八年级数学下册第二十二章四边形22.4矩形第1课时矩形的性质课后练习新版冀教版

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1．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6cm，则AB 的长是(A )
A．3cm
B．6cm C．10cm D．12cm
解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3，
∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝3，故选A.
2．如图是一张矩形纸片ABCD ，AD ＝10cm，将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE ＝6cm，则CD ＝(
A )A．4cm
B．6cm C．8cm D．10cm
解析：由折叠知DC ＝DF ，四边形CDFE 为正方形，
∴CD ＝CE ＝BC －BE ＝10－6＝4(cm)．故选A.
3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝8cm.把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm，则AD 的长为(C )A．4cm
B．5cm C．6cm D．7cm
解析：∵△ABC ≌△AEC ，∴∠EAC ＝∠BAC .
又∵四边形ABCD 为矩形，∴DC ＝AB ＝8cm，DC ∥AB ，
∴∠FCA ＝∠BAC .
∴∠FAC ＝∠FCA ，∴AF ＝FC ＝254
cm，∴DF ＝DC －FC ＝8－254＝74
(cm)．又∵∠D ＝90°，
∴AD ＝AF 2－DF 2＝36＝6(cm)．故选C.
4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝1，则BC 的长为 3.
解析：根据“矩形对角线相等且互相平分”可知△AOB 是等腰三角形．由∠AOD ＝120°，可知∠AOB ＝60°，从而得到△AOB 是等边三角形，再根据AB ＝1可得到AO ＝1，AC ＝2.在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AC 2－AB 2＝22－12＝ 3.
5．如果矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠BOC ＝120°，AB ＝3cm，那么矩形ABCD 的面积为93cm 2.
解析：∵四边形ABCD 为矩形，
∴OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝90°.
又∵∠BOC ＝120°，∴∠ACB ＝30°.
∴AC ＝2AB ＝6cm，
∴BC ＝62－32
＝33(cm)，
∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝3×33＝93(cm 2)．
6．如图，在矩形ABCD 中，AB 的长为8cm，对角线BD 比AD 长4cm.求AD 的长及点A
到BD 的距离AE 的长．
解：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90°.设AD ＝x cm，
则BD ＝(x ＋4)cm.在Rt△ABD 中，
由勾股定理，得82＋x 2＝(x ＋4)2
，
解得x ＝6，则AD ＝6cm.
在Rt△ABD 中，AB ＝8cm，AD ＝6cm，
∴BD ＝10cm.
∵S △ABD ＝12AB ·AD ＝12
BD ·AE ，∴10AE ＝8×6，∴AE ＝4.8cm.
7．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm，BC ＝4cm.现将A ，C 重合，使纸片折叠压平．设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．解：
如图，连接AC ，交EF 于点O .
由折叠知，OA ＝OC ，
∴点O 为矩形的对称中心，E ，F 关于点O 对称，B ，D 也关于点O 对称．
∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，
由EC 折叠后与EA 重合，知EC ＝EA .
设AF ＝x cm，则
BE ＝FD ＝AD －AF ＝(4－x )cm，AE ＝AF ＝x cm.
在Rt△ABE 中，由勾股定理，得AB 2＋BE 2＝AE 2
，
即32＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝258
.∴S △AEF ＝12×3×258＝7516
(cm 2)．故AF 的长为258cm，△AEF 的面积为7516
cm 2.
8．如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E .若∠CAE ＝15°，求∠BOE 的度数．
解：在矩形ABCD 中，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE ＝12
∠BAD ＝45°.又∵∠CAE ＝15°，
∴∠BAO ＝∠BAE ＋∠CAE ＝60°.
易得△AOB 为等边三角形，
∴OB ＝AB ，∠ABO ＝60°，
∴∠OBE ＝∠ABC －∠ABO ＝90°－60°＝30°.
∵∠BAE ＝45°，∴∠BEA ＝45°，∴AB ＝BE ，
∴OB ＝BE ，
∴∠BOE ＝180°－∠OBE 2＝180°－30°2
＝75°.。