高考直线方程题型归纳

高考直线方程题型归纳
知识点梳理 1．点斜式方程
设直线l 过点P 0x 0,y 0,且斜率为k ,则直线的方程为y －y 0=kx －x 0,
由于此方程是由直线上一点P 0x 0,y 0和斜率k 所确定的直线方程,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.
注意：利用点斜式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否. 1当直线l 的倾斜角α=90°时,斜率k 不存在,不能用点斜式方程表示,但这时直线l 恰与y 轴平行或重合,这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0,所以此时的方程为x =x 0.
2当直线l 的倾斜角α=0°时,k =0,此时直线l 的方程为y =y 0,即y －y 0=0.
3当直线l 的倾斜角不为0°或90°时,可以直接代入方程求解. 2．斜截式方程：如果一条直线通过点0,b 且斜率为k ,则直线的点斜式
方程为y =kx + b 其中k 为斜率,b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距,简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.
1并非所有直线在y 轴上都有截距,当直线的斜率不存在时,如直线x =2在y 轴上就没有截距,即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距,从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.
2直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数,当k =0时,该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时,该函数为一次函数,且当k >0时,函数单调递增,当k <0时,函数单调递减.
3直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例;要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.
3．直线的两点式方程
若直线l 经过两点Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,x 1≠x 2,则直线l 的方程为11
2121y y x x y y x x --=--,这种形式的方程叫做直线的两点式方程. 注意
1当直线没有斜率x 1=x 2或斜率为零y 1=y 2时,不能用两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--表示它的方程；
2可以把两点式的方程化为整式x 2－x 1y －y 1= y 2－y 1x －x 1,就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A 1,2,B 1,3的直线方程可以求得x =1,过两点A 1,3,B －2,3的直线方程可以求得y =3.
3需要特别注意整式x 2－x 1y －y 1= y 2－y 1x －x 1与两点式方程11
2121y y x x y y x x --=--的区别,前者对于任意的两点都适用,而后者则有条件的限制,两者并不相同,前者是后者的拓展; 4．直线的截距式方程
若直线l 在x 轴上的截距是a ,在y 轴上的截距是b ,且a ≠0,b ≠0,则直线l 的方程为1x y
a b
+=,这种形式的方程叫做直线的截距式方程; 注意：
1方程的条件限制为a ≠0,b ≠0,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；
2用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度；
3要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念,截距式中的截距可正、可负,但不可为零; 截距式方程的应用
1与坐标轴围成的三角形的周长为：|a |+|b
；
2直线与坐标轴围成的三角形面积为：S =1
||2
ab ；
3直线在两坐标轴上的截距相等,则k =－1或直线过原点,常设此方程为x +y =a 或y =kx . 5．直线方程的一般形式
方程Ax +By +C =0A 、B 不全为零叫做直线的一般式方程. 注意
1．两个独立的条件可求直线方程：
求直线方程,表面上需求A 、B 、C 三个系数,由于A 、B 不同时为零,
若A ≠0,则方程化为0B C
x y A A
++=,只需确定,B C A A 的值；
若B ≠0,同理只需确定两个数值即可；
因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程； 2．直线方程的其他形式都可以化成一般式,解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式,一般式也可以化为其他形式; 3．在一般式Ax +By +C =0A 、B 不全为零中,
若A =0,则y =C
B -,它表示一条与y 轴垂直的直线；
若B =0,则C
x A
=-,它表示一条与x 轴垂直的直线.
6.直线方程的选择
1待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法,但要注意选择形式,一般地已知一点,可以待定斜率k ,但要注意讨论斜率k 不存在的情形,如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等；
2直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性,解题过程中要能够根据不同的题设条件,
截距式方程 一般式
能表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
典型例题剖析
题型1．直线的点斜式方程
例1．一条直线经过点M －2,－3,倾斜角α=135°,求这条直线的方程;
例2．求斜率为3
3
,且分别满足下列条件的直线方程： 1经过点M 3,－1；2在x 轴上的截距是－5. 题型2．直线的斜截式方程
例3．若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限,则系数A 、B 、C 需满足条件
AA 、B 、C 同号 BAC <0,BC <0 CC =0,AB <0 DA =0,BC <0
例4．直线y =ax +b a +b =0的图象是
例5．写出过下列两点的直线方程,再化成斜截式方程. 1P 12,1,P 20,－3；2P 12,0,P 20,3;
例6． 三角形的顶点是A －5,0、B 3,－3、C 0,2,求这个三角形三边所在的直线方程. 题型4．直线的截距式方程
例7．已知直线的斜率为6
1
,且和坐标轴围成面积为3的三角形,求该直线的方程;
例8．过点A 1,4且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 题型5．直线的一般式方程
例9．已知直线经过点A 6,－4,斜率为－3
4
,求直线的点斜式和一般式方程.
