青岛版2020九年级数学上册期中综合复习能力达标练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册期中综合复习能力达标练习题2（附答案详解）
1．2x =满足下列方程的是( ) A ．22x =
B ．24x =
C ．28x =
D ．216x =
2．已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC+AC=3+，则BC 等于（ ）
A ．
B ．3
C ．2
D ．
+1
3．下列四个说法：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心一定在三角形内；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点.其中正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙0在线段AB 上方，且圆心O 在线段AB 的中垂线上，到AB 的距离为
39
5
，已知AB ＝20.线段PQ 在AB 上(AP ＜AQ)，PQ ＝6，以PQ 的中点C 为顶点向上作Rt △CDE ，其中∠D ＝90°，CD ＝3，sin ∠DCE ＝sin ∠DCQ ＝4
5
，设AP ＝m ，当边DE 与⊙O 有交点时，则m 的取值范围是( )
A ．
6162155
m ≤≤ B ．
10677
155
m ≤≤ C ．
2262
55
m ≤≤ D ．
3777
55
m ≤≤ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AB 为直径作半圆．点D 在弧AC 上（不与A ，C 重合），点E 在AB 上，且点D ．E 关于AC 对称. 给出下列结论：①若∠ACE=20°，则∠BAC=25°；②若BC=3，AC=4，则7
5
AD =
；给出下列判断，正确的是（ ）
6．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则BC 的长是( )
A ．π
B ．1
3
π
C ．12
π
D ．16
π
7．若关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的一个根是1x =-，则2015a b -+的值是（ ） A ．2011
B ．2015
C ．2019
D ．2020
8．如果直线l 与⊙O 有公共点，那么直线l 与⊙O 的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相切或相交
9．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( ) A ．0r 5<<
B ．3r 5<<
C ．4r 5<<
D ．3r 4<<
10．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为
，扶梯长
为米，则扶梯高
的长为
（ ）
A ．米
B ． 米
C ． 米
D ．米
11．3
cos(10)2
x ︒-=
(x 为锐角),x=________度 12．一个扇形的圆心角为150°，弧长20cm π，则此扇形的半径是________cm . 13．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠CDA =90°，AB =1，CD =2，过A ，B ，D 三点的⊙O 分别交BC ，CD 于点E ，M ，下列结论：
①DM =CM ；②弧AB =弧EM ；③⊙O 的直径为2；④AE =AD ． 其中正确的结论有______（填序号）．
14．在实数范围内因式分解：2223x xy y --=_____.
15．将一元二次方程23(2)(1)(1)x x x +=+-化为20(a 0)++=≠ax bx c 的形式为__． 16．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5(m 即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是______.m
17．一个扇形的面积是26cm π，圆心角是60，则此扇形的半径是__________ cm 18．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心坐标为（5，a ）半径为5，函数y ＝2x ﹣2的图象被⊙A 截得的弦长为2，则a 的值为_____．
19．已知
345x y z ==，则x y z
x
++=_______________. 20．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，且sin ∠ACE ＝，点D 为弧
BE 中点，连结DE ，则
的值为_____．
21．如图，甲、乙两只捕捞船同时在上午8:30从A 港出海捕鱼．甲船以152/km h 的速度沿西偏北30方向前进，乙船以15/km h 的速度沿东北方向前进．甲船在10:30航行到达C 处，此时甲船发现部分渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75的方向追赶，结果两船在B 处相遇．(其他因素不作考虑)
()1问乙船在什么时候被甲船追上； ()2求甲船追赶乙船的速度．
22．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）
23．如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ； （2）若HB =2，cos D =
3
5
，请求出AC 的长．
24．如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A ，B 两地间的公路进行改建．如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需途径C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶．已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°，开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米(结果精确到1千米)？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)
25．解下列方程:
（1）2
(25)2(25)x x -=- （2）23720x x ++=
26．解方程：256x x -=.
