【鲁教版】九年级数学下期末试题及答案

一、选择题
1．如图平面直角坐标系中，点A，B均在函数y＝k
x
（k＞0，x＞0）的图像上，⊙A与x
轴相切，⊙B与y轴相切，若点B（1，8），⊙A的半径是⊙B半径的2倍，则点A的坐标为（）
A．（2，2）B．（2，4）C．（3，4）D．（4，2）
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，BD平分∠ABC交⊙O于点D，交AC于点E，已知DE=2，DB=6，则阴影部分的面积为（）
A．2π-33B．4π-63C．4π-33D．π-23
3．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA的值最接近的是（）
A．8cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
4．已知：O的半径为2，3
OA=，则正确的图形可能为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（ ）
A ．2(2)1y x =++
B ．2(2)7y x =++
C ．2(2)1y x =--
D ．2(2)7y x =-- 6．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根
(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）
A ．m a b n <<<
B ．m a n b <<<
C ．a m n b <<<
D ．a m b n <<< 7．当函数21(1)23a
y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a = B ．1a =±
C ．1a ≠
D ．1a =- 8．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12
a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（ ）
A ．sin c b
B =⋅ B ．cos a c B =⋅
C ．tan a b B =⋅
D ．tan b c B =⋅ 10．如图，在ABC ∆中，AC BC ⊥，30ABC ︒∠=，点D 是CB 延长线上的一点，且AB BD =，则tan DAC ∠的值为（ ）
A ．33
B ．23
C ．23+
D ．23- 11．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．332
12．如图，菱形ABCD 的边长是2，∠B=120°，P 是对角线AC 上一个动点，E 是CD 的中点，则PE ＋PD 的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
二、填空题
13．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ；B 、E 是半圆弧的三等分点，BD 的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
14．如图，点A 、B 的坐标分别为()3,0A ，()0,4B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则的最大值为________．
15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程2ax bx c ++0(0)a =≠的根为___________．
16．将抛物线22()1y x =-+向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为______．
17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是________m ．
18．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部8m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪CD 的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为_____m ．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
19．如图，在一次数学课外实践活动中，小亮在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰
角为60°，测角仪高AD 为1.5m ，则旗杆高BC 为_____m （结果保留根号）．
20．如图，点D 在钝角ABC 的边BC 上，连接AD ，45B ∠=︒，CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，则CAD ∠的余弦值为__________．
21．若21cos 302
A tan
B -+-=，那么AB
C 的形状是_____． 22．在菱形ABC
D 中，AB=4cm ，AB=BD ，则菱形ABCD 的面积是______．
三、解答题
23．如图，AB 为O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．
（1）求证：CDE CBE ≅△△；
（2）若6AB =，填空：①当CD 的长是________时，OBE △是等腰三角形；②当BC =________时，四边形OADC 为菱形．
24．（概念认识）
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，若AB AD ⊥，
4AB =cm ，4cos 5ABD ∠=
，求AC 的长度， （数学理解） （2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在O 中，已知AB 是
O 的弦，只需作OD OA ⊥，OC OB ，分别交O 于点D 和点C ，即可得到垂等四边形ABCD ，请你写出证明过程． （问题解决）
（3）如图3，已知A 是O 上一定点，B 为O 上一动点，以AB 为一边作出O 的内接垂等四边形（A 、B 不重合且A 、B 、O 三点不共线），对角线AC 与BD 交于点E ，O 的半径为22，当点E 到AD 的距离为3时，求弦AB 的长度．
25．某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x （元/千克）（30x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），销售量为y （千克），销售利润为w 元．
（1）完成下表；
销售单价x （元/千克）
35 36 40 45 50 日销售量y （千克） 450
（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？
（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？
26．突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
（3）在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了每件商品的利润至少为25元的方案．则在此方案下，涨价多少元时每天的利润最大？最大利润是多少？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式，根据⊙B 与y 轴相切，即可求得⊙B 的半径，则⊙A 的半径即可求得，即得到B 的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．
【详解】
解：把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式得：k=8，
则函数的解析式是：y=8x ， ∵B 的坐标为（1，8），⊙B 与y 轴相切，
∴⊙B 的半径是1，
则⊙A 的半径是2，
把y=2代入y=8x
得：x=4， 则A 的坐标是（4，2）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及切线的性质，根据点B 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
证明△DAE ~△DBA ，求得DA 23=，由AB 是⊙O 的直径，利用勾股定理求得⊙O 的直径，求得∠ABD=30︒，∠COD=60︒，再利用OCD OCD S S S
