河北省武邑中学2018届高三上学期周考8.28理数试题 含解析

武邑中学2018—2018学年高三数学周日测试（3）
集合、函数、三角 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.【题文】设集合{}{}
2|0,,|1,M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N =（ ）
A ．[]0,1
B ．[)0,1
C ．(]0,1
D ．()0,1 【答案】B 【解析】 试题分析：
{}{}|11,|01,N x x x R M N x x x R =-<<∈∴=≤<∈.
考点：集合的交集运算. 【结束】
2. 【题文】要得到函数cos 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移
6
π
个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位
C ．向左平移6
π
个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位
【答案】A 【解析】
试题分析：因为cos 2sin 2sin 23236y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=--=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，所以只需将函数sin 2y x =的图象向右平移
6
π
个长度单位. 考点：三角函数图像平移. 【结束】
3. 【题文】若0
sin 2cos t xdx π
=-⎰
，其中()0,t π∈，则t =（ ）
A ．
3π B ．2
π
C ．23π
D ．π
【答案】B
【解析】
试题分析：因为00
sin 2cos sin |0t xdx x π
π=-=-=⎰
，且()0,t π∈，所以2
t π=
，故选B.
考点：定积分. 【结束】
4. 【题文】下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．()1f x x =-+ C ．()2ln 2x f x x -=+ D ．()()12
x x
f x a a -=+ 【答案】C 【解析】
试题分析：结合正弦函数图象，知
()sin f x x
=在区间
[]1,1-上单调递增的，A
不正确；而
()1
f x x =-+不是奇函数，B 不正确；又
()()12x
x f x a a -=
+是偶函数，所以D 不正确，
故选C.
考点：1.函数奇偶性；2.性质及函数单调性. 【结束】
5. 【题文】函数()2
1x f x e
-=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 试题分析：∵
()2
1x
f x e -=，∴
()()
()
2
2
11x x f x e
e f x ----===，∴函数
()
f x 为偶函数，由
指数函数的性质可知()0
f x >恒成立，结合选项可知C 正确，故选C.
考点： 【结束】
6. 【题文】若定义在闭区间[]a,b 上的连续函数()y f x =有唯一的极值点0x x =，且()0f x 为极小值，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 有最小值()0f x
B ．函数()f x 有最小值，但不一定是()0f x
C ．函数()f x 有最大值也可能是()0f x
D ．函数()0f x 不一定有最小值 【答案】A 【解析】
试题分析： ∵连续函数()y f x =在[]a b ，上有唯一的极值点0x x =，且()0y f x =极小值，∴函数y=f （x ）在[)0a x ，递减，在(]0x b ，递增，∴()0y y f x ==最小值极小值，故选：C ． 考点：利用导数研究函数的极值． 【结束】
7. 【题文】已知函数()f x
满足22
log f x x
⎛
⎫= ⎪
⎪+⎝⎭
()f x 的解析式是（ ） A ．()2log f x x = B ．()2log f x x =- C ．()2x
f x -= D ．()2
f x x -= 【答案】B 【解析】
试题分析：由2log x x ⋅可知0x x ⋅＞，所以0x ＞，
所以22log f x x ⎛⎫
= ⎪ ⎪+⎝⎭可以化简为
2221log log ()f x x x ＝＝，令1t x ＝，则()0t ∈+∞，，所以有()221
log log f t t t -＝＝，所以
()
f x 的解析式是
()()
2log 0f x x x =-∈+∞，，，故答案为
()()
2log 0f x x x =-∈+∞，，．
考点： 【结束】
8. 【题文】若函数()cos 26f x x xf π⎛⎫
'=+
⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭与3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小关系是（ ） A ．33f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．33f f ππ⎛⎫⎛⎫
-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．33f f ππ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．不确定 【答案】C 【解析】
试题分析：函数
()c o s 26f x x x f π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以函数()s i n 2()
6πf x x f '=-+'，所以
()()661sin 226
πππf f '=-+'=
，
()cos f x x x
=+，则
co (s )333
πππ
f -=-
；
cos ()333πππf =+，所以() ()
33ππ
f f -<．故选C ．
考点：正弦函数的单调性． 【结束】
9. 【题文】已知:2sin f x x →是集合[]()
0,2A A π⊆到集合B 的一个映射，若10,2B ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，则A 中的元素个数最多为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】D 【解析】
2sin 1x =；只有当
2π
x =
时，2sin 2x =．∴集合A 中的元素最多有6个．故答案为D ．
考点：三角函数值. 【结束】
10. 【题文】奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()220f x f x ++-=，且()19f =，则
()()()201420152016f f f ++的值为（ ）
A ．-9
B ．9
C ．0
D ．1 【答案】A 【解析】 试题分析：∵
()()220
f x f x ++-=，∴22f x f x +=--（）（），∵f x （）为奇函数，∴
2200f x f x f +=-=（）（）；（），∴f x （）是以4T =为周期的函数，∵
20144503220154
504=⨯+=⨯-=⨯；；，∵
220f x f x ++-=（）（），令0x =得20f =（
），∴2014201520162109f f f f f f ++=+-+=-（）（）（）（）（）（），故选A ． 考点：函数的周期性.
