高三数学上学期期末考试试题理含解析试题 4

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹叙州区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕
，集合，，那么()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，，，所以，
应选择C.
满足，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：∵复数z满足，那么，应选D．
考点：复数运算.
3.中，，，那么等于
A. B. C.或者 D.或者
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，结合大边对大角的性质即可确定出B的度数．
【详解】中，，，，
由正弦定理得：，
，，
那么．
应选：A．
【点睛】此题考察了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，纯熟掌握正弦定理是解此题的关键．
服从正态分布那么
【答案】D
【解析】
此题考察正态分布和HY正态分布的转化及概率的计算方法.
应选D ，，假设，那么与的夹角为〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
依题意，，即解得，故，那么与的夹角的余弦值，故.选D.
6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，那么m＝()
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C
【解析】
∵{a n}是等差数列
∴S m==0a1=－a m=－(S m－S m－1)=－2，
又=－=3，∴公差=－=1，
∴3==－，∴=5，应选C．
视频
7.如下列图的程序框图，输出的S的值是()
A. B.2C.－1D.－
【答案】A
【解析】
k＝1时，S＝2，
k＝2时，S＝，
k＝3时，S＝－1，
k＝4，S＝2，……
所以S是以3为周期的循环．
故当k＝2012时，S＝．
8.如下列图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形〔边长为4〕中心，所以半径为，外表积为，选C.
考点：三视图，外接球
【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或者线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或者只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体量的关系，列方程(组)求解.
视频
9.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.〞那么此人第一天走的路程为〔〕
A.192里
B.96里
C.63里
D.6里
【答案】A
【解析】
设第一天走了里，那么是以为首项，以为公比的等比数列，
根据题意得：
解得
应选
在区间，内是增函数，那么实数的取值范围是
A.，
B.，
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数进展求导，根据函数单调递增易得在内恒成立，即，解出即得结果.
【详解】∵，∴，
∵函数在区间内是增函数，
∴在内恒成立，即，∴，应选B．
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，将函数单调递增转化为是解题的关键，属于中档题．的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于、两点，为坐标原点，且
的面积为，那么双曲线的离心率为
A. B.4C.3D.2
【答案】D
【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，从而，把代入得，所以的面积为
，解得，所以离心率，应选D.
考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.
【方法点晴】此题主要考察了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于根底题.正确运用双曲线的几何性质是此题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线HY 方程求得弦的长，表示出的面积，从而求得值，最后由离心率的定义求出其值.
，，为的零点，为图象的对称轴，且在，
上单调，那么的最大值为
A.11
B.9
C.7
D.5
【答案】B
【解析】
，那么，得，
又，那么，得，
当时，那么，那么，所以，在不单调；
当，那么，那么，所以，在单调递减。

