转化思想

转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨
⎩1351444524
2
分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为
()()()()x x x y x x x y 22351443524
++=+++=⎧⎨⎪⎩⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。

解：设x x u x y v 2
35+=+=，
原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨
⎩
144
24
解之，得u v ==⎧⎨⎩12
12 即x x x y 2123512
+=+=⎧⎨⎩
解之，得x y 11448=-=⎧⎨
⎩. x y 223
06
==⎧⎨⎩.
例2 若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572
35111
1m
n
p
m n p ++=++=-+，，求
23511m n p +-++的取值范围。

分析：直接利用已知条件中的两个等式得到23511m n p +-++的取值范围不好下手，如果换个角度考虑2
35
111
1
m n p -+++=可变形为22
35511m n p ++⋅=，令2m
a =，3n
b =，5p
c =，则已知条件可转化为方程组a b c a
b c ++=++=⎧⎨⎪
⎩⎪72
511，进而找到a 、b 与c 的关系，可以确定所求式子的取值范围。

解：设2
35m
n p a b c ===，，，则
a b c a
b c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪712
5112()()
由(1)、(2)可得
a c =-+88 (3)
b
c =-159 (4) 此时，2
352536
5
11
1m n p a b c c +-++=++
=- (5) a >0，由(3)得c >1 b >0，由(4)得c <53
∴<<
153c ∴由(5)得31
5
2351111<++<+-m n p
例3 如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作
PD ∆APD A
D
∆APD AH BC
⊥AH AC C =⋅∠=⋅
=sin 2332
3∴=⋅=⨯⨯=∴=⋅=S BC AH S BP AH x ABC ABP
∆∆121
24361232
PD AB PCD BCA //~∴∆∆∴
=∴=⋅=-S S CP CB S CP S x PCD BCA PCD ABC ∆∆∆∆()
()()2
22
43
8
4 S S S S y x x APD ABC ABP PCD ∆∆∆∆=--∴=---6323
8
42
()y x x =-+38322y x =--+3823
2
2()∴=x 2∆APD
∆APD
32
y ax bx c =++213，－，243-1，m ∆OAC RTS ⌒∆OAC
y ax bx c a =++≠20()13，－，243⎪
⎩⎪
⎨⎧+-==++=∴c
b a
c c b a 24340
3a b c ===300，，∴y x =32 y x =32C m ()-1，∴=--=m 313
2() OA OC ==±+=()()13222AC =++-=()()1133222∴∆AOC
3R x y S x y ()()1122，、，||()()||()()
MR x P y MS x P y 21212
22222
3
13
2=-+==-+=⎧⎨⎪⎩⎪ y x y x 11
22
3334==-⎧⎨⎪⎩⎪()()
x x 12、()x P x -+=22334230
22x Px P -+-=x x 12、∴+=⋅=
-===-+-x x P x x P MR MS RS x x y y 121222122122
23
4
3，||||||()()
=-++=++()()()x x x x x x x x 122122
1222
12343
)
434(4])[(42221221=--=-+=P P x x x x ∴=||RS 3∴∆MRS ∠=︒RMS 60∴RTS
⌒
603602333
()ππ=∆MRS RMS ∠RTS ⌒
ax a b x ab 22220
-++=() D C
P O B
A E
∆∆ACE AEB ~b a AC 2
=⋅CE AC b a ==2∴+=+=+⋅=⋅=⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪CD CE a b a a b a CD CE a b a b 22222∴CD CE 、ax a b x ab 2
2
2
2
0-++=()PB BQ AB BD ⋅=⋅PB PB b a b a
()+=⋅
2
PB b =-
+51
2∴=-PB b 51
2
四边形ABCD 中，∠=︒ABC 60，AC 平分∠BAD ，
AC AD ==76，，S ADC ∆=
15
2
3，求BC 和AB 的长。