【思路点睛】将已知等式移项，利用奇函数的定义得到函数的周期；通过给已知等式的x 赋值
0求出2f （
）的值；利用奇函数的定义得到0f （）得到值；利用周期性求出()()()
201420152016f f f ++的值．
【结束】
11. 【题文】已知函数()()32,f x x ax bx a b R =-++∈的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图像所围成区域（图中阴影部分）的面积为
1
12
，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．-2 【答案】C 【解析】
试题分析：由图知方程()0f x =有两个相等的实根120x x ==，于是0b =，∴
()()2
f x x x a =--，有4443
2
430
11|041()()31212
34a a a a a x ax dx x ax -=-=-+=
=⎰，∴1a =±．
函数()f x 与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个a ，根据图形可知0a <，得1a =-． 考点：定积分在求面积中的应用．
【思路点睛】由图可知()0f x =得到x 的解确定出b 的值，确定出()f x 的解析式，由于阴影部分面积为1
12
，利用定积分求面积的方法列出关于a 的方程求出a 并判断a 的取舍即可． 【结束】
12. 【题文】用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义
()()()()()()()()
,,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}{}
2
1,2,|23A B x x x a ==+-=，且
1A B -=，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么()C S 等于（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】D 【解析】
试题分析：由2
3||2x x a
+-=得：
2230
0x x a a +-±=≥，；对于
()22304430x x a a +--=∆=++，＞，∴方程2230x x a +-±=至少有两个实数根，即
集合B 至少含2个元素；∵1A B -=，∴B 含3个元素；∴方程2
230x x a +-+=有二重根，∴()4430a =--+=，∴4a =；{}()41S C S ∴=∴=，．故选D ． 考点：子集与交集、并集运算的转换．
【思路点睛】先根据已知条件可判断出B 含3个元素，所以方程2
3||2x x a +-=有三个实根，进一步判断出方程2
230x x a +-+=有两个二重根，所以根据=0即可求得a 的值，从而求出集合S ，这样便可判断出集合S 所含元素的个数． 【结束】
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 【题文】当02
x π
<<时，函数()21cos 28sin sin 2x x
f x x ++=的最小值为___________．
【答案】4 【解析】
试题分析：()222
1cos 28sin 8sin 2cos 4sin cos
4sin 22sin cos cos sin x x x x x
x
f x x x x
x x
+++===+≥当且仅当224sin cos x x =时等号成立．故答案为；4
考点：三角函数的最值． 【结束】
14. 【题文】若4cos 5α=-
，α是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
α
α+=-_____________． 【答案】12
- 【解析】
试题分析：∵α是第三象限的角，∴3 224π
απππk k k Z +
<<+∈，，∴tan 02
α
<，∵4
cos 5
α=-
，
∴
2
2
cos cos sin 2
2
α
α
α=-2
2
2
22
21tan 42cos sin cos sin 2
2
2
51tan 2
α
α
α
α
α-=-+=
=-+，解得
t a n 32α=-，∴tan
tan
31124tan 241321tan tan 24
α
π
απαπ
+-+⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭-，故答案为：12-． 考点：两角和与差的正切函数． 【结束】
15. 【题文】已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[][]1,81,1,22=-=-，0x 是函数
()2
ln f x x x
=-的零点，则[]0x 等于____________．
【答案】2 【解析】
试题分析：∵()2
ln f x x x
=-，则函数()f x 在(0)+∞，上单调递增，∴()1ln1220f =-=-<，()()2
2ln 2103ln 303
f f =-<=->，，∴()()230f f ＜，∴
函数()2f x lnx x =-在区间(2，3)内存在唯一的零点，∵0x 是函数()2
ln f x x x
=-的零点，
∴023x <<，∴0[2]x =，故选A ． 考点：函数的零点．
【思路点睛】本题主要考查函数零点的判断，以及函数的新定义的应用，要求熟练掌握函数零点的判定定理．根据函数零点的判定定理，求出函数零点所在的区间，根据表示即可得到结论． 【结束】
16. 【题文】若对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有
()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”，给出下列函数：
①2
1y x x =-++；
②()32sin cos y x x x =--；③1y e '=+；④()ln ,0
0,0
x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，以上函数是“H 函数”
的所有序号为________________． 【答案】②③ 【解析】
试题分析：∵对于任意给定的不等实数
12,x x ，不等式
()()()()
11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不
