3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行直线间的距离

l1与l2
l2: 6x-21y-1=0 两平行线间的
l1:2x-7y-8=0 距离处处相等
O
P(4,x0)
思考:怎样用两平行
线间的距离公式解?
在l1上任取一点，例如P(4,0)
P到l2的距离等于l1与l2的距离
6 4 21 0 1
d

23
23 53
62 212
3 53 159
2k (1) 3 (k 2) 4k (1) (5) (k 2)

k 2 12
k 2 12
解得： k

4, 或k


3 2
即直线l的方程为 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l与x轴垂直。
因直线过点(1,2)，故直线l的方程为 x=1，
x 3 0 7 12x 5 0 40
12 ( 3)2
122 (5)2
解得： x 1 或 x 171
37
所以P点坐标为：(1,0)
或 ( 171 ,0) 37
练习3.求两平行直线2x+y+3=0和4x+2y+5=0的距离
练习4.
d
3 5 2
22 12
S
x
l: Ax+By+C=0
y
如直图线，l已:A知x+点By的+C坐=0标.下P0面(x用0,两y0种) 方, 法求点P0到直线l的距离:
l
Q
点P0到直了线l的距离,是指从点P0
.
到直线的垂线 中Q是垂足.
段
P
0
Q的
长度
,其
0 P0(x0,y0)
x
分析: 设A 0, B 0
过为的点距QP，0离作则。直|线P0lQ的|即垂为线点段PP0到Q,直B垂线足l
0
x
综合①、②、③三种情况，可以得到点P0(x0,y0)到直 线l：Ax+By+C=0的距离公式：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注：(1)应用点到直线的距离公式时，要注意将直线方 程化成一般式；即 Ax+By+C=0的形式； (2)当点P0在直线l上时，此公式仍然适用，这时 d=0； (3)此公式是在A、B≠0的前提下推导的； (4)如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； (5)如果A=0或B=0，一般不用此公式；
则
S ABC

1 2
AB h
AB (3 1)2 (1 3)2 2 2
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离。
AB边所在的直线的方程为： y 3 x 1 13 31
即 x+y-4=0
点C（-1，0）到 x+y-4=0的距离为：
1 (1) 1 0 (4)
y C (B 0). B
y
.P0(x0,y0)
则点P0到直线l的距离为：
d
0
x
d

y0
C B

By0 C B2
L
③当B=0，即直线l垂直于x轴，此时l的方程为：
x C ( A 0). A
则点P0到直线l的距离为：
d

x0
C A

Ax0 C A2
Ly
. d
P0(x0,y0)
由并PQ由⊥ll与可P知0Q直的线方P程0Q求的出斜率交点A Q
， 的
坐标，
再根据两点间距离公式求出|P0Q|。
试一试, 你能求出 | P0Q | 吗?
解法一:过点P0作l1⊥l ，垂足为Q，则 |P0Q| 就是点P 到直线l 的距离. 依题意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0
Q(x, y)满足:
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P 0(x0,y0)
Q (x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P0(x0,y0)
o
x
P0 Q y0 - y1
x=x1 P0Q x0 - x1
例1.求点P（-1，2）到直线l：3x=2 的距离。 解：（法一）把直线方程 3x=2化为 一般式 3x-2=0，根据点到直线的距离公式：
y
P0
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求 点P0到直线l的距离呢?
2.点到直线的距离公式及推导
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离 公式:
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P0
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q
O
P0(x0,y0)
| OP | x2 y2
2.建立适当的坐标系一般有哪些规律? 若条件中有: (1)、两条垂直的直线，以该两直线为坐标轴； (2)、对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴； (3)、已知长度的线段，
以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点；
(4)、让尽量多的已知点在所建的坐标轴上。
3. 用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤有几步?
d Ax0 By0 C 3 (1) 0 2 (2) 5
A2 B2
32 02
3
（法二）因为直线3x=2垂直于x轴，所以
d

x0
C A

(1) 2 3

5 3
例2.已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0）， 求三角形ABC的面积。
解：（法一）（如图）设AB边上的高为h,
3、两平行直线间的距离公式：
d C1 C2 A2 B2
注意：用公式时须保证两个直线方程的 一次项x,y的系数一致。
作业:
必做作业:试卷:
(选择题和填空题也要有说明理由或主要的步骤)
例5.过点（1，2），且与点A（2，3）和B（4，-5） 距离相等的直线l的方程。
解:(1)若直线l的斜率k存在，则由点斜式可得 直线l的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0 由题意得：
5Leabharlann 3.3.4两条平行直线间的距离
3.两平行直线间的距离的定义:两条平行直线间的距离
是指夹在两条平行直线间的公垂线段y的长.
P
l1
注意：用公式时须保
证两个直线方程的一
次项x,y的系数一致。
o
l2
Q x
例3.求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
书p110：B组 第3题
d