27．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB=CD．
（1）求证：△AEC≌△DEB；
（2）点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
28．如图①，有两个△ABC和△A′B′C′，其中∠C＋∠C′＝180°，且两个三角形不相似．能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个三角形与
△A′B′C′所分割成的两个三角形分别相似？如果能，画出分割线，并标明相等的角；如果不能，请说明理由．
小明经过思考后，尝试从特殊情况入手，画出了当∠C＝∠C′＝90°时的分割线：
（1）小明在完成画图后给出了如下证明思路，请补全他的证明思路．
由画图可得△BCD∽△．
由∠A＋∠B＝90°，∠A′C′D′＋∠B′C′D′＝90°，∠A′C′D′＝∠B，得．
同理可得：∠B ′＝∠ACD ． 由此得：△ACD ∽△ ．
（2）当∠C ＞∠C ′时，请在图①的两个三角形中分别画出满足题意的分割线，并标明相等的角．（不写画法）
29．如图，在ABC ∆中，AC BC =，090ACB ∠=，D 为AC 上一点（与点,A C 不重合），连接BD ，过点A 作AE BD ⊥的延长线于E .
（1）①在图中作出ABC ∆的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置； ②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；
（2）①延长线段BD 至点F ，使EF AE =，连接CF ，根据题意补全图形； ②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明.
30．已知x 1，x 2是方程2x 2﹣5x +1＝0的两个实数根，求下列各式的值： （1）x 1x 22+x 12x 2 （2）（x 1﹣x 2）2
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
x=代入计算即可判断.
将2
【详解】
x=
2
∴2224
x==
故选B.
【点睛】
x=代入计算是解题的突破口.
本题考查整式的计算，将2
2．B
【解析】
【分析】
设AC=x，则根据60°角的正切值可知BC=，而BC+AC=3+，所以列方程可求出x，从而求出BC．
【详解】
∵△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC+AC=3+，
设AC=x,则BC=tan60°⋅AC=.
∴x+x=3+
即x=
∴BC=3.
故选B.
【点睛】
本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
利用确定圆的条件、三角形的外心的定义、等腰三角形的性质及外接圆的定义分别判断后即
可确定正确的选项．
【详解】
解：①经过任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
②三角形的外心可能在三角形的外部或斜边上，故错误；
③等腰三角形的外心肯定在底边上的中线所在直线上，故错误；
④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点，故正确．
故选A．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、三角形的外心、等腰三角形的性质及外接圆的定义，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
4．A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当DE与圆O左侧相切时；当DE在圆O右侧，E在圆上时.
【详解】
如图，当DE与圆O左侧相切时，过点O作OH⊥DE于H，过点H作HG⊥AB于G，过点O作OM⊥HG于M，延长ED交AB于N.
在Rt△DCN中，cos∠2
1-sin DCN
∠=3
5
，CN=
cos
CD
DCN
∠
=5.
易证∠OHM=∠HNG，cos∠HNG=sin∠DCN=4 5 .
在Rt三角形OMH中，MH=OM∙cos∠OHM=OM∙cos∠HNG=4,
∴HG=MG-MH=39
5
-4=
19
5
.
在Rt△HNG中，同理可求得GN=19
5
×
4
3
=
76
15
.
∴CG=GN-CN=
1
15
，从而AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG=
84
15
，
∴AP=AC-PG=106
15
-3=
61
15
.
如图，当DE在圆O右侧，E在圆上时，过点E作EG⊥AB于G，过点O作OH⊥AB于H，过点E作EM⊥OH于M，延长ED交AB于N.
在Rt△CDE中，易求得DE=4，CE=5.
∴EN=2DE=8，CN=CE=5.
在Rt△EGN中，易求得GN=32
5
，EG=
24
5
.
∴CG=GN-CN=7
5
，MH=EG=
24
5
.
∴OM=OH-MH=3，从而HG=ME=4，CH=HG+CG=27 5
.
∴AP=AC-PC=AH+HG+CG-PC=62 5
.
所以m的取值范围为6162
m
155
≤≤.
故选A.
