初三数学下期中试卷带答案

初三数学下期中试卷带答案
一、选择题
1．如图所示，在△ABC 中， cos B ＝22，sin C ＝35，BC ＝7，则△ABC 的面积是( )
A ．212
B ．12
C ．14
D ．21
2．如图，直线12
y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝
k x
与一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
4．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A ．8米
B ．9米
C ．10米
D ．11米
5．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3，则AC 的长是( )
A ．10米
B ．53米
C ．15米
D ．103 6．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．a ：d ＝c ：b
B ．a ：b ＝c ：d
C ．c ：a ＝d ：b
D ．b ：c ＝a ：d 7．在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是
（ ）
A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）
8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴
的正半轴上，反比例函数
k
y
x
= (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若
BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是( )
A．9
2
B．
7
4
C．
24
5
D．12
9．若△ABC∽△A′B′C′且
3
4
AB
A B
=
''
,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）
cm.
A．18B．20 C．15
4
D．
80
3
10．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
4
C．
1
4
D．
1
3
11．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC 的平分线交AD于点E，则AE的长为
A．42
3
B．2C．
82
3
D．2
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比
例函数y2=c
x
（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不
等式y1＞y2的解集是（）
A．﹣3＜x＜2B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2
二、填空题
13．若点A(m，2)在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是____.
14．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝k
x
的图象过点A，则k＝_____．
15．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数
k
y
x
（x＜0）图象上的点，过点A作y轴
的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为______．
17．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为_____．
18．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）
19．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
20．如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF ，BC 的对应边B'C′与CD 交于点M ，若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为_____．
三、解答题
21．如图，等边ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，连接CD 、EF 交于点G ，且60CGF ∠=︒.
（1）请直接写出图中所有与BDC ∆相似的三角形（任选一对证明）；
（2）若45EF DC =，试求AE EC 的值.
22．已知：△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，用尺规求作一条过点B 的直线，使得截出的一个三角形与△ABC 相似．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．
24．已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，连接DE 交AC 于点F ．
() 1求证：四边形ADCE 为矩形；
()2当ABC V 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明． ()3在()2的条件下，若AB AC 22==，求正方形ADCE 周长．
25．如图，E 为□ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE 交AC 于点O ，交AD 于点F ，求证：BO EO FO BO
=．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：过点A 作AD ⊥BC ，∵△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22
=BD AB ，∴∠B=45°，∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则△ABC 的面积是：
12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A ．
考点：1．解直角三角形；2．压轴题．
2．D
解析：D
【解析】
因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02
x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:
2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2
b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122
b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12
y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 3．B
解析：B
【解析】
当k ＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A 、C 选项错误； ∵一次函数y=kx-1与y 轴交于负半轴，
∴D 选项错误，B 选项正确，
故选B ．
4．C
解析：C
如图所示，
AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，
在直角三角形AEC中，
AC=10米，
答：小鸟至少要飞10米．
故选C．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=13；
∴AC=BC÷3
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【详解】
解：A、a：d=c：b⇒ab=cd，故正确；
B、a：b=c：d⇒ad=bc，故错误；
C、d：a=b：c⇒dc=ab，故正确；
D、a：c=d：b⇒ab=cd，故正确．
故选B．
【点睛】
本题考查比例的基本性质，解题关键是根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.
【详解】
将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.
故选：B.
【点睛】
本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （
4
a ，
b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.
【详解】 ∵四边形OCBA 是矩形，
∴AB=OC ，OA=BC ，
设B 点的坐标为（a ，b ），
∵BD=3AD ，
∴D （4
a ，
b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上， ∴4
ab =k ， ∴E （a ， k a
）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-
12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=
245
， 故选：C
【点睛】 考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
9．B
解析：B
【解析】
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34
ABC AB A B C A B ''=''='V V 的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据旋转性质可知，∠B′=∠B ，把求tanB′的问题，转化为在Rt △BCD 中求tanB ．
【详解】
过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B ．
在Rt △BCD 中，tanB=
13CD BD =， ∴tanB′=tanB=
13
． 故选D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得2，在Rt △ABD 中，由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒=63
，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可
【详解】
∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC ，
∵AC=8，
∴AD=42， 在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=tan 60AD ︒=423
=46， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°=463⨯=42， ∴AE=AD-DE=42824233
-
=， 故选C.
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】一次函数y 1=kx+b 落在与反比例函数y 2=
c x 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】∵一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=
c x
（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，
∴不等式y 1＞y 2的解集是﹣3＜x ＜0或x ＞2，
故选C ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题
13．x≤－2或x ＞0【解析】【分析】先把点A （m2）代入解析式得A(22)再根据反比例函数的对称性求出A 点关于原点的对称点A （-2-2）再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值【详解】把点A （
解析：x≤－2或x ＞0
【解析】
【分析】
先把点A （m,2）代入解析式得A(2,2),再根据反比例函数的对称性求出A 点关于原点的对称点A ’（-2，-2），再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值.
【详解】
把点A （m,2）代入y ＝，
得A（2,2），
∵点A（2,2）关于原点的对称点A’为（-2，-2），
故当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围为x≤－2或x＞0.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用反比例函数的中心对称性.
14．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|
解析：-3
【解析】
【分析】
根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=k
x
的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y
轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．
【详解】
解：∵矩形ABOC的面积为3,
∴|k|=3.
∴k=±3.
又∵点A在第二象限,
∴k<0,
∴k=−3.
故答案为：−3.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.