分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。

由已知︒=∠60ABC ，AC 平分BAD ∠，所以想到由C 点作AB CE ⊥于E ，作AD CF ⊥于F 。

由已知
32
15
=
∆ADC S 可求出CF ，由CF CE =，可知CE 的长，通过解BEC Rt ∆可求出BC 的长。

BE 也可求，再通过解AEC Rt ∆由勾股定理求出AE 的长，这样，AB 的长就求出来了。

解：作AB CE ⊥于E ，AD CF ⊥于F 21∠=∠
2
35,23562
1
3215==
∴=⋅==
=∴∆CE CF AD AD CF S CF CE ADC
在BEC Rt ∆中，2
3
5,60=
︒=∠CE ABC 5,2
5
==
∴BC BE 在ACE Rt ∆中，7=AC
由勾股定理，4
121
2
2
2
=
-=CE AC AE
8
2
5
2112
11=+=+=∴=
∴EB AE AB AE
综上所述：8,5==AB BC 。

1 2
F E
D
点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知32
15
=
∆ADC S ，想到作AD 边上的高线，再由AC 平分BAD ∠想到从C 点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三
角形解决问题。

例2. 四边形ABCD 中，︒=∠120A ，︒=∠90ABC ，7=BD ，314
3
cos =
∠DBC ，求AB 。

分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。

解：过D 点作BA ED ⊥的延长线于E ，若C ∠为钝角，作BC DF ⊥延长线于F ，（若C ∠为锐角，作BC DF ⊥于F ，同理）
在DBF Rt ∆中，3143
cos =∠DBC ，7=BD ， 32
331437cos =⨯=∠⋅=∴DBC BD BF ，213
=DF
︒=∠=∠=∠90ABC F E ∴四边形EBFD 是矩形
2
13
==∴DF BE
2
3
3=
=∴BF DE 在DEA Rt ∆中，︒=∠120DAB ︒=∠∴60EAD
52
3
2132
13,23=-=
-=∴==
∴AE BE AB BE AE
60︒ 120︒
C D F
'C
点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对C ∠的讨论。

C ∠有可
能是锐角、直角或钝角，但无论C ∠是什么角，都不影响解题的结果。

例3. 在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，10,135,60=︒=∠︒=∠AB D BAC ，
340=∆ABC S ，求CD 的长。

分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。

解：若B ∠是锐角，（B ∠是钝角或直角同理）过C 点作AB CF ⊥于F ，过C 点作AD CE ⊥的延长线于E 。

10,3402
1
==⋅=
∆AB AB CF S ABC
︒
=∠=∠︒=∠=∴90,903
8DAB E AFC CF
∴四边形AECF 是矩形 38==∴CF AE
在AEC Rt ∆中，︒=∠︒=∠60,90CAB DAB
8
38,30=∴=︒=∠∴EC AE EAC
在DEC Rt ∆中，
2
845135=∴︒=∠∴︒
=∠DC EDC ADC
60︒ 30︒
45︒
点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。

在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。

其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。

以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。

练习
一. 选择题：
1. 若x 、y 都是实数，且||()x x y x x 22
2
923712
0-+--+=，则23x y +的值是（ ）
A. 12
B. －12
C. ±12
D. 9
2. 设关于x 的二次方程()a x ax 2
2
1420+-+=的两根为x x 12、，若231212x x x x =-，则a 的值是（ ） A. 3
B. －1
C. 3或－1
D. －3
3. 如图，梯形ABCD 中，AB ax bx c 2
20-+=∠DBC ∠A ∠=∠DBC A B.
∠≠∠DBC A C. ∠>∠DBC A D. ∠<∠DBC A
D C 1
2
A B
4. 在关于x 的一元二次方程a x bx c x ()()1221022
--++=中，a 、b 、c 是Rt ABC ∆的
三条边，∠=︒C 90，那么这个方程根的情况是（ ） A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根
D. 有两个不相等的实数根
5. 已知a 、b 、c 是∆ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程ax bx c 2
20-+=两根的差的绝对值等于2，则∆ABC 中最大角的度数是（ ） A. 90︒
B. 120︒
C. 150︒
D. 60︒
6. 已知a 、b 、c 是∆ABC 三条边长，关于x 的方程a x bx c x ()()12102
2
-+++=有两个相等的实数根，且224a c b ⋅=，则cos cos cos A B C ++的值是（ ） A. 1
B.
15
C.
35
D.
75
7. 若αβ、是直角三角形两锐角，那么关于x 的一元二次方程x tg x tg 2
20αβ-+=根的情况是（ ） A. 有两个相等的正根 B. 有两个不等的负根 C. 有一正根和一个负根 D. 没有实数根
二. 填空题：
1. 在长方形内有1989个点，以这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成________个三角形。

