵AB=AC,
∴点B在⊙A上.
又∵点C,P都在⊙A上,
∴∠BPC=1
2∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半),
∴∠ABP=1
2∠BAC.
故答案为:∠BPC,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
21.(6分)(2020•北京)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,∠DAO=∠BAO,
∵E是AD的中点,
∴AE=OE=1
2AD,
∴∠EAO=∠AOE,
∴∠AOE=∠BAO,
∴OE∥FG,
∵OG∥EF,
∴四边形OEFG是平行四边形,∵EF⊥AB,
∴∠EFG=90°,
∴四边形OEFG是矩形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AB=AD=10,
∴∠AOD=90°,
∵E是AD的中点,
∴OE=AE=1
2AD=5;
由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴FG=OE=5,
∵AE=5,EF=4,
∴AF=√AE2−EF2=3,
∴BG=AB﹣AF﹣FG=10﹣3﹣5=2.
22.(5分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b 的值,直接写出m的取值范围.
【解答】解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到,
∴k=1,
将点(1,2)代入y=x+b,
得1+b=2,解得b=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1;
(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2,
∵当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值,∴m≥2.
23.(6分)(2020•北京)如图,AB为⊙O的直径,C为BA延长线上一点,CD是⊙O的切线,D为切点,OF⊥AD于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠ADC=∠AOF;
(2)若sin C=1
3,BD=8,求EF的长.
【解答】解:(1)连接OD,∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BD,
∵OF⊥AD,
∴OF∥BD,
∴∠AOF=∠B,
∵CD 是⊙O 的切线,D 为切点, ∴∠CDO =90°,
∴∠CDA +∠ADO =∠ADO +∠BDO =90°, ∴∠CDA =∠BDO , ∵OD =OB , ∴∠ODB =∠B , ∴∠AOF =∠ADC ; (2)∵OF ∥BD ,AO =OB , ∴AE =DE , ∴OE =12
BD =1
2
×8=4, ∵sin C =
OD OC =1
3
, ∴设OD =x ,OC =3x , ∴OB =x , ∴CB =4x , ∵OF ∥BD , ∴△COF ∽△CBD , ∴OC BC =OF BD ,
∴
3x 4x
=
OF 8
,
∴OF =6,
∴EF =OF ﹣OE =6﹣4=2.
24.(6分)(2020•北京)小云在学习过程中遇到一个函数y =1
6
|x |(x 2﹣x +1)(x ≥﹣2). 下面是小云对其探究的过程,请补充完整:
(1)当﹣2≤x <0时,对于函数y 1=|x |,即y 1=﹣x ,当﹣2≤x <0时,y 1随x 的增大而 减小 ,且y 1>0;对于函数y 2=x 2﹣x +1,当﹣2≤x <0时,y 2随x 的增大而 减小 ,且y 2>0;结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y ,当﹣2≤x <0时,y 随x 的增大
而 减小 .
(2)当x ≥0时,对于函数y ,当x ≥0时,y 与x 的几组对应值如下表: x 0 12 1
32
2
52
3
… y
1
16
16
7
16
1
95
48
72
…
结合上表,进一步探究发现,当x ≥0时,y 随x 的增大而增大.在平面直角坐标系xOy 中,画出当x ≥0时的函数y 的图象.
(3)过点(0,m )(m >0)作平行于x 轴的直线l ,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l 与函数y =1
6
|x |(x 2﹣x +1)(x ≥﹣2)的图象有两个交点,则m 的最大值是
73
.
【解答】解:(1)当﹣2≤x <0时,对于函数y 1=|x |,即y 1=﹣x ,当﹣2≤x <0时,y 1随x 的增大而减小,且y 1>0;对于函数y 2=x 2﹣x +1,当﹣2≤x <0时,y 2随x 的增大而减小,且y 2>0;结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y ,当﹣2≤x <0时,y 随x 的增大而减小.
故答案为:减小,减小,减小.
(2)函数图象如图所示:
(3)∵直线l 与函数y =1
6|x |(x 2﹣x +1)(x ≥﹣2)的图象有两个交点, 观察图象可知,x =﹣2时,m 的值最大,最大值m =16×2×(4+2+1)=7
3, 故答案为7
3
25.(5分)(2020•北京)小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:
a .小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:
b .小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:
时段 1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 173 (结果取整数); (2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9 倍(结果保留小数点后一位);
(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s 12,5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s 22,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s 32.直接写出s 12,s 22,s 32的大小关系.