等
式
等
价
为
1212]0[x x f x f x --（）（）（）＞恒成立，即函数f x （）是定义在R 上的增函数．①321'31y x x y x =-++=-+；，则函数在定义域上不单调．
②
32sin cos '32cos sin 304
π
y x x x y x x x =--=-+=-+（）；（）（）＞，函数单调
递增，满足条件．③1x
y e =+为增函数，满足条件．④0
00ln x x f x x ⎧≠=⎨
=⎩
,（）,．当x ＞0时，
函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为：②③． 考点：
【思路点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题
的
关
键
．
不
等
式
()()()()
11221221x f x x f x x f x x f x +>+等价为
1212
]0[x x f x f x --（）（）（）＞，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 【结束】
三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 【题文】（本小题满分10分）
已知函数()()2
2sin cos 2sin 1f x x x x x R =-+∈．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，a =
A 为锐角，且
8f A π⎛
⎫+=
⎪⎝⎭
，求ABC ∆面积S 的最大值． 【答案】（1）最小正周期为π；()3|88ππππx k x k k Z ⎧⎫
-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
；（2
）34
【解析】
试题分析：（1）利用同角三角函数基本关系将()()22sin cos 2sin 1f x x x x x R =-+∈转化
为24πf x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（
），利用正弦函数的性质即可求函数()f x 的最小正周期和单调递增
区间；（2
）由83
f A π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，可求得cos 213A =，而A 为锐角，可求得cos sin A A 、
，又a =
92bc ≤
+，从而可求得ABC ∆面积S 的最大值．
试题解析：解：（1）∵()2
2sin cos sin 12sin cos cos2f x x x x x x x =-+=+
sin 2cos 22224x x x x x π⎫⎛
⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴()f x 的最小正周期为π； ∵()2222
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，
∴()3|88ππππx k x k k Z ⎧⎫
-
+≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
．．．．．．．．．．．．．5分 （2
）∵83f A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
223A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，∴1cos 23A =， ∴2
12cos 13A -=
，∵A 为锐角，即02
A π
<<
，∴cos A =，
∴sin A ==
，又∵a =222
2cos a b c bc A =+-，
即
2
22623b c bc
=+-，∵22
2b c bc +≥，∴922
bc ≤+，
∴3119sin 22223
4
S bc A ⎛=≤+= ⎝⎭．
考点：1.同角三角函数基本关系的运用；2.三角函数的周期性及其求法；3.正弦函数的定义域和值域．
【方法点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤：
1．首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2．求ϕ的值时最好选用最值点求， 峰点：22
x k π
ωϕπ+=
+，k Z ∈； 谷点：22
x k π
ωϕπ+=-
+，k Z ∈，也可用零点求，
但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=，
k Z ∈；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+，k Z ∈．
【结束】
18. 【题文】（本小题满分12分） 已知函数()2
sin cos f x x x x x =++．
（1）若曲线()y f x =在点()()
,a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】
试题分析：（1）若曲线()y f x =在点()()
,a f a 处与直线y b =相切，则0f a b f a '==（），（），进而可得a 与b 的值；（2）当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点；若曲线()y f x =与直线y=b 有两个不同的交点，则b ＞1． 试题解析：解：由()2
sin cos f x x x x x =++，得()()2cos f x x x '=+．
（1）因为曲线()y f x =在点()()
,a f a 处与直线y b =相切， 所以()()()2cos 0,f a a a b f a '=+==，解得()0,01a b f ===． （2）令()0f x '=，得0x =．()f x 与()f x '的情况如下：
所以函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，()01f =是()f x 的最小值，当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点；