【点睛】
本题考查了切线的性质定理，解直角三角形，作合适的辅助线是解题的关键. 5．D
【解析】
【分析】
①根据圆内接四边形对角线互补的性质求出∠B，即可求出∠BAC=35°；
②作辅助线，然后利用相似的性质求解即可.
【详解】
解：∵点D.E关于AC对称
∴∠AEC=∠ADC
根据∠ADC+∠B=180°，∠ACE=20°
∴∠BEC=180°-∠AEC=∠B，∠BCE=70°∴∠B=55°
∴∠BAC=35°,故①错误；
②∵BC=3，AC=4
∴AB=5
作CF⊥AD
则∆ABC~∆DCF
∴
3
5 CF BC AC AB
==
∴
1216
,
55 CE AE
==
∵∠CDF=∠B
∴
3
4 DF
CF
=
∴
9
5 DF=
∴
7
5 AD AF DF
=-=
故②正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了圆的性质与相似三角形的性质，综合性较强，学会综合运用知识点是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．【详解】
解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴BC的长＝601
1803
ππ
⋅⋅
=，
故选B．
【点睛】
考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
7．C
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，求出a-b，利用作图代入的思想即可解决问题．
【详解】
∵关于x的一元二次方程240
ax bx
++=的解是x=−1，
∴a−b+4=0，
∴a−b=-4，
∴2015−(a−b)=2215−（-4）=2019.
故选C.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
8．D
【解析】
【分析】
直线和圆的位置关系有三种，即直线和圆没有公共点，则直线和圆相离；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆有两个公共点则直线和圆相交．
【详解】
直线l与⊙O有公共点，则可能是唯一一个公共点，也可能是两个公共点，则直线和圆相交或相切.
故答案选D.
【点睛】
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握直线与圆的位置关系. 9．D
【解析】
【分析】
先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．
【详解】
解：∵点M的坐标是（4，3），
∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，
∴r的取值范围是3＜r＜4，
故选：D．
【点睛】
本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
10．A
【解析】
【详解】
解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB•sinα=9sin31°（米）．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．
11．40
【解析】
【分析】
根据特殊三角函数值，即可得到答案.
【详解】
解：∵cos302︒=
， ∴cos(10)cos30x ︒-=︒，
∴1030x -=，
∴40x =；
故答案为：40.
【点睛】
本题考查了锐角三角形函数的计算，解题的关键是熟记特殊三角函数值.
12．24
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【详解】
解：设扇形的半径是R ，则
15020180
R ππ= 解得：R=24．
故答案为24．
【点睛】
题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．
13．①②④
【解析】
【分析】
连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90º，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.
【详解】
解：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴=
AB EM，故②正确；
∵=
AB EM，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90º，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90º，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论、圆心角、弦及弧之间的关系、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握有关性质及定理是解本题的关键.
14．2（3+17
）（
317
y）．
【解析】
【分析】
首先解关于x 的方程，进而分解因式得出即可．
【详解】
当2x 2-3xy-y 2=0时，
解得：x 1=4y ，x 2=34
-y ，
则2x 2-3xy-y 2=2（）（）．
故答案为：2（）（）． 【点睛】 此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键．
15．2212130x x ++=
【解析】
【分析】
通过去括号，移项，合并同类项转化为为一元二次方程的一般形式即可．
【详解】
解：()()()2
3211x x x +=+-
去括号得： 22312121x x x ++=-
移项合并得： 2212130x x ++=．
故答案是：2212130x x ++=
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20(a 0)++=≠ax bx c ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
1632
+． 【解析】
【分析】
过A 作AD ⊥CE 于D ，根据题意得出AD= BE=5m ，然后在Rt △ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．
【详解】
解：过A 作AD ⊥CE 于D ，
AB ⊥BE ，DE ⊥BD ，AD ⊥CE ，
∴四边形ABED 是矩形，
∵BE=5m ，AB=1.5m ，
∴AD= BE=5m ，DE=AB=1.5m ，
在Rt △ACD 中，
∵∠CAD=30°，AD=5m
∴CD=AD ×tan30°= 5，
∴CE=CD+DE=3+1.5=(332
+)m ．
答：这棵树高是(
332+)m ．
32
． 【点睛】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，作出辅助线，熟知锐角三角函数的定义是解题关键．
17．6
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式S ＝n πR 2÷360计算即可.