2. 方程x mx m 22210+++=在区间(－4，0)中有两个不相等实根，则m 的取值范围是_______。

3. 在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，D 是BC 中点，DE AB ⊥于E ，tgB =1
2
，AE ＝7，则DE 的长为_______。

三. 解答题：
1. 解分式方程：x x x 2
2
2
9316+-=()
.
2. 已知p q p q 3
3
2+=，、为实数，证明：p q +≤2。

3. 如图，AB 是半圆O 的直径，O 是圆心，若∠=︒∠=︒ADC DCB 105120，，CD =22，求四边形ABCD 的周长和面积。

D
C
B
4. 已知：如图，在∆ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC 长是1，且∠=︒BAC 60，
∠=︒∠=︒ABC DEC 10080，，求S S ABC CDE ∆∆+2。

B
E
A D C
5. 已知边长为1的正方形ABCD 内接于⊙O ，延长BC 到点E ，使CE ＝BC ，连接AE 交⊙O 于F ，求证：EF 、FA 的长是方程555602
x x -+=的两根。

A D
O F
B C
疑难解答
A. 教师自己设计问题：
1. 怎样运用转化思想证明模拟试题中的解答题的第2小题？
2. 模拟试题中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形？ B. 对问题的解答：
1. 模拟试题中解答题的第2小题是证明不等式的问题，可以转化为一元二次方程根的判别式来证明，这就需要构造出合适的一元二次方程，可以 设p q t +=，则q t p =-，
∴+-=p t q 332()，
∴-+=t t p tp 322332，即3320223tp t p t -+-=，
p 为实数，
∴将上面方程看成p 的一元二次方程时，∆=--⨯⨯-≥()()34320223t t t ，
∴-≤t t ()380
023
4
332222<=+=+-+=+-+p q p q p pq q p q p q q ()()()[()]
()p q q -+>223
4
0，
∴+>>∴-≤≤+≤p q t t t p q 0080223，即，，，即。

2. 答：∆ABC 和∆CDE 都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于
∆ABC 中AC 已知，且∠=︒BAC 60，若以AC 为一边和以∠BAC 为一内角构成直角三角
形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求。

(1)如图：过C 作AB 的垂线交AB 的延长线于G 可证∆∆CDE EBG ≅
∴=2S S CDE CBG ∆∆
∴+=+==
S S S S S ABC CDE ABC CBG CGA ∆∆∆∆∆238
这是构成直角三角形的解法
(2)如图：以AC 为一边，∠BAC 为一内角，构成正三角形ACG
G B
E
作∠GCB 的平分线交GA 于F 则S GAC ∆=
34
可证∆∆∆∆BAC FGC CED CBF CE CB ≅=，，~1
2
∴=
S S CED CFB ∆∆1
4
∴+=+
==S S S S S ABC CDE ABC CFB GAC ∆∆∆∆∆2121238
G F
B
E
C
试题答案
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
11 一.
1. B
2. C
3. A
4. D
5. B
6. D
7. A 二.
1. 3980个
2. 12176+
<<m 3. 73 三.
1. 提示：原方程转化为()x x x x x x +--⋅--=33233
1602 即()x x x x 2
22363160--⋅--=，令y x x =-2
3 解方程后检验 知x x 121717=-+=--，是原方程的解
2. 提示：可转化为一元二次方程根的判别式来证明
3. 提示：连结OD 、OC ，作CE AB ⊥于E ，可得∠=︒∠=︒DCA COB 6030，，四边形周长626++
4. 提示：可以构造直角三角形或等边三角形来解，S S ABC CDE ∆∆+=238
5. 提示：由勾股定理，得AE =5，由割线定理，得EF AE EC EB ⋅=⋅，∴=EF 25，AF AE EF =-=35，将EF =25代入方程左边=⨯-⨯+=5255525
602()，右边＝0，∴=EF 25是方程555602x x -+=的根，同理AF =35
也是方程555602x x -+=的根，∴EF 、FA 是方程555602x x -+=的两根。