15．﹣2【解析】∵反比例函数y=-6x的图象过点A（m3）∴3=-6m解得=-2
解析：﹣2
【解析】
∵反比例函数的图象过点A（m，3），
∴，解得.
16．-
2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积=得到|k|=2即可得到结论【详解】解：∵AB⊥y轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-
2【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义明确是解题的关
解析：-2
【解析】
【分析】
根据已知条件得到三角形ABC的面积=1
•=1
2
AB OB，得到|k|=2，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，
∴
111
•1
222
ABC
S AB OB x y k
====
g
三角形
，
∴2
k=，
∵0
k＜，
∴2
k=-，
故答案为：-2．【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确
1
•=1
2
ABC
S AB OB
=
V
是解题的关键．
17．【解析】【分析】如图所示连接BD过点D作DE垂直于BC的延长线于点E 构造直角三角形将∠CBD置于直角三角形中设CE为x根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC从而按正切函数的定义可解【详解】解：如
解析：31 2 -
【解析】
【分析】
如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为x，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【详解】
解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E,
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CEB＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝x，则CD2x，
在Rt △ACD 中，
∵∠CAD ＝30°，
∴tan ∠CAD=33＝CD AC ， 则AC ＝6x ，
在Rt △ABC 中，∠BAC ＝∠BCA ＝45°
∴BC ＝3x ， ∴在Rt △BED 中，tan ∠CBD ＝DE BE ＝(13)x +＝312
- 故答案为：
312
-． 【点睛】 本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
18．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>
【解析】
【分析】
由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离2QD =，点Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数
sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >
【详解】
由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：
设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC
由图可知2QD =1QC =
∴ 2sin QD AOP OP OP
∠== ,1sin QC BOP OP OP ∠==
∴sin sin AOP BOP ∠>∠, ∴m n OP OP
> ∴m n >
【点睛】
本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.
19．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故
解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.
【解析】
【分析】
根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．
【详解】
∵A A ∠∠= ，AD AE =，
∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；
添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；
添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，
故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
20．70°【解析】【分析】设∠BEF=α则∠EFC=180°﹣
α∠DFE=∠BEF=α∠CFE=40°+α依据∠EFC=∠EFC 即可得到180°﹣α=40°+α进而得出∠BEF 的度数【详解】∵∠C=∠C
解析：70°
【解析】
【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF 的度数．
【详解】∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，
∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，
∴180°﹣α=40°+α，
∴α=70°，
∴∠BEF=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
三、解答题
21．（1）GFC CFE ∆∆、；（2）
14 【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及∠CGF=60°，可以得出∠B=∠ACB=∠CGF=60°，可以得出△BDC ∽△GFC ∽△CFE ；
（2）由（1）△BDC ∽△CFE 可以得出EF CE DC BC = ，再根据条件45
EF DC =和三角形ABC 是等边三角形和线段的转化，就可以得出
AE EC 的值． 【详解】
解：（1）GFC CFE ∆∆、
∵等边ABC ∆，
∴∠B=∠ACB =60°
∵60CGF ∠=︒
∴∠B=∠ACB=∠CGF
又∵∠DCB=∠FCG
∴GFC BDC ∆∆∽
∵∠EFC=∠GFC
∴GFC CFE ∆∆∽
∴GFC CFE BDC ∆∆∽∽△
(2)∵△BDC ∽△CFE
45
45
41,54
EF CE DC BC
EF DC CE BC CE AE AC EC ∴
==∴=∆∴∴==Q Q 等边ABC AC=BC
即
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
22．答案见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形相似的作图解答即可．
【详解】
解：如图，直线BD即为所求．
【点睛】
此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．23．CE的长为（4+）米
【解析】
【分析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】
过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH
，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×
3
3
3
∵DH=1.5，
∴3，在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin ∠CED=CD CE ， ∴CE=23 1.5
3
+=（4+3）（米）， 答：拉线CE 的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
24．（1）证明见解析；（2）BAC 90∠=o 且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形；证明见解析；（3）8；
【解析】
【分析】
（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=
12∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ ∠CAE=12
（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA ，根据矩形的判定，可得答案；
（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD 与CD 的关系，根据正方形的判定，可得答案；
（ 3 ）根据勾股定理，可得AD 的长，根据正方形周长公式，可得答案．
【详解】
()1∵AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，
∴1CAD BAC 2
∠∠=． ∵AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线， ∴1CAE CAM 2∠∠=
． ∵BAC ∠与CAM ∠是邻补角，
∴BAC CAM 180∠∠+=o ，
∴()1CAD CAE BAC CAM 902
∠∠∠∠+=+=o ． ∵AD BC ⊥，CE AN ⊥，
∴ADC CEA 90∠∠==o ，
∴四边形ADCE 为矩形；
（2）BAC 90∠=o 且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形，
∵BAC 90∠=o 且AB AC =，AD BC ⊥，
∴1CAD BAC 452
∠∠==，ADC 90∠=o ， ∴ACD CAD 45∠∠==o ，
∴AD CD
=．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
()3由勾股定理，得
AB
=，AD CD
=，
=，
AD2
=，
正方形ADCE周长4AD428
=⨯=．
【点睛】
本题考查了的正方形的判定与性质,(1)利用了等腰三角形的性质,矩形的判定;(2)利用了正方形的判定;(3)利用了勾股定理,正方形的周长,灵活运用是关键.
25．见解析
【解析】
【分析】
由AB∥CD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由AD∥BC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而解答．
【详解】
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，
即：BO EO FO BO
=
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握行四边形的性质与相似三角形的判定与性质.。