2023-2024学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．135°
2．已知双曲线C ：x 2−y 2
2
=1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2x
B ．y ＝±2x
C ．y =±
√2
2
x
D ．y =±1
2
x
3．各项为正的等比数列{a n }中，a 2•a 8＝16，则a 5＝（ ） A ．4
B ．2
C ．1
D ．8
4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AC →
=a →
，AB →
=b →
，AA 1→
=c →
，则CB 1=（ ）
A ．a →
+b →
−c →
B ．a →
−b →
+c →
C ．−a →
+b →
−c →
D ．−a →
+b →
+c →
5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n ﹣1站多n 千瓶（n ≥2且n ∈N *），第10站准备的饮用水的数量为（ ） A ．45千瓶
B ．50千瓶
C ．55千瓶
D ．60千瓶
6．已知A （2，0），B （8，0），若直线y ＝kx 上存在点M 使得AM →
⋅BM →
=0，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[−34，34
]
B ．[−43，4
3
]
C ．(−∞，−34]∪[3
4
，+∞)
D ．(−∞，−43]∪[4
3
，+∞)
7．已知双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)，其中A 、F 2分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的
点，满足PF 2垂直于x 轴且|AF 2|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．3
2
B ．43
C ．2
D ．3
8．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为
直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（ ）
A ．
√22
B ．
√63
C ．
√74
D ．
√10
5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．一条光线从点A （﹣2，3）射出，射向点B （1，0），经x 轴反射后过点C （a ，1），则下列结论正确的是（ ）
A ．直线A
B 的斜率是﹣1 B ．AB ⊥BC
C ．a ＝3
D ．|AB|+|BC|=4√2
10．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：
x 225
+y 216
=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，
则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为6 B ．△PF 1F 2的周长为16 C ．2≤|PF 1|≤8
D ．△PF 1F 2的面积的最大值为16
11．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别满足D 1P →
=λD 1B 1→
，DQ →
=λDA 1→
，则（ ） A ．∃λ∈（0，1），使PQ ⊥A 1D 且PQ ⊥B 1D 1
B ．∀λ∈（0，1），PQ ∥平面ABB 1A 1
C ．∃λ∈（0，1），使PQ 与平面ABC
D 所成角的正切值为23
D ．∀λ∈（0，1），BP 与AQ 是异面直线
12．已知集合A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ﹣2，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．a 2＝3 B ．a n +4﹣a n ＝6
C ．a 2023＝3035
D ．若S n ＞2024，则n ≥52
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a →
=（2，1，1），b →
=（﹣6，λ，﹣3），若a →
∥b →
，则λ的值为 ． 14．已知等差数列{a n }首项a 1＝7，公差d ＝﹣2，则前n 项和S n 的最大值为 ． 15．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：mx +y ﹣m ﹣1＝0，直线l 被圆C 截得的最短弦长为 ．
16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，过点A 作垂直于x 轴的直线交C 于点D ，若点M 是△ABD 的外心，则
|AB|
|MF|的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }，满足2a 2+a 5＝15，a 4＝7． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =(−1)n a n ，求{b n }的前2n 项和T 2n ．
18．（12分）已知圆心为C 的圆经过O （0，0），A(0，2√3)两点，且圆心C 在直线l ：y =√3x 上． （1）求圆C 的标准方程；
（2）点P 在圆C 上运动，求|PO |2+|P A |2的取值范围．
19．（12分）已知抛物线的准线方程为x ＝﹣2，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）若△OAB 为等腰直角三角形，求△OAB 的面积；
（2）若OA ⊥OB ，证明：直线l 过定点P ，并求出定点P 的坐标．
20．（12分）如图（1）所示△P AB 中，AP ⊥AB ，AB ＝AP ＝12．D ，C 分别为P A ，PB 中点．将△PDC 沿DC 向平面ABCD 上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =6√2．连接P A ，PB ，PC 得到四棱锥P ﹣ABCD ．记PB 的中点为N ，连接CN ． （1）证明：CN ⊥平面P AB ；
（2）点Q 在线段CN 上且QC ＝2QN ，连接AQ ，PQ ，求平面P AQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．
21．（12分）设数列{a n }，其前n 项和为S n ，2S n =3n 2+3n ，{b n }为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3＝729，b 1+a 2＝b 3﹣a 6．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）记c m 为{b n }在区间(0，a m ](m ∈N ∗)中的项的个数，求数列{c m }的前100项和T 100．
22．（12分）在平面直角坐标系，xOy 中，设A 1，A 2两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线A 1M ，A 2M 相交于点M ，且它们的斜率之积是−12
．
（1）求动点M 的轨迹方程；
（2）记动点M 的轨迹为曲线E ，过P （1，0）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与曲线E 交于A 、B 两点，l 2与曲线E 交于C 、D 两点，求AC →⋅BD →
的最大值．
2023-2024学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．135°
解：直线x ﹣y +1＝0的斜率为k ＝1，所以倾斜角为α＝45°． 故选：A ．
2．已知双曲线C ：x 2
−y 2
2
=1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y =±√2x
B ．y ＝±2x
C ．y =±
√2
2
x
D ．y =±1
2
x
解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为x ±√2
=0，即y ＝±√2x ，
故选：A ．
3．各项为正的等比数列{a n }中，a 2•a 8＝16，则a 5＝（ ） A ．4
B ．2
C ．1
D ．8
解：∵数列{a n }是各项为正数的等比数列，∴由等比中项的概念得：a 5=√a 2⋅a 8=√16=4． 故选：A ．
4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AC →
=a →
，AB →
=b →
，AA 1→
=c →
，则CB 1=（ ）
A ．a →
+b →
−c →
B ．a →
−b →
+c →
C ．−a →
+b →
−c →
D ．−a →
+b →
+c →
解：CB 1→
=CA →
+AA 1→
+A 1B 1→
=−AC →
+AA 1→
+AB →
=−a →
+b →
+c →
． 故选：D ．
5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n ﹣1站多n 千瓶（n ≥2且n ∈N *），第10站准备的饮用水的数量为（ ）
A ．45千瓶
B ．50千瓶
C ．55千瓶
D ．60千瓶
解：设第n 站的饮用水的数量为a n ，（n ＝1，2，3…10）， 由题意得，a 1＝1，a 2﹣a 1＝2，a 3﹣a 2＝3，…，a 10﹣a 9＝10， 以上等式相加得，a 1+a 2﹣a 1+…+a 10﹣a 9＝1+2+3+…+10＝55， 即a 10＝55． 故选：C ．
6．已知A （2，0），B （8，0），若直线y ＝kx 上存在点M 使得AM →
⋅BM →
=0，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[−34，34
]
B ．[−43，4
3
]
C ．(−∞，−34]∪[3
4
，+∞)
D ．(−∞，−43]∪[4
3
，+∞)
解：因为AM →
⋅BM →
=0，所以AM ⊥BM ，所以点M 在以AB 为直径的圆上， 因为AB 的中点坐标为（5，0），|AB |＝6， 所以点M 的轨迹方程为：（x ﹣5）2+y 2＝9，
由题知，直线y ＝kx 与圆（x ﹣5）2+y 2＝9有公共点， 所以
√k 2+1≤3，解得−34≤k ≤3
4．
故选：A ． 7．已知双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)，其中A 、F 2分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的
点，满足PF 2垂直于x 轴且|AF 2|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．3
2
B ．43
C ．2
D ．3
解：∵双曲线x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)，其中A 、F 2分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上
的点，满足PF 2垂直于x 轴且|AF 2|＝2|PF 2|， ∴|AF 2|＝a +c ，|PF 2|=b
2
a
，
∴a +c ＝2×b 2
a ，可得2c 2﹣3a 2﹣ac ＝0，即2e 2﹣e ﹣3＝0，解得e =3
2
，（负值舍）．
故选：A ．
8．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（ ）
A ．
√22
B ．
√63
C ．
√74
D ．
√10
5
解：把平面展开图还原为空间正八面体，如图所示：
正八面体的八个顶点都在球面上，故正八面体外接球的球心为正方形ACFD 的中心O ，
半径R =OA =12AF =1
2√12+12=√22
，
∵平面ABC ∥平面DEF ，
∴异面直线AB 与DE 的距离为平面ABC 与平面DEF 的距离， 又O 到平面ABC 的距离与O 到平面DEF 的距离相等， ∴直线AB 与DE 的距离为O 到平面ABC 的距离2倍， ∵V O ﹣ABC ＝V B ﹣AOC ，
∴13S △ABC ⋅ℎ=1
3
S △AOC ⋅OB ， ∴
√34ℎ=12×√22×√22×√22
，∴h =√66，
∴异面直线AB 与DE 的距离为
√63
， 则点P 到直线AB 的距离的最小值为√63
． 故选：B ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．一条光线从点A （﹣2，3）射出，射向点B （1，0），经x 轴反射后过点C （a ，1），则下列结论正确的
是（ ）
A ．直线A
B 的斜率是﹣1 B ．AB ⊥BC
C ．a ＝3
D ．|AB|+|BC|=4√2
解：由题意可得点A （﹣2，3）关于x 轴的对称点为A '（﹣2，﹣3）， 则A ′在直线BC 上，所以直线BC 的斜率为k =−3−1−2−a =4
2+a
， 又直线AB 的斜率为
3−0−2−1
=−1，所以
42+a
=1，解得a ＝2，
则直线BC 的斜率为1，所以AB ⊥BC ， 又|AB |=√(−2−1)2+(3−0)2=3√2 |BC |=√(2−1)2+(1−0)2=√2，
所以|AB|+|BC|=4√2，故ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ．
10．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：
x 225
+
y 216
=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，
则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为6 B ．△PF 1F 2的周长为16 C ．2≤|PF 1|≤8
D ．△PF 1F 2的面积的最大值为16
解：由椭圆C ：
x 225
+y 216
=1，得a ＝5，b ＝4，c ＝3，
∴椭圆C 的焦距为6，故A 正确；
又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△PF 1F 2的周长为2a +2c ＝16，故B 正确； 2＝a ﹣c ＜|PF 1|＜a +c ＝8，故C 错误；
当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△PF 1F 2的面积取最大值为1
2
×2c ×b =bc =12，故D 错误．
故选：AB ．
11．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别满足D 1P →
=λD 1B 1→
，DQ →
=λDA 1→
，则（ ） A ．∃λ∈（0，1），使PQ ⊥A 1D 且PQ ⊥B 1D 1
B ．∀λ∈（0，1），PQ ∥平面ABB 1A 1
C ．∃λ∈（0，1），使PQ 与平面ABC
D 所成角的正切值为23
D ．∀λ∈（0，1），BP 与AQ 是异面直线 解：如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意可知P （λ，λ，1），Q （λ，0，λ），A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），B （1，1，0），A （1，0，0），
则PQ →
=(0，−λ，λ−1)，DA 1→
=(1，0，1)，BP →
=(λ−1，λ−1，1)，AQ →
=(λ−1，0，λ)， 平面ABB 1A 1的一个法向量为m →
=(1，0，0)，平面ABCD 的一个法向量为n →
=(0，0，1)， 对于A ，若PQ ⊥A 1D ，则PQ →
⋅DA 1→=(0，−λ，λ−1)⋅(1，0，1)=λ−1=0 ⇒λ＝1∉（0，1），故A 错误；
对于B ，易知PQ →
⋅m →
=(0，−λ，λ−1)⋅(1，0，0)=0恒成立，且PQ ⊄平面ABB 1A 1， 则PQ ∥平面ABB 1A 1，故B 正确；
对于C ，设PQ 与平面ABCD 所成角为α(α∈[0，π
2
])，
若tanα=
23⇒sinα=2√13
， 即sinα=|cosPQ →
，n →
|=|
PQ →⋅n
→
|PQ →
|⋅|n →
|
|=
|λ−1|
√(λ−1)2+λ2
=
2√13
，解之得λ=3
5或λ＝3，
显然∃λ∈（0，1），使得结论成立，故C 正确；
对于D ，因为BP →
=(λ−1，λ−1，1)，AQ →
=(λ−1，0，λ)，
若BP →
，AQ →
共线，则存在实数k ，使得BP →
=kAQ →
⇒{λ−1=k(λ−1)
λ−1=k ×01=kλ
，解得λ＝1∉（0，1），
所以∀λ∈(0，1)，BP →，AQ →
不共线，故D 正确． 故选：BCD ．
12．已知集合A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ﹣2，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．a 2＝3 B ．a n +4﹣a n ＝6
C ．a 2023＝3035
D ．若S n ＞2024，则n ≥52
解：由A ∩B ＝{x |x ＝6n ﹣5，n ∈N *}，可得A ∪B ＝{1，3，4，5，7，9，10，11，13，15，16，17，19，...}，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝10，a 8＝11，…，
可得a n +4﹣a n ＝6，故A 正确，B 正确；a 2023＝a 4×505+3＝a 3+6×505＝4+3030＝3034，故C 错误； 考虑数列{a n }中每个四个一组求和，构成等差数列，首项为13，公差为24，由13×12+1
2×12×11×24
＝1740＜2024，13×13+1
2
×13×12×24＝2041＞2024，
则S n ＞2024，有n ≥52，故D 正确． 故选：ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a →
=（2，1，1），b →
=（﹣6，λ，﹣3），若a →
∥b →
，则λ的值为 ﹣3 ． 解：a →
=（2，1，1），b →
=（﹣6，λ，﹣3），a →
∥b →
，则−62
=
λ1
=
−31
，解得λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．已知等差数列{a n }首项a 1＝7，公差d ＝﹣2，则前n 项和S n 的最大值为 16 ． 解：等差数列{a n }首项a 1＝7，公差d ＝﹣2， ∴S n ＝7n +
n(n−1)
2
×(−2)=−n 2+8n ＝﹣（n ﹣4）2+16．则前n 项和S n 的最大值为16． 故答案为：16．
15．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：mx +y ﹣m ﹣1＝0，直线l 被圆C 截得的最短弦长为 2√2 ． 解：因为直线mx +y ﹣m ﹣1＝m （x ﹣1）+y ﹣1＝0经过定点A （1，1），
当AC 与直线垂直时，弦心距d ＝|AC |=√2，此时弦长最短，则弦长为2√4−2=2√2． 故答案为：2√2．
16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，过点A 作垂直于x 轴的直线交C 于点D ，若点M 是△ABD 的外心，则|AB|
|MF|的值为 2 ． 解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0）， 依题意可设直线l 的方程为x ＝my +1，m ≠0， 联立{
x =my +1
y 2
=4x
，得y 2﹣4my ﹣4＝0，Δ＝16m 2+16＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 1，0）， 则y 1+y 2＝4m ，y 1•y 2＝﹣4， x 1+x 2＝my 1+1+my 2+1＝4m 2+2，
又抛物线的准线方程为x ＝﹣1，由抛物线的定义，
得|AB|＝|AF|+|BF|＝（x1+1）+（x2+1）＝4m2+4，设AB的中点坐标为（x0，y0），
则x0=x1+x2
2
=2m2+1，y0=
y1+y2
2
=2m，
线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣2m2﹣1），因为AD的垂直平分线所在直线的方程为y＝0，
所以点M（2m2+3，0），|MF|＝2m2+3﹣1＝2m2+2，
所以|AB|
|MF|
=
4m2+4
2m2+2
=2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n}，满足2a2+a5＝15，a4＝7．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=(−1)n a n，求{b n}的前2n项和T2n．
解：（1）由已知，得{2(a1+d)+a1+4d=15
a1+3d=7
，解得{
a1=1
d=2
，故a n＝2n﹣1；
（2）由b n=(−1)n(2n−1)，
得T2n＝﹣1+3﹣5+7+⋯﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）＝2n．
18．（12分）已知圆心为C的圆经过O（0，0），A(0，2√3)两点，且圆心C在直线l：y=√3x上．（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在圆C上运动，求|PO|2+|P A|2的取值范围．
解：（1）因为圆心C在直线l：y=√3x上，
所以设圆心C的坐标为（a，√3a），
所以圆C的方程为（x﹣a）2+（x−√3a）2＝r2（r＞0），
因为圆经过O（0，0），A(0，2√3)两点，
所以{(0−a)2+(0−√3a)2=r2
(0−a)2+(2√3−√3a)2=r2
，解得{
a=1
r=2
，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√3）2＝4，（2）因为点P在圆C上运动，设P（x，y），
所以|PO|2+|P A|2＝x2+y2+x2+（y﹣2√3）2
＝2x2+2y2﹣4√3y+12
＝2[（x﹣1）2+（y−√3）2]+4x+4
＝4x+12，
因为﹣1≤x≤3，
所以8≤4x+12≤24，
所以|PO|2+|P A|2的取值范围是[8，24]．
19．（12分）已知抛物线的准线方程为x＝﹣2，直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若△OAB为等腰直角三角形，求△OAB的面积；
（2）若OA⊥OB，证明：直线l过定点P，并求出定点P的坐标．
解：（1）因为抛物线的准线为x＝﹣2，所以抛物线的方程为y2＝8x，
若△AOB为等腰直角三角形，此时∠AOB＝90°，OA＝OB，则直线OA的方程为y＝x，
联立{y=x
y2=8x，解得x＝y＝8，即A（8，8），
则S△OAB=1
2
×8×(8+8)=64；
（2）证明：不妨设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立{x=my+n
y2=8x
，消去x并整理得y2﹣8my﹣8n＝0，此时Δ＝64m2+32n＞0，
由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，
因为OA⊥OB，所以k OA⋅k OB=y1y2
x1x2
=−1，即y1y2+x1x2＝0，
因为A，B两点都在抛物线y2＝8x上，所以x1=y12
8
，x2=
y22
8
，则x1x2=
y12y22
64
=n2，
即y1y2+x1x2=n2−8n=0，解得n＝8或n＝0（舍去），
当n＝8时，满足Δ＞0，
此时直线l的方程x＝my+8．
故直线l过定点P（8，0）．
20．（12分）如图（1）所示△P AB中，AP⊥AB，AB＝AP＝12．D，C分别为P A，PB中点．将△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA=6√2．连接P A，PB，PC得到四棱锥P﹣ABCD．记PB的中点为N，连接CN．
（1）证明：CN⊥平面P AB；
（2）点Q在线段CN上且QC＝2QN，连接AQ，PQ，求平面P AQ与平面ABCD的夹角的余弦值．
解：（1）证明：因为在图（1）中D为P A中点，P A＝12，
所以PD ＝AD ＝6，
又在图（2）中P A ＝6√2，
所以PD 2+AD 2＝P A 2，
所以PD ⊥AD ，
在图（1）中D ，C 分别为P A ，PB 中点，
所以DC ∥AB ，
又图（1）P A ⊥AB ，
所以DC ⊥P A ，
所以在图（2）中PD ⊥AD ，DC ⊥PD ，AD ⊥DC ，
以D 为原点，DP ，DA ，DC 所在直线分别为z ，x ，y 轴，建立空间直角坐标系：
则D （0，0，0），A （6，0，0），B （6，12，0），C （0，6，0），P （0，0，6），N （3，6，3）， CN →=（3，0，3），
设平面P AB 的法向量为m →=（x ，y ，z ），
又AP →=（﹣6，0，6），AB →=（0，12，0），
所以{AP →⋅m →=−6x +6z =0
AB →⋅m →=12y =0
，
令x ＝1，则y ＝0，z ＝1，
所以m →=（1，0，1），
所以CN →=3m →，
所以CN →∥m →，
所以CN ⊥面P AB ．
（2）由（1）知CN →=（3，0，3），
因为点Q 在线段CN 上且QC ＝2QN ，
所以CQ →=23
CN →， 所以（x Q ，y Q ﹣6，z Q ）=23
（3，0，3）， 所以x Q ＝2，y Q ＝6，z Q ＝2，
所以Q （2，6，2），
QP →=（﹣2，﹣6，4），QA →=（4，﹣6，﹣2），
设平面P AQ 的法向量为n →=（a ，b ，c ），
{QP →⋅n →=−2a −6b +4c =0
QA →⋅n →=4a −6b −2c =0
，令a ＝1，则b =13
，c ＝1， 所以n →=（1，13，1）， 平面ABCD 的法向量为DP →=（0，0，6），
所以cos ＜n →，DP →＞=n →⋅DP →
|n →||DP →|=(1，13，1)⋅(0，0，6)√12+(13)2
+12⋅6=3√1919
， 所以平面P AQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值为3√1919
． 21．（12分）设数列{a n }，其前n 项和为S n ，2S n =3n 2+3n ，{b n }为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3＝729，
b 1+a 2＝b 3﹣a 6．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）记c m 为{b n }在区间(0，a m ](m ∈N ∗)中的项的个数，求数列{c m }的前100项和T 100． 解：（1）对于数列{a n }，因为2S n =3n 2+3n ①，
所以2S n−1=3(n −1)2+3(n −1)，n ≥2，n ∈N ∗②，
①﹣②得a n =3n(n ≥2，n ∈N ∗)，
由①式，当n ＝1时，得a 1＝3，也满足a n ＝3n ，
所以a n =3n(n ∈N ∗)；
因为数列{b n }为等比数列，
由等比数列的性质得b 1b 2b 3=b 23=729，得b 2＝9，
设数列{b n }的公比为q ，又因为a 2＝6，a 6＝18，
所以b 1+a 2＝b 3﹣a 6，即9q
+6=9q −18，解得q ＝3或−13， 又因为{b n }为单调递增的等比数列，所以q ＝3，
所以b n =3n (n ∈N ∗)；
（2）由于31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
所以c 1，c 2对应的区间为（0，3]，（0，6]，则c 1＝c 2＝1，即有2个1，
c 3，c 4，⋯，c 8对应的区间为（0，9]，（0，12]，⋯，（0，24]，则c 3＝c 4＝⋯＝c 8＝2，即有6个2， c 9，c 10，⋯，c 26对应的区间为（0，27]，（0，30]，⋯，（0，78]，则c 9＝c 10＝⋯＝c 26＝3，即有18个3， c 27，c 28，⋯，c 80对应的区间为（0，81]，（0，84]，⋯，（0，240]，则c 27＝c 28＝⋯＝c 80＝4，即有54个4，
c 81，c 82，⋯，c 100对应的区间为（0，243]，（0，246]，⋯，（0，300]，则c 81＝c 82＝⋯＝c 100＝5，即有20个5，
所以T 100＝1×2+2×6+3×18+4×54+5×20＝384．
22．（12分）在平面直角坐标系，xOy 中，设A 1，A 2两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线A 1M ，
A 2M 相交于点M ，且它们的斜率之积是−12
． （1）求动点M 的轨迹方程；
（2）记动点M 的轨迹为曲线E ，过P （1，0）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与曲线E 交于A 、B 两点，l 2与曲线E 交于C 、D 两点，求AC →⋅BD →
的最大值．
解：（1）设M （x ，y ），由直线A 1M ，A 2M 的斜率之积是−12
， 则y x+2×y x−2=−12，整理得x 24+y 22=1(x ≠±2)， 所以动点M 的轨迹方程为x 24+y 22=1(x ≠±2)．
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），
由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为my ＝x ﹣1，
联立方程{x =my +1
x 24+y 22
=1，消去x 可得：（2+m 2）y 2+2my ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−3m 2+2
， 因为AB ⊥CD ，则AC →•BD →=（PC →−PA →）•（PD →−PB →）=PA →•PB →+PC →•PD →，
所以PA →⋅PB →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(my 1)(my 2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2=−3(m 2+1)m 2+2
， 同理，用−1m 代换m ，可得PC →⋅PD →=(x 3−1)(x 4−1)+y 3y 4=(1+1m 2)y 3y 4=−3(m 2+1)2m 2+1
， 所以AC →•BD →=PA →•PB →+PC →•PD →=−3(m 2+1)m 2+2−3(m 2+1)2m 2+1=−9(m 2+1)2
(m 2+2)(2m 2+1)， 因为m 2+2
m 2+1
+2m 2+1m 2+1=3，所以m 2+2m 2+1×2m 2+1m 2+1≤(32)2=94， 所以AC →⋅BD →=−9(m 2+1)2(m 2+2)(2m 2+1)=−9m 2+2m 2+1×2m 2+1m 2+1≤−994
=−4， 当且仅当m 2+2＝m 2+1，即m ＝±1时等号成立，
所以当m ＝±1时，AC →⋅BD →
的最大值为﹣4．。