广东省南民私立中学高三数学第一轮复习空间直线

2．空间两条直线
【知识点精讲】
二）异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

画法：
（2）异面直线判定：①定义法（多用于反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线（证之）。

（3）异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。

θ∈(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。

求角方法：平移法；补形法等 （4）异面直线的公垂线及距离：。

（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）
（4）求距离方法 作公垂线段法，转移法：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。

②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。

三）等角定理：
一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。

四）平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

重难点：① 异面直线所成的角 ②异面直线的距离 思维方式：逻辑推理能力和空间想象能力
特别注意：证明、推理过程中必须有理论依据，不能想当然。

【例题选讲】
例1：回答下列问题：
（1） 若c b b a //,//，那么c a //吗？c b a ,,一定共面吗？
（2） 过直线外一点作该直线的平行线，能作几条？怎样作？ （3） 过直线外一点作该直线的垂线，能作几条？
（4） 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系如何？
答：（1）c a //但c b a ,,不一定共面。

（2）有且只有一条，用平几方法作即可。

（3）无数条。

（4）四个交点时异面，三个交点时相交。

例2 ：（1）下列命题中正确的一个是（ C ）
（A ）若a 与b 是异面直线,b 与c 也是异面直线，则a 与c 也是异面直线； （B ）已知异面直线a ，b 两条直线c ，d 分别与a ，b 都相交, 则c ，d 也是异面直线； （C ）四个角都是直角的四边形一定是矩形； （D ）两条异面直线可能没有公垂线
（2）关于异面直线a ，b 下述命题中不正确的一个是（ B ） （A ）过直线a 有且只有一个平面平行于b ； （B ）过直线a 有且只有一个平面垂直于b
（C ）存在分别经过直线a 与b 的两个互相平行的平面 （D ）存在分别经过直线a 与b 的两个互相垂直的平面 （3）已知异面直线a,b 所成的角为700
,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b 都成600
角的直线有(D )条.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
（4）异面直线a,b 所成的角为θ,空间中有一定点O,过点O 有3条直线与a,b 所成角都是600
,则θ的取值可能是 ( C ). A. 300
B. 500
C. 600
D. 900
例3：如图：已知直线c b a ,,，平面α，α//c ，αα⊂⊂b a ,且b a //，
a 与c 是异面直线，求证：
b 与
c 是异面直线。

证：反证 假设b 与c 不是异面直线，（1）若c a b a c b //,//,//∴ ，与题设矛盾（2）若b 和c 相交，c b ∴⊂,α 与α相交，与题设矛盾。

所以a 与b 是异面直线。

例4：棱长为2的正方体AC 1中：（1）和棱AA 1异面棱是哪些？和AA 1异面的面对角线有哪些？（2）求BD 和B 1C 所成的角（3）求BD 1和B 1C 所成的角（4）BD 1与C C 1之间的距离。

解：（1）BC 、DC 、B 1C 1、D 1C 1；B 1D 1、BD 、BC 1、B 1C 、CD 1、C 1D
（2）60°（3）90°（4）1
例5：空间四边形ABCD ，AB=BC=CD=DA=a 对角线AC=BD=b ，E 、F 、G 、H 分别为四边中点
求：⑴四边形FEGH 的面积；⑵BD 与AC 的距离 解：（1）取BD 中点连AO 、CO ，则BD ⊥面AOC ∴BD ⊥AC ，故四边形FEGH
为矩形．所以面积为b 2
/4．
A 1
D 1 C 1 B 1
B
A
C
D
A
B
C
F
H
E G
M O D c
（２）取ＡＣ中点为Ｍ，则ＯＭ为BD 与AC 的公垂线段，且长为
22
2
b a -
． [思维点拔]垂直主要通过线线垂直、线面垂直；异面直线的距离关键是公垂线段
例6：在二面角βα--l 中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 是矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA=AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点．
（１）证明：ＭＮ是异面直线ＡＢ和ＰＣ的公垂线； （２）求异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角．
（１）证明：设Ｅ为ＣＤ的中点，连结ＰＤ、ＮＥ、ＥＭ ∵ＰＡ⊥α，ＡＤ⊥l ∴ＰＤ⊥l 又∵Ｍ、Ｅ分别是ＰＣ、ＤＣ的中点 ∴ＮＥ∥ＰＤ，而ＰＤ⊥l ，∴l ⊥面PAD ∴NE ⊥l ，又M 为AB 中点 ∴
ME ⊥l ，故l ⊥面MNE ，∴l ⊥MN ，又l ∥AB ∴AB ⊥MN ∵ＰＡ⊥α ∴PM 2=PA 2+AM 2
又知
MC 2=BC 2+MB 2
∵PA=AD ，ABCD 是矩形，M 为AB 中点 ∴PM=MC ，在等腰⊿PMC 中，N 为PC 的中点 ∴MN ⊥PC ，故MN 是异面直线ＡＢ和PC 的公垂线．
（２）解：设ＰＤ中点为Ｆ，∵ＦＮ∥ＤＣ，ＦＮ＝1
2
ＤＣ，而Ｅ为ＤＣ的中点，∴ＤＥ∥
ＦＮ∥ＡＭ，且ＤＥ＝ＦＮ＝ＡＭ 故ＦＡＭＮ为平行四边行，则ＡＦ∥ＭＮ
∴∠ＰＡＦ为异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角。

而ＰＡ⊥α，PA=AD ，∴⊿ＰＡＤ为等腰直角三角形，Ｆ为ＰＤ中点，∴∠ＰＡＦ＝45°。

即异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角为45°． [思维点拔]异面直线所成的角主要方法是平移
备用：如图矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 为CD 的中点． 将矩形沿AE 折成二面角D 1—AE —B ，使BD 1=CD 1． （Ⅰ）求证：平面AD 1E ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求异面直线AE 与CD 1所成的角的余弦值． 解:（Ⅰ）证明：取AE 中点F ，BC 中点G ，连结D 1F ，FG ，D 1G.
由题意知，AD 1=D 1E ，BD 1=CD 1，∴D 1F ⊥AE ，D 1G ⊥BC. FG ⊥BC,∴BC ⊥平面D 1FG , ∴BC ⊥D 1F ， 又D 1F ⊥AE ，
AE 与BC 相交，∴D 1F ⊥平面ABC ，∴平面AD 1E ⊥平面ABC. （Ⅱ）解：取AB 中点H ，连结CH ，则CH//AE ，
∴ ∠D 1CH 即为AE 与CD 1所成的角，. 连结D 1H ，CF ，HF. ∵D 1F ⊥平面ABC, D 1F ⊥CF, D 1F ⊥FH. 设AB=a 2，∴△CEF 中， .2
52222221135cos 2,,22222222a a a a a CE EF CE EF CF a CE a EF =⋅⋅⋅++=︒⋅-+=∴==
在Rt △D 1CF 中，.3,32
521,221222212211a CD a a a F D CF CD a F D =∴=+=+=∴=
在Rt △D 1FH 中，.2
1
21,2222221221a a a F D FH H D a HF =+=+=∴=
在△D 1CH 中，,36232232cos ,22
221212211
=⋅⋅-+=⋅-+=∠∴==a
a a a a CH CD H D CH CD CH D a AE CH
A B
C
D
E M
N P
α
β F
∴所求角的余弦值为
3
6. （注：也可先证CH ⊥D 1H ）
【课堂小结】求异面直线所成的角的几种方法 求异面直线的距离的方法。