=-阴影扇形即可求解．
【详解】
连接OC 、OD 、AD ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴AD CD =，
∴∠DAC=∠DBA ，
∴△DAE ~△DBA ， ∴DA DE DB DA =，即26DA DA
=， ∴212DA =，
∴
DA =
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90︒，
∴222AD BD AB +=，
∴
AB=
∴⊙O
的半径为
∵
DA=OA=OD =
∴△DOA 是等边三角形，
∴∠COD=∠AOD=60︒，
∴OCD OCD S S S =-阴影扇形
(
2601603602
π⨯=-⨯︒
2π=-
故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形与等边三角形的面积等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
先计算出QA 的长，由于图甲测得PC=12cm ，即圆的半径等于12cm ，在图乙中直角三角形OAQ 中利用30度角的三角函数可求得tan30°
=3=12AQ ，解得AQ
的值为
【详解】
解：如图甲，连结OP ，并设⊙O 与x 轴相切于点D ，图乙，连结OQ 、OA ，并设⊙O 与x 轴相切于点E ，
∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm，
由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，
∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，
∴tan∠QOA=AQ÷OQ，
即tan30°=
3
3
=
12
AQ
，
解得AQ=43
∵1.532，
∴6＜438．
故选B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．
4．C
解析：C
【分析】
根据圆的半径和OA的大小确定点A与圆的位置关系，从而作出判断即可．
【详解】
∵根据图的意义，得
OA=2，与OA=3矛盾，
∴A选项错误；
∵根据图的意义，得
OA＜2，与OA=3矛盾，
∴B选项错误；
∵根据图的意义，得
OA＞2，且离圆较近，与OA=3相符，
∴C选项正确；
∵根据图的意义，得
OA ＞2，且离圆较远，与OA=3不符合，
∴D 选项错误；
故选C ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握圆心到点的距离与圆的半径的大小比较是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【详解】
解：()()2
2243443421y x x x x x =-+=-++-=--． 故选：C ．
【点睛】
此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．
【详解】
设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，
∵一元二次方程()()2
50x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，
∵1＞0，
∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，
∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，
当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，
当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，
∵m ＜n ，
∴a ＜m ＜n ＜b ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关
键．
7．D
解析：D
【分析】
根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】
∵函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数，
∴a-1≠0，2a 1+=2，
∴a≠1，21a =，
∴1a =-，
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 8．C
解析：C
【分析】
由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．
【详解】
解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12
x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为
12212
⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，
∴抛物线的开口方向向下，即0a <，
根据“左同右异”可得0b >，
∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122c x x a =
=-， ∴21c a =->， 解得12
a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 9．B
解析：B
【分析】
根据∠B 的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．
【详解】
解：在△ABC 中，∠C=90°，
∵sinB=
b c ， ∴c=sin b B
，A 选项等式不成立； ∵cosB=
a c ， ∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；
∵tanB=
b a ， ∴a=tan b B
，C 选项等式不成立； ∵tanB=
b a ， ∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键． 10．C
解析：C
【分析】
设AC=x ，根据三角函数可得，，AB=2x ，求出DC 即可．
【详解】
解：设AC=x ，
∵AC BC ⊥，30ABC ︒∠=，
tan ∠ABC=AC BC
,
AC BC =
，
sin ∠ABC=AC AB , 12AC AB =, AB=2x ，
BD=2x ，
DC=2x+3x =(23)x +，
tan ∠DAC=
(23)23DC x AC x
+==+， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数和求三角函数值，解题关键是根据三角函数的定义，利用特殊角，表示出相关线段长． 11．D
解析：D
【分析】
先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB ，构造三角形ABC 与三角形ABE ，利用三角函数解直角三角形即可
【详解】
由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，
由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD 是6，BF=
1BD 2
=3，则边长AB 为3， 连AC 交BD 于E ，则AC ⊥BD ，
由左视图得AE=CE=x ，
在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=120°，
∴在Rt △ABE 中，∠BAE=30°，AB=3，
∴BE=
32，AE=AB•cos30°=332， 即x=332
． 故选择：D.
【点睛】
本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准
确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．
12．B
解析：B
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，∴点B 与点D 关于直线AC 对称.
如图，连接BE 与AC 相交于点P ，由轴对称确定最短路线问题，BE 的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD.
∵∠B=120°，∴∠BCD=180°−120°=60°.