应选B。

点睛：由零点和对称轴判断得到，解得，由单调，得到区间长度，那么，但此题四个选项都满足要求，那么由大往小代入验证，得到选项B满足要求。

二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕
13.关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展开式的系数之和为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以因此展开式的系数之和为
考点：二项式系数性质
，满足不等式组那么的最小值为__________．
【答案】
【解析】
做出约束条件的平面区域，如下列图：
联立解得：，即
由图可知：当直线过点时有最小值：
.故答案为.
点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画HY函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错；三、一般情况下，目的函数的最大或者最小会在可行域的端点或者边界上获得.
15.AB为过抛物线焦点F的一条弦，设，，以下结论正确的选项是______，
，且
的最小值为4
以AF为直径的圆与x轴相切．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
可设直线AB的方程为，由，得，由韦达定理可判断正确；利用弦长公式表示出，由表达式可知正确；通过计算圆心到x轴的间隔、半径可判断正确；
【详解】因为直线AB过抛物线的焦点，故可设直线AB的方程为，
由，得，
那么，，
，故正确；
由抛物线定义得，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为4，故正确；
，那么圆心，圆心到x轴的间隔，
直径，半径，，
所以以AF为直径的圆与x轴相切，故正确；
故答案为：．
【点睛】此题考察抛物线的性质、方程及直线与抛物线的位置关系，考察学生解决问题的才能．，时，不等式恒成立，那么实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】
试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，那么，故；当时，，记，令，得或者〔舍去〕，当时，；当时，，故，那么．综上所述，实数的取值范围是．
考点：利用导数求函数的极值和最值．
三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕
中，内角，，的对边分别为，，，，，且．
〔1〕求角的大小；
〔2〕假设，，求的面积．
【答案】〔1〕．〔2〕．
【解析】
试题分析：〔1〕由，得，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得
，从而可得结果；〔2〕由，结合余弦定理可得
，利用三角形面积公式可得结果.
试题解析：〔1〕由，得，
即，
由正弦定理，得，
所以，
，
，
因为，所以，
所以．
因为，所以．
〔2〕在中，由余弦定理，得，
又，
所以，解得，
所以的面积．
【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进展考察是近几年高考考察的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要纯熟掌握并灵敏应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．
1021年2月22日上午，委、政府在召开全面展开新旧动能转换重大工程发动大会，会议发动各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进展改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后消费的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，假设该项质
量指标值落在内的产品视为合格品，否那么为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方
图，表1是设备改造后的样本的频数分布表. 表1：设备改造后样本的频数分布表
〔1〕完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业消费的这种产品的质量指标值与设备改造
有关；
〔2〕根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进展比较； 〔3〕企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进展等级细分，质量指标值落在内的定为一
等品，每件售价240元；质量指标值落在
或者
内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格
品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的．．．．．．频率．．
代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购置两件产品，设其支付的费用为〔单位：元〕，求的分布列和数学期望. 附：
【答案】(1)有99%的把握认为该企业消费的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析 【解析】
试题分析：〔1〕根据直观图以及表格中所给数据，可完成列联表；根据列联表，利用公式
可得，与临界值比较可得结果；〔2〕根据图和表可知，利用
古典概型概率公式可得设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为，比
较合格率的大小即可得结果；〔3〕随机变量的取值为：，
，
，
，
试题解析：〔1〕根据图3和表1得到
列联表：
设备改造前设备改造后合计
合格品172 192 364
不合格品28 8 36
合计200 200 400
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵，
∴有99%的把握认为该企业消费的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
〔2〕根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.
〔3〕由表1知：
一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；
二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；
三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.
由得：随机变量的取值为：，，，，.
，
，
，
，
.
∴随机变量的分布列为：
240 300 360 420 480
∴.
【方法点睛】此题主要考察频率分布直方图、古典概型概率公式以及HY性检验与离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.HY性检验的一般步骤：〔1〕根据样本数据制成列联表；〔2〕根据公式
计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.〔注意：在实际问题中，HY性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.〕
19.如图，在直三棱柱侧棱和底面垂直的棱柱中，平面侧面，
，线段AC、上分别有一点E、F且满足，．求证：；
求点E到直线的间隔；
求二面角的平面角的余弦值．
【答案】〔1〕见解析
〔2〕
〔3〕﹣
【解析】
试题分析：〔1〕过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，由条件推导出AD⊥平面A1BC，由此能证明AB⊥BC．〔2〕以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到直线A1B的间隔．
〔3〕分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值．
〔1〕证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
那么由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
∴AD⊥平面A1BC，
又∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，
又∵AB⊂侧面A1ABB1，∴AB⊥BC．〔4分〕
〔2〕解：由〔1〕知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如下列图的空间直角坐标系，
B〔0，0，0〕，A〔0，3，0〕，C〔3，0，0〕，A1〔0，3，3〕
∵线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1，
∴E〔1，2，0〕，F〔0，1，1〕，
∴，．
∵=0，∴EF⊥BA1，
∴点E到直线A1B的间隔．〔8分〕
〔3〕解：，
设平面BEF的法向量，
那么，取x=2，得=〔2，﹣1，1〕，
由题意知平面BEC的法向量，
设二面角F﹣BE﹣C的平面角为θ，
∵θ是钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣=﹣，
∴二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值为﹣．
点评：此题考察异面直线的证明，考察点到直线的间隔公式的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
〔1〕为坐标原点，求证：；
〔2〕设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕时，四边形的面积最小，最小值是．
【解析】
试题分析：〔1〕先利用条件设出直线AB的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。

〔2〕根据由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的间隔相等，得到四边形的面积等于，结合三角形面积公式得到。

〔Ⅰ〕解：依题意，设直线方程为．…………1分
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．……3分
设，，所以，．
=1，
故．………………6分
〔Ⅱ〕解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的间隔相等，所以四边形的面积等于．……8分
因为……………9分
，…………11分
所以时，四边形的面积最小，最小值是．……12分
考点：本试题主要是考察了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。

点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。

上的函数满足，．
〔1〕求函数的解析式；
〔2〕求函数的单调区间；
〔3〕假设、、满足，那么称比更靠近．当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．
【答案】〔1〕；
〔2〕当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
〔3〕比更靠近．
【解析】
试题分析：〔1〕两边求导，可建立关于，的方程组，求得其值，即可得到解析式；〔2〕求导，对的
取值进展分类讨论，即可得到结论；〔3〕设，，从而问题等价于，通过对的取值范围进展分类讨论，利用求导判断单调性求极值，即可得到结论．
试题解析：〔1〕，∴，即，又，∴，∴；〔2〕∵，
∴，
∴，①当时，，函数在上单调递增，②当时，由得，∴时，，单调递减；时，，单调递增，综上，
当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；〔3〕设，，∵，∴在上为减函数，又∵，
∴当时，，当时，，∵，，
∴在上为增函数，又∵，∴时，，∴在上为增函数，∴，①当时，，
设，那么，∴在上为减函数，
∴，∵，∴，∴，∴比更靠近，
②当时，，
设，那么，，∴在时为减函数，
∴，∴在时为减函数，∴，
∴，∴比更靠近，综上：在，时，比更靠近．
考点：1．利用导数判断函数的单调性求极值；2．分类讨论的数学思想．
中，曲线的参数方程为为参数〕，假设以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为实数．
〔1〕求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
〔2〕假设曲线与曲线有公一共点，求的取值范围．
【答案】〔1〕，，〔2〕
【解析】
试题分析：〔1〕先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，注意参数对自变量范围的限制，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕联立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时的取值，结合图像确定的取值范围.
试题解析：解：〔Ⅰ〕因为，所以．
由
平方得：
又
两式相减得，
故曲线的普通方程为，．
另由得的直角坐标方程为．
〔Ⅱ〕如图，当直线过点时，；
当直线与相切时，
由得
由得，
从而，曲线与曲线有公一共点时，．
.
〔1〕求不等式的解集；
〔2〕假设不等式对于恒成立，务实数的取值范围.
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
试题分析：〔1〕绝对值函去绝对值得到分段函数，得的解集为；〔2〕由题意得，，即，解得。

试题解析：
〔1〕依题意，故不等式的解集为
〔2〕由〔1〕可得，当时，取最小值，对于恒成立，
∴，即，∴，
解之得，∴实数的取值范围是
点睛：绝对值函数根本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，此题中再进展分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以，解得答案。