当1b >时，()()222421421f b f b b b b b b -=≥-->-->，()01f b =<， 所以存在()()122,0,0,2x b x b ∈-∈，使得()()12f x f x b ==．
由于函数()f x 在区间(),0-∞和()0,+∞上均单调，所以当1b >时曲线()y f x =与直线
y b =有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，那么b 的取值范围是()1,+∞． 考点：1.导数在最大值、最小值问题中的应用；2.利用导数研究曲线上某点切线方程． 【结束】
19. 【题文】（本小题满分12分）
若函数()()2
sin sin cos 0f x ax ax ax a =->的图象与直线y m =（m 为常数）相切，并且
切点的横坐标依次成等差数列，且公差为2
π
． （1）求m 的值；
（2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求点A 的坐标．
【答案】（1）m =或m =；（2）31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭、71,162π⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【解析】
试题分析：（1）利用二倍角公式将()()2
sin sin cos 0f x ax ax ax a =->化为
12422
πf x ax =++（）（），结合函数图象可得所以m 为f x （）的最大值或最小值．（2）
切点的横坐标依次成公差为
2π 的等差数列．得出f （x ）的最小正周期为2
π
．从而a=2，确定出f （x ）解析式．若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心则应有000y f x ==（），利
用特殊角的三角函数值解此方程求出0x ． 试题解析：解：（1）()()()1111
1cos 2sin 2sin 2cos 22222
f x ax ax ax ax =
--=-++
12242ax π⎛
⎫=-
++ ⎪⎝
⎭， ∵()y f x =的图象与y m =相切，
∴m 为()f x 的最大值或最小值，即12m =或12
m -=．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列，所以()f x 最小正周期为2
π， 又222
T a ππ
=
=，0a >，所以2a =，即
()1sin 4242f x x π⎛
⎫=-
++ ⎪⎝
⎭．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 令0sin 404x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则()04,2x k k Z ππ+=∈，∴()0,416
k x k Z ππ
=-∈．．．．．．．．．．．．．．10分 由()0,4162k k Z πππ≤
-≤∈得1,2k =，因此对称中心为31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭
、71,162π⎛⎫
⎪⎝⎭
．
．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.正弦函数的定义域和值域；2.等差数列的通项公式；3.正弦函数的对称性． 【结束】
20. 【题文】（本小题满分12分）
设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数． （1）令()()()()()
11,,n n g x g x g x g g x n N +===∈，求()3g x 的表达式； （2）若()()f x a g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()313x
g x x
=
+；（2）(],1-∞
【解析】
试题分析：由题设得，()()01x
g x x x
=
≥+，可知()()()()()12131,,1121311x
x x x
x g x g x g g x g x x x x x x +=====
+++++；（2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即()ln 11ax x x +≥+恒成立，设()()()ln 101ax
x x x x
φ=+-≥+，则()()()
22
11111a x a
x x x x φ+-'=
-=+++， 然后再对1a ≤和1a >分两类情况讨论. 试题解析：解：由题设得，()()01x
g x x x
=≥+， （1）由已知
()()()()()12131,,1121311x
x x x
x g x g x g g x g x x x x x x
+=====
+++++．．．．．．．．．．4分 （2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即()ln 11ax
x x
+≥+恒成立，
设()()()ln 101ax
x x x x
φ=+-≥+，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 则()()()22
11111a x a
x x x x φ+-'=
-=
+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当1a ≤时，()0x φ'≥（仅当0,1x a ==时取等号成立）， ∴()0x φ≥在[)0,+∞上恒成立， ∴当1a ≤时，()ln 11ax
x x
+≥+恒成立，（仅当0x =时等号成立）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
当1a >时，对(]0,1x a ∈-有()0x φ'<，∴()x φ在(]0,1a ∈-上单调递减， ∴()()100a φφ-<=，即当1a >时存在0x >使()0x φ<， 故知()ln 11ax
x x
+≥
+不恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上可知，实数a 的取值范围是(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：1.函数的单调性；2.分类讨论.