又∵BC=CD ，∴△BCD 是等边三角形.
∵E 是CD 的中点， 3sin 60232
BE BC =⋅=⨯
= . 故选B.
二、填空题
13．【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数进而利用锐角三角函数关系得出BCAC 的长利用S △ABC-S 扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可【详解】解：连接BDBEBOEO ∵BE 是半圆弧的三
2736π- 【分析】
首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC ，AC 的长，利用S △ABC -S 扇形BOE =图中阴影部分的面积求出即可．
【详解】
解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，
∵B ，E 是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAD=∠EBA=30°，
∴BE ∥AD ，
∵BD 的长为2π，
∴602180ππ⋅⋅=R ∴R=6，
∴AD=12
∴AB=ADcos30°=63，
∴1332
==BC AB ， ∴39==AC BC ，
∴11273.339222
∆=
⨯⨯=⨯⨯=ABC S BC AC ∵△BOE 和△ABE 同底等高，
∴△BOE 和△ABE 面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S △ABC -S 扇形BOE =2276062733623602
ππ⨯-=- 故答案为：27362
π-
【点睛】
此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE 和△ABE 面积相等是解题关键．
14．3【分析】根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为1的⊙B 上通过画图可知C 在BD 与圆B 的交点时OM 最小在DB 的延长线上时OM 最大根据三角形的中位线定理可得结论【详解】解：如图∵点C 为坐标平面内一点BC ＝ 解析：3
【分析】
根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为1的⊙B 上，通过画图可知，C 在BD 与圆B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】
解：如图，∵点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，
∴C 在⊙B 上，且半径为1，
取OD ＝OA ＝3，连接CD ，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝1
2
CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝4，OD＝3，∠BOD＝90°，
∴BD＝5，
∴CD＝6，
∴OM＝1
2
CD＝3，即OM的最大值为3；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
15．x1=-1x2=3【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标【详解】解：根据图象知抛物线y=ax2+bx+c（
解析：x1=-1，x2=3
【分析】
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标．
【详解】
解：根据图象知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是(-1，0)，对称轴是x=1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是(x，0)，则
1
2
x
=1，
解得，x=3，
即该抛物线与x轴的另一个交点是(3，0)，
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x1=-1，x2=3．
故答案是：x 1=-1，x 2=3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题时，注意抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）间的转换．
16．【分析】根据左加右减上加下减的方法计算即可；【详解】由题可知向左平移2个单位长度可得：向下平移1个单位长度得；故答案为【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移准确计算是解题的关键
解析：2y x 【分析】
根据左加右减，上加下减的方法计算即可；
【详解】
由题可知，向左平移2个单位长度可得：22()2211=-++=+y x x ，向下平移1个单位长度得2211=+-=y x x ；
故答案为2y x ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键． 17．【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 将（25）与（60）代入解析式求得a 的值再令x=0求得y 的值即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 由题意可知抛物线的顶点为（25 解析：154
【分析】
设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a 的值，再令x=0，求得y 的值，即可得出答案．
【详解】
解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x 轴的一个交点为（6，0），
∴0=a （6-2）2+5，解得：516a
， ∴抛物线解析式为：25(2)516y x =-
-+ 当x=0时，2515(02)5164
y ==--+ ∴水管的长度OA 是
154m ． 故答案为：154
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．11【分析】根据题意作辅助线DE⊥AB然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长从而可以求得AB的长本题得以解决【详解】解：作DE⊥AB于点E由题意可得DE＝CD＝8m∵∠ADE＝50°∴AE＝DE•ta
解析：11
【分析】
根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．
