河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期
10月月考数学试题
一、单选题
1．直线l 30+=的倾斜角为（ ）
A ．π3
B ．π6
C ．5π6
D ．
2π3
2．已知向量()1,1,0a =r ，则与a r 同向共线的单位向量e =r
（ ）
A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．()0,1,0
C ．⎫⎪⎪⎝⎭
D ．()1,1,0--
3．使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是（ ） A ．1a =
B ．2a =
C ．3a =
D ．3a =或0a =
4．若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（ ） A ．-9
B ．-8
C ．9
D ．8
5．椭圆22
5
1162x y +=的焦点为12,,F F P 为椭圆上一点，若13PF =，则2PF =（ ）
A ．4
B ．3
C ．5
D ．7
6．曲线1y =y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5012⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．5+12⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
， C ．13
34⎛⎤
⎥⎝⎦
，
D ．53124纟çú
çú棼
， 7．若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2921,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．91,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．91,,44⎛⎤⎡⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
8．在正方体中1111ABCD A B C D -，直线1A B 与平面11BC D 所成的角为（ ）.
A ．
2π3 B ．π6
C ．π4
D ．π3
二、多选题
9．设a r ，b r ，c r
是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ）
A ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r
不可能共面
B ．若a b ⊥r r ，b c ⊥r r ，则a c ⊥r r
C ．对空间任一向量p u r ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++u r r r r
D ．a b +r r ，b c +r r ，c a +r r
不一定能构成空间的一个基底 10．下列说法正确的是（ ）
A ．直线 sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
B ．“5c =”是“点()2,1到直线340x y c ++=距离为3”的充要条件
C ．直线l ：()30R x y λλλ+-=∈恒过定点()3,0
D ．直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A ．122CG A
B AA =+u u u r u u u r u u u r
B ．直线CQ 与平面1111D
C B A 所成角的正弦值为
23
C ．点1C 到直线CQ
D ．异面直线CQ 与BD
三、填空题
12．点M 在椭圆22
1259x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，N 为MF 的中点，3ON =，
则MF =. 13．如图，隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为m a ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少.
14．已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为.
四、解答题
15．已知点()1,4P 与直线l ：10x y +-=，圆C ：22430x y x +-+=
(1)一条光线从点P 射出，经直线l 反射后，通过点()3,2Q ，求反射光线所在的直线方程； (2)过P 点作圆的切线，求切线方程．
16．已知椭圆E 的两个焦点坐标分别为()()4,0,4,0-，并且经过点52⎛ ⎝⎭
．
(1)求E 的标准方程；
(2)在E 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，垂足为D ，点M 满足53
DM DP =u u u u r u u u r
，当
点P 在E 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点P 经过椭圆与x 轴的交点时，规定点M 与点P 重合）．
17．已知圆1C 经过点()2,0-，且与圆222:480C x y x y +-+=相切于原点O . (1)求圆1C 的标准方程；
(2)若直线:20(,l ax by a b a b ++-=不同时为0)与圆1C 交于,A B 两点，当AB 取得最小值时，
l 与圆2C 交于,C D 两点，求CD 的值.
18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，24DC DA ==
，1DD =11DC D B ⊥
(1)求证：DA DB ⊥；
(2)求三棱锥11C AC D -的体积；
(3)线段11C D 上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面11ABB A 的夹角为π
4
?若存在，求1D E 的
长；若不存在，请说明理由.
19．过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．
(1)已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：1
3y x k
=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．
(2)在OPM V 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是
()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
定积直线，求点P 的坐标．
(3)已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．。