第3章圆 题型解读9 构造圆模型解题-北师大版九年级数学下册

题型全解9 构造圆模型解题
【知识梳理】
1.圆外一点到圆上一动点的距离中，连接圆外一点及圆心的直线，与圆有两个交点
最小距离：圆外一点、交点、圆心在同一侧时，有最小值,如A 、B 在圆心同侧时AB 最小； 最大距离：圆外一点与交点处于圆心的异侧，有最大值，如A 、B 在圆心异侧时AB 最大； 2.圆上一点到圆的弦的距离中，作弦的中垂线，且经过圆外一点及圆心， 最小距离：该点、弦、圆心在同一侧时，有最小值； 最大距离：该点与弦处于圆心的异侧，有最大值；
如图，C 、AB 在圆心同侧时C 到AB 的距离最小；在异侧时，C 到AB 的距离最大； 3.构造四点同圆解题：
①两个三角形同底，且在底边的同一侧，若底边所对的角相等，则两三角形四个顶点共圆； ②四边形若对角互补，则四边形四个顶点共圆； ③出现直角，作以斜边为直径画圆； 4.利用“定边对定角”构造圆模型解题
【典型例题】
1.如图，矩形ABCD 中，AB=20，AD=30,点E 、F 分别是AB 、BC 边上的两动点，且EF=10，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH 、GH ，则GH+CH 的最小值是___________
A
C
C
O
A
C C
O
H
G
F
C
D
E B
A
H
G
F
C
E
B
A
解析：填空压轴题，几何最值问题
连接BG，由直角三角形斜边中线的性质可得
BG=1
2
EF=5，即E、F随意移动，点G始终在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，作C关于AD的对称点C`，当B、G、H、C`在同一直线上时，即连接BC`，交AD于点H，与圆交于点G，此时CH+HG有最小值，最小值为GC`的长度，由勾股定理易得BC`=50,则GC`=45，即CH+HG的最小值为45.
2. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为______
【思路分析】
由题易得∠APB=90°，不管P怎么运动，∠P是直角不固定不变的，即点P在以AB为直径的圆上运动，由于AB的长不变，那么这个圆的半径是固定的，取圆心O（AB的中点），求PC最小，即是求PC+OP最小，当O、P、C在同一直线上时，且C、P在圆心O同侧时，CP最小.
【解题过程】
∵∠PAB=∠PBC，∴∠P=90º，以AB为直径，作△ABP的外接圆⊙O，则OA=OB=OP=3,当点P运动到OC上时，PC最短，∵OB=3,BC=4,由勾股定理可得：OC=5,∴CP的最小值为OC-OP=2.
3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．
C
A
B
P
【解析】利用菱形、等腰三角形、等边三角形的性质可解题．
解：如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ．此时△PBC 是等腰三角形，线段PD 最短， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD ，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC ，△ADC 是等边三角形，
∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=2，∴PD 最小值=BD ﹣BP=2﹣2．
4.已知，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC ，∠CAD=45°，AC=4，E 是线段BD 的中点，则CE 的最小值是_____
【思路分析】只有动态问题中才有线段的最值问题，此题只告诉AC 的长，说明B 点是动点，把图形放在圆的背景下，就更清楚这一点了。

以AC 为直径画⊙O ，∵∠CAD=∠CBD=45°，它们所对的都是弧CD ，∴D 也在⊙O 上，∵∠ABD=∠ACD=45°，∴△ADC 是等腰直角三角形，OD ⊥AC ，B 在弧AC 上运动，我们可以从B 的特殊位置在探索E 的运动轨迹。

当B 与A 重合时，BD 与AD 重合，则E 点就是AD 的中点；当B 运动到BD 是直径时，四边形ABCD 是正方形，E 点与圆心重合；当B 运动到C 点时，BD 与CD 重合，则E 点就是CD 的中点，可见，E 点在直角三角形ADC 两直角边的中间及圆心O 这间的圆弧上运动，即以DO 的中点O1为圆心，OO1为半径画图，点E 就在⊙O1上运动，当O1、E 、C 在同一直线上时，CE 最短，位置确定了，依题目条件即可解答。

【解题过程】
以AC 为直径作△ABC 的外接圆⊙O ，由∠ADC=90º可知D 、C 也在⊙O 上，连接OD ，以OD 为直径作⊙O 1,则E 点在⊙O 1上运动，当E 点运动到O 1C 上时，CE 最短，由于OD=1
2AC =2， OO 1=1
2OD =1，要求CE 最短，即CE+O 1E 最短，当O 1、E 、C 在同一直线时，它们最短，如图2，在直角三角形OO 1C 中，OC=2，OO 1=1，∴O 1C =√5，∴CE 最小值=√5−1
5.如图，矩形OABC 的边OC 的y 轴上，OA 在x 轴上，C （0，3），点D 是线段OA 的一个动点，连接CD ，以CD 为边作矩形CDEF ，使EF 过点B ，连接OF ，当点D 与点A 重合时，所作矩形CDEF 的面积为12，在点D 的运动过程中，当线段OF 有最大值时，则点F 的坐标为_____
O
O 1A
B C D
E
图2
A B C D
E
【思路过程】
由条件“当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12”，及利用矩形面积的“一半模型”即可求出OA的长，由点D不管怎么运动，矩形CDEF都经过B点可知∠CFB=90º，可构造圆模型，以CB为直径作△CFB的外接圆，当点F在该圆CB的上方运动，当点F、圆心、点
O在同一直线上时，OF有最大值。