【方法点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(，即可求出参数范围. 【结束】
21. 【题文】（本小题满分12分）
已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12．
（1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在自然数m ，使得方程()37
0f x x
+
=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）()()()2
25210f x x x x x x R =-=-∈；（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用单调性求得最大值，解出待定系数．（2）将方程等价转化0h x =（），利用h x （）的导数判断其单调性，利用单调性判断0h x =（）的根的情况．
试题解析：解：(1)∵()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是()0,5， ∴可设()()()50f x ax x a =->，∴()f x 在区间[]1,4-上的最大值是()16f a -=．
．．．．．．．．．．．．3分 由已知，得612a =，∴2a =，
∴()()()2
25210f x x x x x x R =-=-∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）方程()37
0f x x
+
=等价于方程32210370x x -+=， 设()3
2
21037h x x x =-+，则()()2
6202310h x x x x x '=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 当100,
3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()()0,h x h x '<是减函数；
当10,3x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()()0,h x h x '>是增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∵()()101310,0,450327h h h ⎛⎫
=>=-<=>
⎪⎝⎭
∴方程()0h x =在区间10103,
,,433⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
内分别有唯一实数根，而在区间()()0,3,4,+∞内没有实数根，所在存在唯一的自然数3m =，使得方程()37
0f x x
+
=在区间(),1m m +内有且只有两上不等的实数根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.函数解析式的求解及常用方法；2.函数与方程的综合运用． 【结束】
22. 【题文】（本小题满分12分） 已知函数()()21
ln
0f x ax x a x
=-+>． （1）若()f x 是定义域上不单调的函数，求a 的取值范围；
（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12x x 、，证明：()()1232ln 2f x f x +>-． 【答案】（1）1
08
a <<；（2）详见解析 【解析】
试题分析：（1）()()22
21ln ,ax x f x x ax x f x x -+'=--+=-，令18a ∆=-，当1
8
a ≥时，
()()0,0,f x f x '∆≤≤在()0,+∞单调递减，
当108
a <<时，0∆>，方程2
210ax x -+=有两个不相等的正根12,x x ，不妨设12x x <，则当()
()120,x x x ∈+∞时，()0f x '<，当
()12,x x x ∈时，()0f x '>，这时()f x 不是单调函数．综上，a 的取值范围是1
08
a <<．（2）由（1）知，当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()f x 有极小值点1x 和极大值2x ，且
121211,22x x x x a a
+=
=， ()()22
12111222
ln ln f x f x x ax x x ax x +=--+--+
()()()121211
ln 1ln 2124x x x x a a =-+
++=++令()()11ln 21,0,48g a a a a ⎛⎤=++∈ ⎥⎝⎦
，则当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22
1141044a g x a a a -'=-=<，()g a 在10,8⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()132ln 28g a g ⎛⎫
>=- ⎪⎝⎭
，即()()1232ln 2f x f x +>-．
试题解析：解：（1）
()()22
121ln ,21ax x f x x ax x f x ax x x
-+'=--+=--+=-．．．．．．．．．．．．．2分
令18a ∆=-，当1
8
a ≥时，()()0,0,f x f x '∆≤≤在()0,+∞单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当108
a <<
时，0∆>，方程2
210ax x -+=有两个不相等的正根12,x x ， 不妨设12x x <，则当()()120,x x x ∈+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>，
这时()f x 不是单调函数． 综上，a 的取值范围是108
a <<
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()f x 有极小值点1x 和极大值2x ， 且121211
,22x x x x a a
+=
=
， ()()22
12111222ln ln f x f x x ax x x ax x +=--+--+，
()()()()12121211
ln ln 1122x x x x x x =-+-
---++ ()()()121211
ln 1ln 2124x x x x a a
=-+++=++．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分 令()()11ln 21,0,48g a a a a ⎛⎤
=+
+∈ ⎥⎝⎦
， 则当10,8a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()221141044a g x a a a -'=
-=<，()g a 在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减， 所以()132ln 28g a g ⎛⎫
>=- ⎪⎝⎭
，即()()1232ln 2f x f x +>-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值. 【结束】。