高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示高效测评 新人教A版选修21

2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间
向量的正交分解及其坐标表示高效测评 新人教A 版选修2-1
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．以下四个命题中正确的是( )
A ．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示
B ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量
C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →
＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
解析： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.
答案： B
2．在空间中平移△ABC 到△A 1B 1C 1，连接对应顶点，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →
＝c ，E 是BC 1
的中点，则AE →
＝( )
A.12a －23b ＋1
2c B ．－23a ＋12b ＋12c
C.12a ＋12b ＋12c
D.23a ＋23b －12
c 解析： 如图所示，
AE →
＝AB →＋BE →
＝AB →＋12(BB 1→＋BC →)
＝AB →＋12(BB 1→＋AC →－AB →)
＝12AB →＋12BB 1→＋12
AC →
＝12a ＋12b ＋12c . 答案： C
3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →
，MB →，MC →
成为空间一组基底的关系是( )
A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →
B.MA →＝MB →＋MC →
C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →
D.MA →＝2MB →－MC →
解析： 对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．
答案： C
4．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →
＋yOB →＋zOC →
，则(x ，y ，z )为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，23 解析： 因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23⎣⎢
⎡⎦⎥⎤12AB →＋AC →＝34OA →＋14(OB →－OA →)＋(OC →
－OA →)＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14
，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO →＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→
，则x ＋y ＋z ＝________.
解析： AO →＝12AC 1→＝12(AB →＋BC →＋CC 1→
)．
故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝3
2.
答案： 3
2
6．在长方体OADB －CA ′D ′B ′中，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝2，点E ，F 分别是DB ，D ′B ′的中点，建立如图所示空间直角坐标系，则OE →＝________，OF →
＝________.
解析： D (3,4,0)，B (0,4,0)，
E 为BD 中点，∴E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2
，4，0，
∴OE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，4，0，B ′(0,4,2)，D ′(3,4,2)，
F 为B ′D ′中点，∴F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2
，4，2，
∴OF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，4，2.
答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，4，2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，设四面体OABC 的三条棱OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，G 为△ABC 的重心，以{a ，b ，
c }为空间基底表示向量BE →，OG →
.
解析： 由G 为△ABC 的重心易知E 为AC 的中点， ∴BE →＝12(BA →＋BC →)＝12[(OA →－OB →)＋(OC →－OB →
)]
＝12[(a －b )＋(c －b )]＝1
2(a ＋c －2b )， OG →
＝OB →＋BG →
＝b ＋23BE →＝b ＋13
(a ＋c －2b )
＝1
3
(a ＋b ＋c )． 8．如图所示，在直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，且AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5.(1)
写出向量AC 1→关于i ，j ，k 的分解式，写出C 1点的坐标和向量AC 1→
的坐标；
(2)写出向量CA 1→
的坐标．
解析： (1)如题图所示：AC 1→＝3i ＋4j ＋5k ，所以C 1点的坐标为(3,4,5)，向量AC 1→
的坐标为(3,4,5)；
(2)因为CA 1→＝AA 1→－AC →，又AC →＝3i ＋4j ，AA 1→
＝5k ， 所以CA 1→＝AA 1→－AC →
＝5k －(3i ＋4j )＝－3i －4j ＋5k ， ∴CA 1→
＝(－3，－4,5)．
9．(10分)已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，
a ＋
b ＋
c }下的坐标．
解析： 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋
z )b ＋z c .
由向量分解的唯一性，
有⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝4，
z ＝－1.
∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).。