【详解】
解：作DE⊥AB于点E，
由题意可得，DE＝CD＝8m，
∵∠ADE＝50°，
∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），
∵BE＝CD＝1.5m，
∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．(15+)【分析】首先过点A作AE∥DC交BC于点E则
AE=CD=10mCE=AD=15m然后在Rt△BAE中∠BAE=60°然后由三角形函数的知识求得BE的长继而求得答案【详解】如图过点A作AE∥
解析：(1.5+103
【分析】
首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1.5m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
【详解】
如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，
则AE=CD=10m ，CE=AD=1.5m ，
∵在Rt △BAE 中，∠BAE=60°，
∴BE=AE•tan60°=103m ），
∴BC=CE+BE=1.5+103m ），
∴旗杆高BC 为(1.5+103，
故答案为：(1.5+103．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解题的关键是想添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．【分析】作AH ⊥BC 于H 设AC ═CD=5k 则BC=7k 设AH=BH=x 在Rt △ACH 中利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值）然后表示ADDH 利用余弦的定义即可求得【详 10 【分析】
作AH ⊥BC 于H ，设AC ═CD=5k ，则BC=7k ，设AH=BH=x ，在Rt △ACH 中，利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示，求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值），然后表示AD ，DH ，利用余弦的定义即可求得．
【详解】
解：如图作AH ⊥BC 于H ，
∵CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，
设AC ═CD=5k ，BC=7k ，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH ，设AH=BH=x ，
在Rt △ACH 中，
∵AH 2+HC 2=AC 2，
∴x 2+（7k-x ）2=（5k ）2，
解得x=3k 或4k ，
当x=4k 时，即AH=4k ，HC=7k-4k=3k ，
AH>HC ，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA ，
又∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠HAC<45°，
∴∠BAC<90°，与△ABC 为钝角三角形矛盾，故x=4k 舍去，
当x=3k 时，
∴BH=AH=3k ，HC=7k-3k=4k ，DH=k ， ∴2210AD AH DH k +=, ∴10cos cos 10DH CAD ADH AD k ∠=∠=
==． 10 【点睛】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定定理，勾股定理，一元二次方程的应用等．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，注意作辅助线时尽量不要破坏已给的角． 21．锐角三角形【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A 和∠B 的度数然后根据三角形内角和求出∠C 的度数即可得到答案【详解】∵∴cos2A-=0tan-=0∴cosA=（负值舍
解析：锐角三角形
【分析】
根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A 和∠B 的度数，然后根据三角形内角和求出∠C 的度数，即可得到答案．
【详解】
∵21cos 302A tanB -+-=， ∴cos 2A-12
=0，tan-3=0， ∴cosA=22
±
（负值舍去），tanB=3， ∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC 是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形
【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
22．【分析】根据菱形的性质结合AB=BD 得到△ABD 是等边三角形再利用锐角三角函数关系得出BE 的长即可得出菱形的面积【详解】∵在菱形ABCD 中AB=BD ∴AB=AD=BD=4(cm)∴△ABD 是等边三角
解析：283cm
【分析】
根据菱形的性质结合AB=BD ，得到△ABD 是等边三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE 的长，即可得出菱形的面积．．
【详解】
∵在菱形ABCD 中，AB=BD ，
∴AB=AD=BD=4(cm)，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠A=60°，
过点B 作BE ⊥AD 于E ，
∴BE=AB•sin60°=4323=， ∴菱形ABCD 的面积S=AD×BE 42383=⨯=(2cm )，
故答案为：283cm
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，得出BE 的长是解题关键．
三、解答题
23．（1）见解析；（2）①
34
π；②3 【分析】
（1）根据题意可证//OC AD ，OC BD ⊥，再结合垂径定理即可证明
（2）①根据等腰三角形的性质，结合（1）得CD CB =根据等弦对等弧得CD BC =，再根据弧长公式求解即可；②根据菱形的性质即可求解
【详解】
解：（1）∵过点C 作O 的切线l ，
∴OC l ⊥，
∵AD l ⊥，
∴//OC AD ，
∵AB 为O 的直径，点D 为AB 上方的圆上一点，
∴AD BD ⊥，
∴BD OC ⊥ 90CED CEB ∴∠=∠=︒，
∴点E 为BD 中点，
∴BE DE =，
∴在CDE △和CEB △中