【解答】解:(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为
100×10+170×10+250×10
30
≈173(千克),
故答案为:173;
(2)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的17360
≈2.9(倍),
故答案为:2.9;
(3)由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知,第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中, ∴s 12>s 22>s 32.
26.(6分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy 中,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)为抛物线y
=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1<x2.
(1)若抛物线的对称轴为x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c;
(2)设抛物线的对称轴为x=t,若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围.【解答】解:(1)由题意y1=y2=c,
∴x1=0,
∵对称轴x=1,
∴M,N关于x=1对称,
∴x2=2,
∴x1=0,x2=2时,y1=y2=c.
(2)∵抛物线的对称轴为x=t,若对于x1+x2>3,都有y1<y2,
当x1+x2=3,且y1=y2时,对称轴x=3 2,
观察图象可知满足条件的值为:t≤3 2.
27.(7分)(2020•北京)在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF 之间的数量关系,并证明.
【解答】解:(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点,
∴DE∥BC,DE=1
2BC,
∵∠ACB=90°,∴∠DEC=90°,∵DF⊥DE,
∴∠EDF =90°,
∴四边形CEDF 是矩形,
∴DE =CF =12BC ,
∴CF =BF =b ,
∵CE =AE =a ,
∴EF =√CF 2+CE 2=√a 2+b 2;
(2)AE 2+BF 2=EF 2.
证明:过点B 作BM ∥AC ,与ED 的延长线交于点M ,连接MF ,
则∠AED =∠BMD ,∠CBM =∠ACB =90°,
∵D 点是AB 的中点,
∴AD =BD ,
在△ADE 和△BDM 中,
{∠AED =∠BMD
∠ADE =∠BDM AD =BD
,
∴△ADE ≌△BDM (AAS ),
∴AE =BM ,DE =DM ,
∵DF ⊥DE ,
∴EF =MF ,
∵BM 2+BF 2=MF 2,
∴AE 2+BF 2=EF 2.
28.(7分)(2020•北京)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,A ,B 为⊙O 外两点,
AB =1.
给出如下定义:平移线段AB ,得到⊙O 的弦A 'B '(A ',B ′分别为点A ,B 的对应点),线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4,则这两条弦的位置关系是 P 1P 2∥P 3P 4 ;在点P 1,P 2,P 3,P 4中,连接点A 与点 P 3 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”;
(2)若点A ,B 都在直线y =√3x +2√3上,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1,求d 1的最小值;
(3)若点A 的坐标为(2,32),记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2,直接写出d 2的取值范围.
【解答】解:(1)如图,平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4,则这两条弦的位置关系是P 1P 2∥P 3P 4;在点P 1,P 2,P 3,P 4中,连接点A 与点P 3的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”.
故答案为:P 1P 2∥P 3P 4,P 3.
(2)如图1中,作等边△OEF ,点E 在x 轴上,OE =EF =OF =1,
设直线y =√3x +2√3交x 轴于M ,交y 轴于N .则M (﹣2,0),N (0,2√3),
过点E 作EH ⊥MN 于H ,
∵OM =2,ON =2√3,
∴tan ∠NMO =√3,
∴∠NMO =60°,
∴EH =EM •sin60°=√32,
观察图象可知,线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1的最小值为
√32.
(3)如图2中,以A 为圆心1为半径作⊙A ,作直线OA 交⊙O 于M ,交⊙A 于N ,
以OA ,AB 为邻边构造平行四边形ABDO ,以OD 为边构造等边△ODB ′,等边△OB ′A ′,则AB ∥A ′B ′,AA ′的长即为线段AB 到⊙O 的“平移距离”,
当点A ′与M 重合时,AA ′的值最小,最小值=OA ﹣OM =52−1=32
, 当点B 与N 重合时,AA ′的长最大,如图3中,过点A ′作A ′H ⊥OA 于H .
由题意A ′H =√32,AH =12+52=3,
∴AA ′的最大值=(32)2+32=√392, ∴32
≤d 2≤√392.。