2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第六章 数列

课时规范训练
(时间：35分钟)
1．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是{a n }为递增数列的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，
∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．
2．已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1
a n ＋1
，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016为( )
A ．504
B ．588
C ．－588
D ．－504
解析：选C.∵a 1＝2，a n ＋1＝
a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－1
2
，a 4＝－3，a 5＝2，……，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－588，
故选C.
3．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )
A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
解析：选C.{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C.
4．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *
)，则a n ＝( )
A ．3(3n
－2n
) B ．3n
＋2 C ．3n
D ．3·2
n －1
解析：选C.⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝S 1＝
3
2
a 1－，a 1
＋a 2
＝3
2
a 2－
，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＝3，a 2＝9，
代入选项逐一检验，只有C
符合．
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－a x ＋2，x ≤2，a 2x 2
－9x ＋11，x >2(a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝
f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫83，3
C ．(2,3)
D ．(1,3)
解析：选C.因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3－a >0，a >1，
－a ＋2<a 2
，
解得2<a <3，所以实
数a 的取值范围是(2,3)．
6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝________.
解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
4，n ＝1，
2n ＋1，n ≥2.
答案：⎩
⎪⎨
⎪⎧
4，n ＝1
2n ＋1，n ≥2
7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 7＝________. 解析：由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，
能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1. 答案：1
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________.
解析：当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1
＋(n －1)，
即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，
∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1
＝2n
，∴a n
＝2n
－1.
答案：2n
－1
9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42
－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2
－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令a n ＝n 2
－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数．
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
lg 1a n 的前n 项和最大？
解：(1)取n ＝1，得λa 2
1＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0.
若a 1≠0，则a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2
λ＋S n －1，
两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，
所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列， 所以a n ＝a 1·2
n －1
＝2λ·2n －1
＝2n
λ
. 综上，当a 1＝0时，a n ＝0； 当a 1≠0时，a n ＝2
n
λ
.
(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg 1
a n
，
由(1)知b n ＝lg 100
2
＝2－n lg 2.
所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．
b 1>b 2>…>b 6＝lg
10026＝lg
100
64
>lg 1＝0， 当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100
128
<lg 1＝0，
故数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
lg 1a n 的前6项的和最大．
(时间：20分钟)
11．已知{a n }是递增数列，对于任意的正整数n 均有a n ＝n 2
＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A ．[－2，＋∞)
B ．(－3，＋∞)
C ．R
D ．∅
解析：选B.∵{a n }是递增数列，对于任意的正整数n 均有a n ＝n 2
＋λn 恒成立，∴a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2
＋λ(n ＋1)>n 2
＋λn ，化为λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3.∴实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．故选B.
12．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n a n ＋1a n ＋2>
19的最大正整数n 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选B.由a 2a 4＝4，a n >0，得a 3＝2.又a 1＋a 2＋a 3＝14，得q ＝1
2
，a 1＝8.由a n a n ＋1a n
＋2
＝8
3－n
>1
9
，得n ≤4.故选B. 13．定义：称
n
P 1＋P 2＋…＋P n
为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前
n 项的“均倒数”为
1
2n －1
，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝4n －1 C ．a n ＝4n －3 D ．a n ＝4n －5
解析：选C.∵n
a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1
，
∴
a 1＋a 2＋…＋a n
n
＝2n －1，
∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，
a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，
当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；
a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.
14．若数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
n
n ＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 解析：由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
k k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23k
k ＋k ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23k ＋1，k
k ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23k k －
k ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23k －1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
k 2
≥10，k 2
－2k －9≤0，
由k ∈N ＋可得k ＝4.
答案：4
15．已知函数f (x)＝x2
x2＋1
，设f (n)＝a n(n∈N＋)．
(1)求证：a n<1；
(2){a n}是递增数列还是递减数列？为什么？
解：(1)证明：a n＝f (n)＝
n2 n2＋1
＝n2＋1－1
n2＋1
＝1－
1
n2＋1
.
∵n2＋1>0，∴1
n2＋1
>0，
∴1－1
n＋1
<1. 即a n<1.
(2)(方法一)a n＋1－a n＝
n＋2
n ＋2＋1
－
n2
n2＋1
＝n＋2n2＋－n2n＋2＋1] n2＋n＋2＋1]
＝
2n＋1
n2＋n＋2＋1]
.
∵n∈N＋，∴上式>0，
即a n＋1－a n>0，即a n＋1>a n. 故数列{a n}是递增数列．
(方法二)由(1)知a n＝1－
1
n2＋1
，易判断该函数是增函数，∴{a n}是递增数列．。