【详解】
解：设扇形的半径为R ，
∵一个扇形的面积是26cm π，圆心角为60°，
∴6π=260360R π， ∴这个扇形的半径R=636060⨯ππ
=6（cm ）， 故本题答案为：6.
【点睛】
根据扇形的面积求扇形的半径是本题的考点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键. 18．45﹣2
【解析】
【分析】
作AH ⊥x 轴于H ，交CB 于D ，作AE ⊥CB 于E ，连结AC ，由题意得出5,
OH AH a ==，把5x =代入y=2x-2得252y =-，
得出D 点坐标为(5,252)-，得出HD=252-，由垂径定理得出CE=BE=112
BC =，由勾股定理得出222AE AC CE =-=，求出直线y=2x-2与坐标轴的交点坐标，得出OG=2，OF=1，由平行线的性质得出
∠ADE=∠HDF=∠OGF ，求出DE=2AE=4，由勾股定理得出2225AD AE DE =
+=，
即可得出结果．
【详解】
解：作AH ⊥x 轴于H ，交CB 于D ，作AE ⊥CB 于E ，连结AC ，如图，
∵⊙A 5a ），
∴OH AH＝a，
把x y＝2x﹣2得y＝2，
∴D2），
∴HD＝2，
∵AE⊥CB，
∴CE＝BE=1
1 2
BC=，
在Rt△ACE中，AC
∴2
AE===，∵y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，∴G（0，﹣2），F（1，0），
∴OG＝2，OF＝1，
∵AH∥y轴，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，
∴tan∠ADE＝AE
DE
＝tan∠OGF＝
OF
OG
＝
1
2
，
∴DE＝2AE＝4，
∴AD
∴a＝AH＝AD+HD＝2＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、一次函数的应用、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识．本题综合性强，有一定难度．
19．4
【解析】
【分析】
根据等式的性质，可用k 表示x 、y 、z ，根据分式的性质，可得答案．
【详解】
解：由345
x y z ＝＝，得
x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k ． 3453x y z k k k x k
＋＋＋＋＝＝4, 故答案为：4．
【点睛】 本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k 是解题关键． 20．
【解析】
【分析】
连接OD ，BD ，AD ，AE ，BE ，得到∠ACE ＝∠ABE ，求得sin ∠ABE ＝＝
，设AE ＝x ，AB ＝5x ，根据勾股定理得到BE ＝＝2x ，根据垂径定理得到
OD ⊥BE ，OD 平分BE ，设OD ，BE 相交于H ，得到BH ＝EH ＝
x ，根据勾股定理得到OH ＝
＝x ，求得DH ＝x ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接OD ，BD ，AD ，AE ，BE ，
∴∠ACE ＝∠ABE ，
∵sin ∠ACE ＝，
∴sin ∠ABE ＝＝，
∴设AE ＝
x ，AB ＝5x ， ∴BE ＝＝2x ，
∵点D为弧BE中点，
∴OD⊥BE，OD平分BE，
设OD，BE相交于H，
∴BH＝EH＝x，
∴OH＝＝x2，
∴DH＝x2，
∵∠BAD＝∠DBH，∠ADB＝∠BHD＝90°，
∴△BDH∽△ABD，
∴，
∴＝＝，
∴BD2＝x，
∴AD2＝x，
∵点D为弧BE中点，
∴BD＝DE，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键.