【解题过程】
如图1，当D点与A点重合时，△BAC的面积，即是矩形CDEF面积的一半，也是矩形OABC面积的一半（“一半模型”），∵矩形CDEF的面积为12，∴矩形OABC的面积为12，∴OA=4。

由题可知，矩形CDEF经过B点，即∠CFB在运动中保持90º不变，以CB为直径，作△BCF的外接圆⊙M，则点F在BC上方圆部分运动，当点O、M、F在同一直线上时，OF有最大值，∵OC=3，CM=MB=MF=2，∴OF的最大值为：OF=OM+MF=√13+2.过点F作FN⊥BC于点N，∵FN//OC，∴FM：MO=FN：OC=MN：CM，即2：√13=FN：3=MN：2，∴FN=6√13
13
，MN=4√13
13
，∴F点的坐标为（4√13
13
+2，6√13
13
+3），即
当线段OF有最大值时，则点F的坐标为（4√13+26
13
，6√13+39
13
）.
6．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．
解析：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=1/2AB=1，在Rt△AOD中，OD=√5，
F
E
D
C B
A
O
y
x
图1
F
E
C B
A(D)
O
y
x
M
图2
x
O
B
C
E
F
根据三角形的三边关系，OH+DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD ﹣OH=√5﹣1．
7.矩形OABC 中B （2√3，2），点A 在轴上，点C 在轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC ，交轴于点D ，连接CD.①OA=BC=2√3；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为（2√3
3
，0）.其中正确结论的个数是____个
解析：①正确；②正确；③四点共圆（O 、C 、D 、P 共圆），∠CDP=∠BOA ；正确； ④“一线三垂直”变化模型，由题可得CD ⊥OB ，证△OCD ∽△OAB 可得OD 长，正确；
8.如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE •HB=4-2√2,BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD(不与C 、D 重合)上运动时，下列四个结论:①BE ⊥GD ；②AF 、GD 所夹的锐角为45°；③GD=√2AM ；④若BE 平分∠DBC,则正方形ABCD 的面积为4，其中结论正确的是__________(填序号)
解析：填①②③④；
解析：（1）易证△BCE ≌△DCG ，可得∠CBE=∠CDG ，利用△BCE 与△DHE 是“8字模型”可得∠BCE=∠DHE=90º，∴BE ⊥DG ，∴①正确；
（2）∵∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠DHE=90º，∴点A 、B 、C 、H 、D 五点共圆，且BD 是直径，如图1，连接OA ，依“圆心角定理”可得∠AOD=2∠AHD=90º，∴∠AHD=45º，②正确；
（3）求线段比的关系，从相似角度考虑，首先找AM 、DG 所在的三角形相似，∠BAH 与∠BDH 所对同一段弧BH ，∴∠BAH=∠BDH ，∵∠ABM=∠DBG=45º，∴△ABM ∽△DBG ，∴AM ：DG=AB ：BD=1：√2，∴DG =√2AM ，③正确；
F
H
G
G
M
H F
E
D C
B
A
图
图1
（4）由条件“HE•HB=4-2√2，联想到相似中的线段乘积式，找线段EH、BE所在三角形相似，∵∠CBH=∠HBD，恰好有一个相似典型图形“共角模型”，易证△HDE∽△HBD，∴HD：HB=HE：DH，∴DH2=HB∙HE=4−2√2，由①及BE 是角平分线可得DH=HG，∴DG2=4DH2=16−8√2，由①可知BE2=DG2=16−8√2，由角平分线性质定理可得：BC：BD=CE：DE=1：√2；设CE=x，则DE=√2x，BC=DC=(√2+1)x，在Rt△BCE中，
由勾股定理可列方程：[(√2+1)x]2+x2=BE2=16−8√2,，解得x2=12−8√2，
=BC2=[(√2+1)x]2=(3+2√2)x2=(3+2√2)(12−8√2)=4,④正确。

∴S
正方形
9.在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（4，0）、（4，4）、（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为_____
【思路分析】
依解题经验“没图的几何题，首先考虑分类讨论”：D点的坐标（4，1）或（4，-1）；
（1）若D点坐标为（4，1），依“定边对定角”构造圆模型，以CD为直径构造圆，则P点在该圆上，如图1，出现直角三角形，利用“一线三垂直模型”的△OCP∽△APD,即可求OP长及点P坐标；
（2）若D点坐标为（4，-1），依“定边对定角”构造圆模型，以CD为直径构造圆，则P点在该圆上的两个位置上，如图3，同样，构造“一线三垂直模型”，利用相似来求OP的长及P点的坐标，如图4、5.
【解答】
（1）易证△OCP∽△APD,则OC:OP=AP:AD，即4:OP=(4-OP):1,解得OP=2，∴P（2，0）
（2）
①当P在A点左侧时，如图4构造“一线三垂直模型”，则△CMP∽△PND,则CM:PM=PN:ND，设OP=m，即m:4=1:(4+m),解得m=-2+2√2，∴P（2-2√2，0）
②当P在A点右侧时，如图5构造“一线三垂直模型”，则△CFP∽△PED,则CF:PF=PE:ED，设OP=a，即a:4=1:(a-
4),解得a=2+2√2，∴P（2+2√2，0）
∴符合要求的点P的坐标为（2，0）、（2-2√2，0）、（2+2√2，0）。