例10．把直线l 的方程x －2y +6=0化成斜截式,求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距,并画图. 题型6.定点问题 例11、已知直线
所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{
}的第一项
与第二项,若
,数列
的前n 项和为T n ,则T 10=
A. B. C. D.
题型7.对称问题
例12、已知直线l 1：y ＝2x ＋3,直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称,则直线l 2的斜率为
A. B ．－ C ．2 D ．－2
例13、直线
关于直线
对称的直线方程是
A． B．
C． D．
例14、直线2x－y－4=0上有一点P,它与两定点A4,－1,B3,4的距离之差最大,则P点坐标是
_________
例15.1求点A3,2关于点B－3,4的对称点C的坐标；
2求直线3x－y－4＝0关于点P2,－1对称的直线l的方程；
3求点A2,2关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．
题型8.最值问题
例16、若点m,n在直线4x＋3y－10＝0上,则m2＋n2的最小值是
A．2 B．2 C．4 D．2
例17、直线与直线互相垂直,则的最小值为A．1 B．2 C．4 D．5
例18.过点P1,2作直线l,交x,y轴的正半轴于A、B两点,求使△OAB面积取得最小值时直线l 的方程.
题型9．创新问题
例19．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P2,3,求过两点Q1a1,b1,Q2a2,b2的直线方程.
例20、已知点A－1,0,B1,0,C0,1,直线y＝ax＋ba>0将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是
A．0,1 B. C. D.
例21、在平面直角坐标系中,定义dP,Q=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点Px1,y1,Qx2,y2之间的“折线距离”,在这个定义下,给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；
③到M0,﹣2,N0,2两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0；
④直线y=x+1上的点到N0,2的“折线距离”的最小值为1．
其中真命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
例22、已知两定点M-2,0,N2,0,若直线上存在点P,使得
,则该称直线为“A 型直线”.
给出下列直线： ①
, ②
, ③
, ④
,
其中是“A 型直线”的序号是 .
例23、已知直线l ：A ,B 不全为0,两点
,,若,且
,则
A ．直线l 与直线P 1P 2不相交
B ．直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交
C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交
D ．直线l 与线段P 1P 2相交
例24. 已知实数x,y 满足y ＝x 2－2x ＋2－1≤x≤1．试求错误!的最大值与最小值．
强化训练
1．下列说法中不正确的是
A 点斜式y －y 0=kx －x 0适用于不垂直于x 轴的任何直线
B 斜截式y =kx +b 适用于不垂直x 轴的任何直线
C 两点式11
2121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于坐标轴的任何直线 D 截距式1x y
a b
+=适用于不过原点的任何直线
2．直线3x －2y =4的截距式方程为
A 3142x y -=
B 11132x y -=
C 3142x y -=-
D 1423
x y +=-
3．过点3,－4且平行于x 轴的直线方程是 ；过点5,－2且平行于y 轴的直线方程是 ;
4．过点P 1,3的直线分别与两坐标轴交于A 、B 两点,若P 为AB 的中点,求直线的方程. 5．已知△ABC 中,A 1,－4,B 6,6,C －2,0,求：
1△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； 2BC 边的中线的一般式方程,并化为截距式方程. 6．如果AC <0,BC <0,那么直线Ax +By +C =0不通过
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
7．直线l 过点P 1,3,且与x ,y 轴正半轴所围成的三角形的面积等于6,则l 的方程是 A 3x +y －6=0 Bx +3y －10=0 C 3x －y =0 Dx －3y +8=0
8．若直线2m 2+m －3x +m 2－my =4m －1在x 轴上的截距为1,则实数m 是
A 1
B 2
C －21
D 2或－2
1
9．已知直线l ：Ax +By +C =0A 2+B 2
≠0,点Px 0,y 0在l 上,则l 的方程可化为
AAx +x 0+By +y 0+C =0 BAx +x 0+By +y 0=0 CAx －x 0+By －y 0+C =0 DAx －x 0+By －y 0=0
10．经过点－3,－2,在两坐标轴上截距相等的直线方程为 11．若点a ,12在过点1,3及点5,7的直线上,则a = .
12．、在平面直角坐标系中,是坐标原点,设函数的图象为直线,且与轴、轴分别交于、两点,给出下列四个命题：
①存在正实数,使△的面积为的直线仅有一条；
②存在正实数,使△的面积为的直线仅有两条；
③存在正实数,使△的面积为的直线仅有三条；
④存在正实数,使△的面积为的直线仅有四条.
其中所有真命题的序号是 .
13、在平面直角坐标系xOy中,设点、,定义：．已知点,点M为直线上的动点,则使取最小值时点M的坐标是．
141已知直线l：2m2+m－3x+m2－my－4m+1=0,求m的取值范围
2如果ab>0,bc<0,那么直线ax－by－c必经过第几象限。