21．(1)乙船在12:30被甲船追上；(2)甲船追赶乙船的速度是每小时（3千米. 【解析】
【分析】
（1）根据方向角可以得到∠BCA=45°，∠B=30度，过A作AD⊥BC于点D，在直角△ACD 中，根据三角函数就可求得AD的长，再在直角△ABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间；
（2）求出BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度．
【详解】
（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．作CG∥AE交AD于点G．
∵乙船沿东北方向前进，∴∠HAB=45°．
∵∠EAC=30°，∴∠CAH=90°﹣30°=60°，∴∠CAB=60°+45°=105°．
∵CG∥EA，∴∠GCA=∠EAC=30°．
∵∠FCD=75°，∴∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°，∴∠B=180°﹣∠BCA﹣∠CAB=30°．
在直角△ACD中，∠ACD=45°，AC=2×152=302．
AD=AC•sin45°=30
2
2
2
⨯=30．
CD=AC•cos45°=30．
在直角△ABD中，∠B=30°，则AB=2AD=60．
则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15﹣2=2（小时）．
答：乙船在1230
：被甲船追上．
（2）BC=CD+BD=30+303．
则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+303）÷（4-2）=15+153（千米/时）．
答：甲船追赶乙船的速度是每小时（15+153）千米．
【点睛】
一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算，正确作辅助线是解决本题的关键．
22．作图见解析.
【解析】
【分析】
根据垂径定理找到直径所在的直线,再由直线的交点即可确定圆心.
【详解】
在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用,属于简单题,熟悉中垂线的作图是解题关键.
23．（1）证明见解析；（2）5【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，根据垂直的定义得到90DEP ∠=︒，得到COB D ∠=∠，然后根据圆周角定理证明即可；
（2）设O 的半径为r ，根据余弦的定义、勾股定理计算即可． 【详解】
（1）连接OC ．
∵射线DC 切O 于点C ，90OCP ∴∠=︒．
DE AP ⊥，90DEP ∴∠=︒，90P D ∴∠+∠=︒，90P COB ∠+∠=︒，
COB D ∴∠=∠，由圆周角定理得：2COB A ∠=∠，2D A ∴∠=∠； （2）由（1）可知：90OCP ∠=︒，COP D ∠=∠，3cos cos 5COP D ∴∠=∠=，CH OP ⊥，90CHO ∴∠=︒，设O 的半径为r ，则2OH r =-，在Rt CHO ∆中，23cos 5
OH r HOC OC r -∠===，5r ∴=，523OH ∴=-=，∴由勾股定理可知：4CH =，1028AH AB HB ∴=-=-=．
在Rt AHC ∆中，90CHA =︒∠，由勾股定理可知：2245AC AH CH =+=
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
24．汽车从A 地到B 地比原来少走为27千米．
【解析】
【分析】
过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD 的长度和AC 的长度，在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD 的长度，再求出AD 的长度，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程．
【详解】
过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，
∵AB ⊥CD ，sin30°＝
CD BC
，BC ＝80千米， ∴CD ＝BC•sin30°＝80×12
＝40(千米)， AC=40245CD sin =︒
（千米）， ∵cos30°=BD BC ，BC=80（千米）， ∴33（千米）， ∵tan45°=CD AD
，CD=40（千米）， ∴AD=40（千米），
∴
≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2≈27（千米）． 答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为27千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
25．（1）
52或72
；（2）123或--. 【解析】
【分析】
（1）首先把等式右边的整体移项到等式左边，再提取公因式（2x-5）进行求解.
（2）运用十字相乘法，因式分解后进行解题.
【详解】
（1）2(25)2(25)x x -=- ()()()()()()2252250
25252025270
x x x x x x ---=---=--= 解得：52x =或72
（2）23720x x ++=
()()3120x x ++= 解得：13
x =-或2-
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，易错点在（1）中，千万不能两边同时约去（2x-5），不然会漏解，正确的做法是移项后提公因式因式分解.
26．11x =-，26x =.
【解析】
【分析】
利用根的判别式进行计算即可
【详解】
解：2560x x --=
1a =，5b =-，6c =-
()()2
245416490b ac -=--⨯⨯-=>，
所以，方程有两个不相等的实数根，
572
x ±==， 11x =-，26x =.