DB BE CED CEB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()CDE CBE SAS ≅；
（2）①若OBE △为等腰三角形，
OC BD ⊥ ∴OBE △为等腰直角三角形
∴45EOB EBO ∠=∠=︒
CDE CBE ≅△△
CD CB ∴=
CD BC ∴=
6
345331801804
AB OB n r BC πππ=∴=⨯∴=== 34
CD π∴=
∴当34
CD π=时OBE △为等腰三角形 ②若四边形OADC 为菱形
132
AO OC CD DA AB ∴===== CD BC =
3BC ∴=
∴当3BC =时OADC 为菱形
【点睛】
本题考查了切线的性质定理，平行线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上性质和定理是解题关键．
24．（1）5；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可；
（2）连结AC ，DB 并相交于点E ，证明AC BD ⊥，得到AOC △≌BOD ，证明AC BD =，即可得到结果；
（3）方法一：连接DO ，AO ，根据已知条件求出AD ，DE ，再根据相似三角形的性质列式计算即可；方法二：通过已知条件证明Rt AOD 和Rt ABE △是等腰直角三角形，在根据条件计算即可；
【详解】
（1）由垂等四边形的定义得AC BD =，又∵AB AD ⊥， ∴5cos AB DB ABD
==∠， ∴5AC BD ==．
（2）如图1，连结AC ，DB 并相交于点E ，
∵OC OB ，OD OA ⊥， ∴1452
ACD AOD ∠=∠=︒，1452BDC BOC ∠=∠=︒， ∴90DEC ∠=︒，即AC BD ⊥，
∵AO DO =，BO CO =，AOC DOB ∠=∠，
∴AOC △≌BOD ，
∴AC BD =．
∵AC BD =，AC BD ⊥，
∴四边形ABCD 是垂等四边形．
（3）方法一：
连接DO ，AO ，由（2）可得等腰Rt AOD ， ∴
4AD -，
作EF AD ⊥，易证得Rt DFE △∽Rt EFA △，
∴2FE DF AF =⋅，
设DF x =，4AF x =-，可得方程()43-=x x ，
解得11x =（如图2），23x =（如图3），
∴2DE =或23， 作OG AB ⊥，
∵12
AOG AOB EDF ∠=∠=∠， ∴Rt DFE
△∽Rt OGA ， ∴AO AG DE EF
=， ∴6AO EF AG DE ⋅=
=或2， ∴226AB AG ==（如图2）或22（如图3）．
方法二：
∵AC BD =且AC BD ⊥， ∴AC BD =，
∴AD BC =，
∴()1180452ABE BAE AEB ∠=∠=
︒-∠=︒， ∴90AOD ∠=︒，
∴Rt AOD 和Rt ABE △是等腰直角三角形，
∴24AD AO ==
由方法一得2DE =或2322AE AD DE =
-AE 23=2，
∴226AB AE =22
【点睛】
本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键．
25．（1）420；300；150；0；（2）301500y x =-+；（3）38元/千克；（4）销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元．
【分析】
（1）根据题意，填写表格即可；
（2）设y kx b =+，将(35,450)、(40,300)代入，可得出k 、b 的值，继而得出y 与x 的函
数关系式；
（3）每天的总利润=每天的销量⨯每千克的利润，从而可得一元二次方程，利用配方法求解最值即可；
（4）由（3）知，日销售利润()()()2
3015003030403000w x x x =-+-=--+，据此求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意，填表如下：
设其函数表达式为y kx b =+．则40300500k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得30k =-，1500b =．
∴所求的函数表达式为301500y x =-+．
（3）日销售利润为()()()3030150030w y x x x =-=-+-，
由题意，得()()301500302880x x -+-=．
整理，得28015960x x -+=．
解得142x =，238x =．
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴舍去142x =，保留238x =．
答：为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为38元/千克．
（4）由（3）知，日销售利润()()30150030w x x =-+-，
即()222(302400450003080150030403000)w x x x x x =-+-=--+=--+． ∵300-<，
∴当40x =时，3000w 最大值=元．
故这批藜麦的销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出利润w 与售价x 的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．
26．（1）商品的售价32元，进价为24元；（2）每件商品应涨价4元；（3）按照方案要求，涨价17元时的销售利润最大，最大利润为2875元．
【分析】
（1）根据题目，设出未知数，列出二元一次方程组即可解答；
（2）根据题目：利润=每件利润×销售数量，列出一元二次方程求解；
（3）利用二次函数的性质，以及一元一次不等式，即可求出答案．
【详解】
解：（1）该商品的售价x 元，进价为y 元，
由题意得：868x y x y =+⎧⎨=⎩，解得：3224x y =⎧⎨=⎩
， ∴商品的售价32元，进价为24元．
（2）设每件商品涨价m 元，由题意得：(3224)(2005)2160m m +--=．
25(16)28802160m ∴--+=，
解得：128m =，24m =．
使销量尽可能大，
128m ∴=不合题意，舍去，
答：每件商品应涨价4元．
（3）设销售该商品获得的利润为w 元，涨价m 元，
25(16)2880w m ∴=--+
每件商品的利润至少为25元，
即每件的售价应涨价：322425m +-≥，解得：17m ≥，
50a =-<，
∴当17m =时，利润最大，最大利润为25(1716)28802875w =--+=元． ∴按照方案要求，涨价17元时的销售利润最大，最大利润为2875元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握实际问题模型是解答此题的关键．。