C1 - C2 A2 B2
4.两平行直线间的距离公式及推导：两条平行直线 Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式。
解：在直线Ax+By+C1=0 任取一
点 p(x0,y0) Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C1
则两平行线的距离是 p(x0,y0) 到直线 Ax+By+C2=0 的距离
注：直线到直线的距离转化为点到直线的距离
课堂练习：P109练习(1),(2)
小结： 1、点到直线的距离公式：
d Ax0 By0 C
A2 B2
（1）当A=0，即直线L平行于x轴时，d
y0
C B
（2）当B=0，即直线L垂直于x轴时，d

x0

C A
2、应用点到直线的距离公式时，要注意将直线的 方程化成一般 式；即 Ax+By+C=0 的形式。
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关 系.
用框图表示如下:(参见书p106)
建立坐标系， 用坐标表示 有关的量。
进行有关的 代数运算。
把代数运 算结果 “翻译” 成几何关 系。
二、新课: 1.点到直线的距离的定义
如图，P0到直线l的距离，就是指从点P0到直线l的 垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足.
为
(x0 ,
Ax0 B
C )
。
Q d
R
P0(x0,y0)
根据点斜式可写出直线P0Q的方程 0
x
，
y
于是有：
P0 R


By0 C A

x0

Ax0 By0 C , A
L S
Q d
P0 S


Ax0 C B

y0

Ax0 By0 C ,
B
0
P0(x0,y0)
R x
RS
d | Ax0 By0 C | A2 B2
解法二:
如图,设 A 0, B 0 ，则直线l与
X轴和y轴都相交，
过点P0分别作x轴和y轴的平行线,
交直线l于R和S，则直线P0R的方
R的程坐为标y为=y(0，By0 A
C
,
y0
)；
y
lS
直线P0S的方程为x=x0，S的坐标
5 练习5.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是___3___.
2 3 7 0 8 14 14 53
d

22 (7)2
53 53
注：直线到直线的距离转化为点到直线的距离
练习2： P在x轴上，P到直线l1: x－ 3 y +7=0
与直线l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。 解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，可得：
P0 R
2

P0 S
2

A2 B2 AB
Ax0 By0 C .
设|P0Q|=d，由三角形面积公式可得：
1
1
2 ·d·|RS|= 2·|P0R|·|P0S|，
于是得
d P0R P0S Ax0 By0 C .
RS
A2 B2
②当A=0，即直线l平行于x轴，此时l的方程为：
5 10
（1）P（－2，3）到直线y= －2的距离是___5_____ （2）P（－1，1）到直线3x= 2的距离是__1__32_____
（3）P（2，－3）到直线x+2y+4= 0的距离是__0_____
11 5 （4）P（－1，1）到直线2x+y－10= 0的距离是___5___
45 （5）P（2，0）到直线y= 2x的距离是____5__
p(x0,y0) l2
所以d Ax0 By0 C2
l1
A2 B2
C1 C2 C1 C2 d C1 C2
A2 B2
A2 B2
A2 B2
例4.已知直线 l1 : 2x-7y-8=0,
是否平行y ? 若平行,求 l1与l2
l2 : 6x-21y-1=0, 间的距离。
即
x+y-4=0
在上式中，令y=0，得x=4.
所以点D的坐标是（4，0），|CD|=5。
又点A、B的纵坐标分别为3、1，所以
SABC SACD SBCD
1 53 1 51 5
2
2
课堂练习：P108练习1,2
课堂练习：P108练习1,2
练习1、求原点到下列直线的距离：
（1）3x+2y-26=0 ； 答：2 13
（2）x=y . 答：0（直线l过原点）
练习2、求下列点到直线的距离： （1）A（-2，3)， l：3x+4y+3=0
；答：9
5
（2）B(1,0), l： 3x y 3 0 ；
答：0（点B在直线l上）
（3）C(1,-2),l：4x+3y=0 . 答：2
这不符合题意。
综上，所求直线l的方程为 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0
练习1.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
3.3.3点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离
一、复习:
1. 两点间的距离公式是什么?
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，则P1 P2的
距离| P1 P2 |为:
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
h

5
12 12
2
因此，S ABC

1 2
AB h
12 2 5
2
2
5
（法二）如图，延长AB交x轴于点D。过点A、B分别作x
轴的垂线，垂足分别为M、N。则三角形ACD的CD边上
的高为AM，三角形CBD的CD边上的高为BN。由已知得，
直线AB的方程为
y3 1 3
x 1 3 1
Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0
y
l
l1
Q
x B 2 x0 ABy0 AC

A2 B2 y ABx0 By0 BC
A2 B2
.
0 P0(x0,y0)
x

x

x0


A( Ax0 By0 A2 B2
C)
y

y0


B( Ax0 By0 A2 B2
C)
| P0Q | (x x0 )2 ( y y0 )2

[
A(
Ax0 By0 A2 B2

C
)
]2

[
B(
Ax0 By0 A2 B2

C
)
]2
| Ax0 By0 C | 当A=0或B=0时仍适用 A2 B2
结论 点P0 (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为: