数学七年级上册 压轴解答题(培优篇)(Word版 含解析)

数学七年级上册 压轴解答题（培优篇）（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a n 与层数n 之间满足关系式a n =n²−32n+247，1⩽n<16，n 为整数。

(1)例如，当n=2时，a 2=2²−32×2+247=187，则a 5=___，a 6=___；
(2)第n 层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱;(用含n 的代数式表示)
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的。

①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?
2．如图：在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，a 是多项式
2241x x --+的一次项系数，b 是最小的正整数，单项式2412
x y -的次数为.c
()1a =________，b =________，c =________；
()2若将数轴在点B 处折叠，则点A 与点C ________重合（填“能”或“不能”）；
()3点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点C 以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A 和点B 分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，则
AB =________，BC =________（用含t 的代数式表示）；
()4请问：3AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
3．如图，已知∠AOB =120°，射线OP 从OA 位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB 旋转；与此同时，射线OQ 以每秒6°的速度，从OB 位置出发逆时针向射线OA 旋转，到达射线OA 后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ 返回并与射线OP 重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t 秒．
（1）当t =2时，求∠POQ 的度数；
（2）当∠POQ =40°时，求t 的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t 的值，使得∠POQ =
12∠AOQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
4．如图9，点O 是数轴的原点，点A 表示的数是a 、点B 表示的数是b ，且数a 、b 满足()2
6120a b -++=．
（1）求线段AB 的长；
（2）点A 以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B 以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点A 、B 同时出发，运动时间为t 秒，若点A 、B 能够重合，求出这时的运动时间；
（3）在（2）的条件下，当点A 和点B 都向同一个方向运动时 ，直接写出经过多少秒后，点A 、B 两点间的距离为20个单位．
5．（理解新知）如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠，BOC ∠，AOB ∠，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC 为AOB ∠的“二倍角线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）
（2）若60AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“二倍角线”，则AOC ∠的大小是______；
（解决问题）如图②，己知60AOB ∠=︒，射线OP 从OA 出发，以20︒/秒的速度绕O 点逆时针旋转；射线OQ 从OB 出发，以10︒/秒的速度绕O 点顺时针旋转，射线OP ，OQ 同时出发，当其中一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为t 秒．
（3）当射线OP ，OQ 旋转到同一条直线上时，求t 的值；
（4）若OA ，OP ，OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的
“二倍角线”，直接写出t 所有可能的值______．
6．综合与实践
问题情境
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点C 是线段AB 上的一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．
图1 图2 图3
（1）问题探究
①若6AB =，2AC =，求MN 的长度；（写出计算过程）
②若AB a ，AC b =，则MN =___________；（直接写出结果）
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知80AOB ∠=︒，在角的内部作射线OC ，再分别作AOC ∠和BOC ∠的角平分线OM ，ON ．
③若30AOC ∠=︒，求MON ∠的度数；（写出计算过程）
④若AOC m ∠=︒，则MON ∠=_____________︒；（直接写出结果）
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若AOB n ∠=︒，在角的外部作射线OC ，再分别作AOC ∠和BOC ∠的角平分线OM ，ON ，若AOC m ∠=︒，则
MON ∠=__________︒．（直接写出结果）
7．如图，已知150AOB ∠=，将一个直角三角形纸片(90D ∠=)的一个顶点放在点O 处，现将三角形纸片绕点O 任意转动，OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠. （1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部)，若
30COD ∠=，则MON ∠=_______；
（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部)，若射线OD 恰好平分MON ∠，若8MON COD ∠=∠，求COD ∠的度数;
（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置，猜想在转动过程中COD ∠和MON ∠的数量关系？并说明理由.
8．如图∠AOB＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O处．转动三角板（其中OC边始终在∠AOB内部），OE始终平分∠AOD．
（1）（特殊发现）如图1，若OC边与OA边重合时，求出∠COE与∠BOD的度数．
（2）（类比探究）如图2，当三角板绕O点旋转的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），∠COE与∠BOD的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．
（3）（拓展延伸）如图3，在转动三角板的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），若OP平分∠COB，请画出图形，直接写出∠EOP的度数（无须证明）.
9．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复⋯）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1
步，从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处；第2步，从点1Q 继续运动2t 单位长度至点2Q 处；第3步，从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如：当3t =时，点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.
解决如下问题：
（1）如果4t =，那么线段13Q Q =______；
（2）如果4t <，且点3Q 表示的数为3，那么t =______；
（3）如果2t ≤，且线段242Q Q =，那么请你求出t 的值.
10．已知AOB ∠是锐角，2AOC BOD ∠=∠.
（1）如图，射线OC ，射线OD 在AOB ∠的内部（AOD AOC ∠>∠），AOB ∠与COD ∠互余；
①若60AOB ︒∠=，求BOD ∠的度数；
②若OD 平分BOC ∠，求BOD ∠的度数.
（2）若射线OD 在AOB ∠的内部，射线OC 在AOB ∠的外部，AOB ∠与COD ∠互补.方方同学说BOD ∠的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下BOD ∠的度数是确定的，另一种情况下BOD ∠的度数不确定.你认为谁的说法正确?为什么?
11．射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 有公共端点O ．
（1）若OA 与OE 在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；
（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），OB平分∠AOE，OD平分∠COE（如图2），求∠BOD的度数；
（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC绕点O在∠AOD内部旋转（不与OA、OD重合）．探求：射线OC从OA转到OD的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．
12．点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝1
2
x﹣5的解，在数轴上是否存在
点P使PA+PB＝1
2
BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣3
4
BN的值不变；②
13
PM
24
BN的值不
变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
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一、压轴题
1．（1）112，91；（2）（31-2n）个；（3）①46.75N；②该仪器最多可以堆放5层.
【解析】
【分析】
（1）把n=5，n=6分别代入n²−32n+247中进行计算.；（2）分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法计算；（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
【详解】
解：（1）当n=5时，a5=5²−32×5+247=112，
当n=6时，a6=6²−32×6+247=91；
（2）由题意可得，
n²−32n+247-[ (n+1)²−32(n+1)+247]
= n²−32n+247-(n 2+2n+1−32n -32+247)
= n²−32n+247-n 2-2n-1+32n+32-247
=31-2n （个）
答：第n 层比第(n+1)层多堆放（31-2n ）个仪器箱.
（3）①由题意得，
()222322247541321247
-⨯+⨯-⨯+ =18754216⨯=46.75（N ） 答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75N.
②该仪器箱最多可以堆放5层,理由如下.
当n=1时，a 1=216，
当n=2时，a 2=187，
当n=3时，a 3=160，
当n=4时，a 4=135，
当n=5时，a 5=112，
当n=6时，a 6=91，
当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
()18716013511254216
+++⨯=148.5<160（N ） 当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
()187160135112+9154216
+++⨯=171.25>160（N ） 所以，该仪器箱最多可以堆放5层.
【点睛】
本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想.
2．（1）4-，1，6；（2）能；（3）5t +，53t +；（4）3AB BC -的值不会随时间t 的变化而变化，值为10
【解析】
【分析】
（1）由一次项系数、最小的正整数、单项式次数的定义回答即可，
（2）计算线段长度，若AB BC =则重叠，
（3）线段长度就用两点表示的数相减，用较大的数减较小的数即可，
（4）根据（3）的结果计算即可．
【详解】
（1）观察数轴可知，
4a =-，1b =，6c =.
故答案为：4-；1；6.
（2）()145AB =--=，615BC =-=，AB BC =，
则若将数轴在点B 处折叠，点A 与点C 能重合.
故答案为：能.
（3）经过t 秒后43a t =--，12b t =-，6c t =+，则5AB a b t =-=+，
53BC b c t =-=+.
故答案为：5t +；53t +.
（4）5AB t =+，
∴3153AB t =+.
又53BC t =+，
∴()()315353AB BC t t -=+-+
15353t t =+--
10=.
故3AB BC -的值不会随时间t 的变化而变化，值为10.
【点睛】
本题考查列代数式求值，有理数的概念及分类，多项式的项与次数，单项式的系数与次数，在数轴上表示实数，解题的关键是用字母表示线段长度．
3．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ =40°时，t 的值为10或20；（3）存在，t =12或18011或1807
，使得∠POQ =12∠AOQ ． 【解析】
【分析】
当OQ ，OP 第一次相遇时，t =15；当OQ 刚到达OA 时，t =20；当OQ ，OP 第二次相遇时，t =30；
（1）当t =2时，得到∠AOP =2t =4°，∠BOQ =6t =12°，利用∠POQ =∠AOB -∠AOP-∠BOQ 求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t ≤15时，当15＜t ≤20时，当20＜t ≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t ≤15时，当15＜t ≤20时，当20＜t ≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】
解：当OQ ，OP 第一次相遇时，2t +6t =120，t =15；
当OQ 刚到达OA 时，6t =120，t =20；
当OQ ，OP 第二次相遇时，2t 6t =120+2t ，t =30；
（1）当t =2时，∠AOP =2t =4°，∠BOQ =6t =12°，
∴∠POQ =∠AOB -∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t ≤15时，2t +40+6t=120， t =10；
当15＜t ≤20时，2t +6t=120+40， t =20；
当20＜t≤30时，2t=6t-120+40， t=20（舍去）；答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t=1
2
(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t–(120-6t）=1
2
(120 -6t），t=
180
11
.
当20＜t≤30时，2t–(6t -120）=1
2
(6t -120），t=
180
7
.
答：存在t=12或180
11
或
180
7
，使得∠POQ=
1
2
∠AOQ.
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
4．（1）18；（2）6或18秒；（3）2或38秒
【解析】
【分析】
（1）根据偶次方以及绝对值的非负性求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）分两种情况：①相向而行；②同时向右而行．根据行程问题的相等关系分别列出方程即可求解；
（3）分两种情况：①两点均向左；②两点均向右；根据点A、B两点间的距离为20个单位分别列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵|a﹣6|+（b+12）2＝0，
∴a﹣6＝0，b+12＝0，
∴a＝6，b＝﹣12，
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B能够重合时，可分两种情况：
①若相向而行，则2t+t＝18，解得t＝6；
②若同时向右而行，则2t﹣t＝18，解得t＝18．
综上所述，经过6或18秒后，点A、B重合；
（3）在（2）的条件下，即点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动，设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B两点间的距离为20个单位，可分四种情况：
①若两点均向左，则（6-t）-（-12-2t）=20，解得：t=2；
②若两点均向右，则（-12+2t）-（6+t）=20，解得：t=38；
综上，经过2或38秒时，A、B相距20个单位．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负
性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键．注意分类讨论思想的应用．
5．（1）是；（2）30︒或40︒或20︒；（3）4t =或10t =或16t =；（4）2t =或12t =.
【解析】
【分析】
（1）若OC 为AOB ∠的角平分线，由角平分线的定义可得2AOB AOC ∠=∠，由二倍角线的定义可知结论；
（2）根据二倍角线的定义分2,2,2AOB AOC AOC BOC BOC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠三种情况求出AOC ∠的大小即可.
（3）当射线OP ，OQ 旋转到同一条直线上时，180POQ ︒
∠=，即180POA AOB BOQ ︒∠+∠+∠=或180BOQ BOP ︒∠+∠=，或OP 和OQ 重合时，即360POA AOB BOQ ︒∠+∠+∠=，用含t 的式子表示出OP 、OQ 旋转的角度代入以上三种情况求解即可；
（4）结合“二倍角线”的定义，根据t 的取值范围分04t <<，410t ≤<，
1012t <≤，1218t <≤4种情况讨论即可.
【详解】
解：（1）若OC 为AOB ∠的角平分线，由角平分线的定义可得2AOB AOC ∠=∠，由二倍角线的定义可知一个角的角平分线是这个角的“二倍角线”；
（2）当射线OC 为AOB ∠的“二倍角线”时，有3种情况，
①2AOB AOC ∠=∠，
60,30AOB AOC ︒︒∠=∴∠=； ②2AOC BOC ∠=∠，360AOB AOC BOC BOC ︒∠=∠+∠=∠=，
20BOC ︒∴∠=，40AOC ︒∴∠=；
③2BOC AOC ∠=∠，360AOB AOC BOC AOC ︒∠=∠+∠=∠=，
20AOC ︒∴∠=，
综合上述，AOC ∠的大小为30︒或40︒或20︒；
（3）当射线OP ，OQ 旋转到同一条直线上时，有以下3种情况，
①如图
此时180POA AOB BOQ ︒
∠+∠+∠=，即206010180t t ︒︒︒︒++=，解得4t =； ②如图
此时点P 和点Q 重合，可得360POA AOB BOQ ︒
∠+∠+∠=，即206010360t t ︒︒︒︒++=，解得10t =；
③如图
此时180BOQ BOP ︒∠+∠=，即1060(36020)180t t ︒︒︒︒︒
⎡⎤+--=⎣⎦，解得16t =， 综合上述，4t =或10t =或16t =；
（4）由题意运动停止时3602018t ︒︒=÷=，所以018t <≤，
①当04t <<时，如图，
此时OA 为POQ ∠的“二倍角线”，2AOQ POA ∠=∠，
即6010220t t ︒︒︒+=⨯，解得2t =；
②当410t ≤<时，如图，
此时，180,180AOQ AOP ︒︒
∠>∠>，所以不存在；
③当1012t <≤时，如图
此时OP 为AOQ ∠的“二倍角线”，2AOP POQ ∠=∠，
即360202(201060360)t t t ︒︒︒︒︒︒
-=⨯++-
解得 12t =；
④当1218t <≤时，如图，
此时180,180AOQ AOP ︒︒∠>∠>，所以不存在；
综上所述，当2t =或12t =时，OA ，OP ，OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，正确理解“二倍角线”的定义，找准题中角之间等量关系是解题的关键.
6．（1）①3；②
12a ；（2）③40︒；④40；（3）12n 【解析】
【分析】
（1）①先求出BC ，再根据中点求出AM 、BN ，即可求出MN 的长；
②利用①的方法求MN 即可；
（2）③先求出∠BOC ，再利用角平分线的性质求出∠AOM ，∠BON ，即可求出∠MON ； ④利用③的方法求出∠MON 的度数；
（3）先求出∠BOC ，利用角平分线的性质分别求出∠AOM ，∠BON ，再根据角度的关系求出答案即可.
【详解】
（1）①∵6AB =，2AC =，
∴BC=AB-AC=4，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．
∴112AM AC ==， 122
BN BC ==， ∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3；
②∵AB a ，AC b =，
∴BC=AB-AC=a-b ，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点． ∴12AM b =，1()2
BN a b =-， ∴MN=AB-AM-BN=11()22a b a b -
--=12a ， 故答案为：12
a ； （2）③∵80AOB ∠=︒，30AOC ∠=︒，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50︒，
∵OM ，ON 分别平分AOC ∠和BOC ∠，
∴∠AOM=15︒，∠BON=25︒，
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40︒；
④∵80AOB ∠=︒，AOC m ∠=︒，
∴∠BOC=(80-m)︒，
∵OM ，ON 分别平分AOC ∠和BOC ∠，
∴∠AOM=
12m ，∠BON=（40-12
m ）︒， ∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40︒, 故答案为：40；
（3）∵AOB n ∠=︒，AOC m ∠=︒，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)︒，
∵AOC ∠和BOC ∠的角平分线分别是OM ，ON ，
∴∠AOM=12m ,∠CON=1()2
m n -， ∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=111()222m m m n n -
--=， 故答案为：12
n . 【点睛】
此题考查线段的和差计算，角度的和差计算，线段中点的性质，角平分线的性质，解题中注意规律性解题思想的总结和运用.
7．（1）90︒；（2）COD=10∠︒；（3）1752MON COD ∠=
∠+︒，证明见解析 【解析】
【分析】
（1）利用角平分线定义得出12
AOM MOC AOC x ∠=∠=∠=，
12
BON DON BOD y ∠=∠=∠=，再利用∠AOB 的和差关系进行列方程即可求解； （2）利用8MON COD ∠=∠，表达出∠AOC 、∠BOD ，利用∠AOB 的和差关系进行列方程即可求解；
（3）画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可．
【详解】
解：（1）∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠．
∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD ∴设11,22
AOM MOC AOC x BON DON BOD y ∠=∠=∠=∠=∠=∠= ∴2,2AOC x BOD y ∠=∠=，30MON MOC COD DON x y ∠=∠+∠+∠=+︒+ ∵2302150AOB AOC BOD COD x y ∠=∠+∠+∠=+︒+=︒
∴60x y +=︒
∴3090MON x y ∠=+︒+=︒
故答案为: 90︒
（2）∵8MON COD ∠=∠
∴设=,8COD a MON a ∠∠=
∵射线OD 恰好平方MON ∠ ∴14,2
DOM DON MON a ∠=∠=
∠= ∴43,COM DOM COD a a a ∠=∠-∠=-= ∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠．
∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD ∴113,422
AOM MOC AOC a BON DON BOD a ∠=∠=
∠=∠=∠=∠= ∴6,8AOC a BOD a ∠=∠= ∵68150AOB AOC BOD COD a a a ∠=∠+∠+∠=++=︒
∴=10a ︒
∴COD=10∠︒ (3) 1752
MON AOC ∠=∠+︒,证明如下： 当OC 与OA 重合时，设∠COD=x,则150150BOD AOB COD COD x ∠=∠-∠=︒-∠=︒-
∵ON 平分∠BOD
∴117522
DON BOD x ∠=
∠=︒- ∴MON COD DON ∠=∠+∠ 1752
x x =+︒- 1752
x =︒+ ∴1752
MON COD ∠=︒+∠
当OC 在OA 的左侧时
设∠AOD=a ，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB -∠AOD=150°-a ，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b ∵ON 平分∠BOD
∴117522
DON BOD a ∠=
∠=︒- ∵OM 平分∠AOC
∴1122
AOM COM AOC b ∠=∠=∠= ∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON
117522b a a =++︒-
117522
b a =++︒ 1752
COD =∠+︒
当OD 与OA 重合时
∵ON 平分∠AOB
∴1752
AON AOB ∠=
∠=︒ ∵OM 平分∠AOC
∴12
MON AOC ∠=∠ ∴MON MOD AON ∠=∠+∠ 1752
AOC =∠+︒ 综上所述 1752MON AOC ∠=
∠+︒ 【点睛】
本题考查了角平分线的动态问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．（1）∠BOD ＝60°，∠COE ＝30°；（2）∠COE ：∠BOD ＝
12；（3）画图见解析；∠POE ＝30°．
【解析】
【分析】
（1）∵OC 边与OA 边重合，如图1，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①0°≤∠AOC＜60°时，设∠AOC=α，∠BOD=β，②当60°≤∠AOC≤120°时，设
∠AOC=α，∠BOD=β，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】
（1）∵OC边与OA边重合，如图1，
∴∠AOD＝60°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣60°＝60°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠COE＝1
2
∠AOD＝30°；
（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝1
2
∠AOD，
∴∠COE＝∠COD﹣∠EOD＝60°﹣1
2
∠AOD，
∵∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣∠AOD，
∴∠COE：∠BOD＝1
2
；
②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝1
2
∠AOD，
∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝1
2
∠AOD﹣60°，
∵∠DOB＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣120°，
∴∠COE：∠BOD＝1
2
；
（3）①0°≤∠AOC＜60°时，
设∠AOC＝α，∠BOD＝β，
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴α+β＝60°，
∴∠AOD＝60°+α，∠BOC＝60°+β，∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，
∴∠AOE＝1
2
∠AOD＝30°+
1
2
∂，∠BOP＝
1
2
∠BOC＝30°+
1
2
β，
∴∠POE＝∠AOB﹣∠AOE﹣∠BOP＝120°﹣（30°+1
2
∂）﹣（30°+
1
2
β）＝30°；
②当60°≤∠AOC≤120°时，
设∠AOC＝α，∠BOD＝β，
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝120°﹣∠AOC＝60°﹣∠BOD，∴120°﹣α＝60°﹣β，
∴α﹣β＝60°，
∴∠AOD＝120°+β，∠BOC＝60°﹣β，
∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，
∴∠DOE＝1
2
∠AOD＝60°+
1
2
β，∠BOP＝
1
2
∠BOC＝30°﹣
1
2
β，
∴∠POE＝∠DOE﹣∠BOD﹣∠BOP＝（60°+1
2
∂）﹣β﹣（30°﹣
1
2
β）＝30°；
综上所述，∠POE ＝30°．
【点睛】
本题考查了角的计算，涉及了角平分线的定义，角平分线的性质以及等角替换等知识点，综合性较强，要求学生对各知识点熟练掌握，学会分类讨论是解题的关键．
9．(1)4；(2)
12或72；(3)27或2213
或2 【解析】
【分析】
(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t 个单位长度，当t=4时，6t=24,为MN 长度的整的偶数倍，即棋子回到起点M 处，点3Q 与M 点重合，从而得出13Q Q 的长度.
(2)根据棋子的运动规律可得，到3Q 点时，棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由
(1)知道，棋子运动的总长度为3或12+9=21，从而得出t 的值.
(3)若t 2,≤则棋子运动的总长度10t 20≤,可知棋子或从M 点未运动到N 点或从N 点返回运动到2Q 的左边或从N 点返回运动到2Q 的右边三种情况可使242Q Q =
【详解】
解：(1)∵t+2t+3t=6t,
∴当t=4时，6t=24,
∵24122=⨯,
∴点3Q 与M 点重合，
∴134Q Q =
(2)由已知条件得出：6t=3或6t=21, 解得：1t 2=或7t 2
= (3)情况一：3t+4t=2, 解得：2t 7= 情况二：点4Q 在点2Q 右边时：3t+4t+2=2(12-3t) 解得：22t 13
= 情况三：点4Q 在点2Q 左边时：3t+4t-2=2(12-3t)
解得：t=2.
综上所述：t 的值为，2或
27或2213
. 【点睛】
本题是一道探索动点的运动规律的题目，考查了学生数形结合的能力，探索规律的能力，用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论.
10．（1）①10°，②18°；（2）圆圆的说法正确，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AOB与∠COD互余求出∠COD，再利用角度的和差关系求出
∠AOC+∠BOD=30°，最后根据∠AOC=2∠BOD即可求出∠BOD；
②设∠BOD=x，根据角平分线表示出∠COD和∠BOC，根据∠AOC=2∠BOD表示出∠AOC，最后根据∠AOB与∠COD互余建立方程求解即可；
（2）分两种情况讨论：OC靠近OA时与OC靠近OB时，画出图形分类计算判断即可.【详解】
解：（1）①∵∠AOB与∠COD互余，且∠AOB=60°，
∴∠COD=90°－∠AOB=30°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB－∠COD=60°－30°=30°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴2∠BOD+∠BOD=30°，
∴∠BOD=10°；
②设∠BOD=x，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD=x，∠BOC=2∠BOD=2x，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOC=2x，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD +∠BOD=4x，
∵∠AOB与∠COD互余，
∴∠AOB+∠COD=90°，即4x+x=90°，
∴x=18°，即∠BOD=18°；
（2）圆圆的说法正确，理由如下：
当OC靠近OB时，如图所示，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，∠COD=∠BOC+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴2∠BOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=60°；
当OC靠近OA时，如图所示，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴∠AOD+∠BOD+∠AOC+∠AOD=180°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOD+∠BOD+2∠BOD +∠AOD=180°，即3∠BOD+2∠AOD=180°，
∵∠AOD不确定，
∴∠BOD也不确定，
综上所述，当OC靠近OB时，∠BOD的度数为60°，当OC靠近OA时，∠BOD的度数不
确定，所以圆圆的说法正确.
【点睛】
本题考查角的计算，正确找出角之间的关系，分情况画出图形解答是解题的关键.
11．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，
∠COD，∠DOE；（2）∠B OD＝54°；（3）
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据角的定义即可解决；
（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=1
2∠AOC+1
2
∠COE，进而求出即可；
（3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系，即可解题．
【详解】
（1）如图1中小于平角的角
∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE．
（2）如图2，
∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），
∴∠BOD＝1
2
∠AOD﹣
1
2
∠COE+
1
2
∠COE＝
1
2
×108°＝54°；
（3）如图3，
∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，
图中所有锐角和为
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE
＝4∠AOB+4∠DOE＝6∠BOC+6∠COD
＝4（∠AOE﹣∠BOD）+6∠BOD
＝412°．
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系是解题的关键，
12．(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣9
2
和
7
2
；(2)正确的结论是：PM﹣
3
4
BN的值不
变，且值为2.5．
【解析】
【分析】
（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的
点，由此求得1
2
BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a
＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根
据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣3
4
BN和②
1
2
PM+
3
4
BN求出其值即
可解答．
【详解】
(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝5．
解方程2x+1＝1
2
x﹣5得x＝﹣4．
所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．
所以．
设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，
①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，
PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，
解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；
②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；
③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，
所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．
(2)设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．
∵PA的中点为M，
∴PM＝1
2
PA＝．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN＝PB＝×（n﹣2）．
∴PM﹣3
4
BN＝﹣
3
4
××（n﹣2），
＝（不变）．
②1
2
PM+
3
4
BN＝+
3
4
××（n﹣2）＝
3
4
n﹣（随P点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．。