【点睛】
此题考查根的判别式解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则
27．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）要证△AEC ≌△DEB ，由于AB=CD ，根据等弦所对的弧相等得AB =CD ，根据等量减等量还是等量，得BD =CA ，由等弧对等弦得BD=CA ，由圆周角定理得，∠ACE=∠DBE ，∠AEC=∠DEB ，即可根据AAS 判定；
（2）由△AEC ≌△DEB 得，BE=CE ，得到点E 在直线BC 的中垂线上，连接BO ，CO ，BO 和CO 是半径，则BO 和CO 相等，即点O 在线段BC 的中垂线上，亦即直线EO 是线段BC 的中垂线，所以点B 与点C 关于直线OE 对称．
【详解】
（1）证明：∵AB =CD ，
∴AB =CD ．
∴AB -AD =CD -AD ．
∴BD =CA ．
∴BD =CA ．
在△AEC与△DEB中，
ACE DBE
AEC DEB
BD CA
∠=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEC≌△DEB（AAS）．
（2）点B与点C关于直线OE对称．
理由如下：如图，连接OB、OC、BC．
由（1）得BE=CE．
∴点E在线段BC的中垂线上，
∵BO=CO，
∴点O在线段BC的中垂线上，
∴直线EO是线段BC的中垂线，
∴点B与点C关于直线OE对称．
【点睛】
本题利用了圆周角定理、等弦所对的弧相等，等弧对等弦、全等三角形的判定和性质求解．28．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
由图可得△BCD∽△C′A′D′，再根据∠A＋∠B＝90°，∠A′C′D′＋∠B′C′D′＝90°，∠A′C′D′＝∠B，证得∠A=∠B′C′D′和∠B′＝∠ACD，从而得到△ACD∽△C′B′D′;
根据题意作出图形即可.
【详解】
（1）由画图可得△BCD∽△C′A′D′ ．
由∠A＋∠B＝90°，∠A′C′D′＋∠B′C′D′＝90°，∠A′C′D′＝∠B，得∠A＝
∠B′C′D′ ．同理可得∠B′＝∠ACD．
由此得△ACD∽△C′B′D′ ．
（2）
【点睛】
本题考查的知识点是作图-形似变换，解题关键是读懂题意进行解答.
29．（1）①圆心O的位置在线段AB的中点；②详见解析；（2）①详见解析；②2
=.
AB CF 【解析】
【分析】
（1）①以AB为直径作圆得到△ABC的外接圆⊙O，即△ABC的外接圆⊙O的圆心为AB的中点；
②根据直角三角形斜边上的中线性质得到OE=OA=OB，从而可判断点E在⊙O上；
（2）①根据几何语言画出对应的几何图形；
②利用圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，再证明∠CEA=∠CEF，从而可判断
△CEA≌△CEF，所以CF=CA，然后利用2AC得到2CF．
【详解】
（Ⅰ）①圆心O的位置在线段AB的中点
⊥
②∵AE BD
∆为直角三角形
∴AEB
∵点O为线段AB的中点，
===
∴OE OA OB r
∴点E在⊙O上.
（Ⅱ）①补全图形
②2AB CF =
证明如下：
∵0,90AC BC ACB =∠=
∴045BAC CBA ∠=∠=
∵BC BC =
∴045BEC BAC ∠=∠=
∵AE BD ⊥
∴090BEA ∠=
∴0009045135CEA ∠=+=
∵00180135CEF CEB ∠=-∠=
∴CEA CEF ∠=∠
∵AE EF =，CEA CEF ∠=∠，CE CE =，
∴CEA ∆≌CEF ∆
∴CF CA =
∵在等腰Rt ACB ∆中，2AB AC =
∴2AB CF =
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
30．（1）5
4
；（2）
17
4
．
【解析】【分析】
先利用根与系数的关系得到x1+x2=5
2
，x1x2=
1
2
，（1）利用因式分解解得方法得到原式
=x1x2(x1+x2)，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式变形得到原式=(x1+x2)2-4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】
解：x1+x2＝5
2
，x1x2＝
1
2
，
（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝1
2
×
5
2
＝
5
4
；
（2）原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（5
2
）2﹣4×
1
2
＝
17
4
．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=
b
a
，x1x2=
c
a
．。