【教学随笔】教你识别两种数列--等差、等比数列

教你识别两种数列————等差、等比数列
等差、等比数列是两种基本数列，在解答数列问题时首先要考虑判断是哪一种数列，等差、等比数列还是别的？其次，根据判断结果进行解答。

一．利用定义识别
例1.已知数列满足且求证：是等比数列。

分析：要判断是等比数列，就需要推算是否为常数?
解: 即=2
是以2为首项，2为公比的等比数列。

点评：判断一个数列是等比还是等差主要是用定义，即若（常数）（或（非0常数））则是等差数列（或等比数列）
二.利用通项公式和前项和公式的特点识别
例2.已知数列中，且点()在函数图像上，判断是等差数列。

分析：要知道是等差数列，先要知其通项公式或前项和公式，再看其特点判断。

解：点()在函数图像上，
是以1为首项，-2为公差的等差数列。

点评：等差数列中项即项是的一次函数（反之亦成立），前项和是的二次函数并且没有常数项；等比数列前项和（A为常数、是公比）这些特征都可以使数列等差（或等比），要注意掌握和运用。

三.利用和的关系识别
例3. 已知数列满足且，求证：是等比数列。

分析：只要明确和的关系进一步找到通项就可以判断
解：两式相减得：
又于是，是以为首项、为公比的等比数列。

点评：知道和的关系时，要先用（）求出通项公式，再判断数列类型。

四.利用递推数列识别
例4. 已知数列，满足，，（）
求证：是等差数列。

分析：要知是否是等差数列，只需要明确的关系，而题目中已知和的关系，所以，需要用把数列转化成的递推关系即可。

解：代入得即
两边同除以得所以是等差数列。

点评：本题是两种数列的关系问题，已知一个递推数列求另一种数列，关键在于先从已知递推数列转化到未知数列，再给两边边同除以就会得到一个新的等差数列，此时会有新的体会和收获，要注意学习和积累。