湖南省益阳市箴言中学—学年高二3月月考数学文试题
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益阳市箴言中学2014—2015学年高二3月月考
文科数学试题
时间:120分钟,满分150分
一.选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分。
每小题只有一个正确的答案,请将正确答案的序号填入答题卡中)
1.设集合U =M ∪N={1,2,3,4,5},M ∩∁U N ={2,4},则集合N= ( ).
A .{1,2,3}
B .{1,3,5}
C .{1,4,5}
D .{2,3,4} 2. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ). A .球 B .三棱锥 C .正方体 D .圆柱 3. 设a =,b =,c =ln π,则( ). A .a <b <c
B .a <c <b
C .c <a <b
D .b <a <c
4. 直线l 过点(-1,2)且与直线2x -3y +4=0垂直,则l 的方程是( ). A .3x +2y -1=0 B .3x +2y +7=0 C .2x -3y +5=0 D .2x -3y +8=0
5. 在△ABC 中,M 是AB 边所在直线上任意一点,若,则λ=( ).
A .1
B .2
C .3
D .4
6. 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ). A .58 B .88 C .143 D .176
7. 如图给出的是计算12+14+16+…+1
20
的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( ).
A .i >10?
B .i <10?
C .i >20?
D .i <20?
8. 设a ,b 是两个平面向量,则“a =b ”是“|a|=|b|”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
|lg x |,0<x ≤10,-12
x +6,x >10.若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围
是 ( ). A .(1,10)
B .(5,6)
C .(10,12)
D .(20,24)
10. 定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x ),如果对于任意给定的等比数列{a n },{f (a n )}仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f (x )=x 2;②f (x )=2x ;③f (x )=|x |;④f (x )=ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ). A .①② B .③④ C .①③ D .②④
二.填空题:(每小题5分,共25分)
11. 某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取________所学校。
12. 已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=_____ 13. 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上随机取一个数,的值介于0至12之间的概率为________. 14. 直线y =x 被圆x 2+(y -2)2=4截得的弦长为________
15. 已知函数22652()2ln x x e e x e
f x x x
x e ⎧-++--≤=⎨->⎩ (其中e 为自然对数的底数,且e ≈2.718).
若f (6-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是________
三.解答题:(本大题共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
16.(本题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
(1)确定x ,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
17.(本题满分12分) 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+sin ⎝⎛⎭⎫2x -π
3+2cos 2x -1,x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π
4上的最大值和最小值.
18. (本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,P A⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面P AD;
(2)求三棱锥E-ABC的体积.
19. (本题满分13分)近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可
使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积x(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5。
为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安
装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=k
20x+100
(x≥0,k为常数).记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和.
(1)试解释C(0)的实际意义,并建立F(x)关于x的函数关系式;
(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元?
20.(本题满分13分)已知椭圆x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的左焦点F1(-1,0),长轴长与短轴长的比是2∶ 3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,若m⊥n,求证:1
|AB|+1
|CD|为定值.
21.(本题满分13分) 已知函数f (x )=ln x +k
e x (k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),
曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值; (2)求f (x )的单调区间;
(3)设g (x )=(x 2+x ),其中f ′(x )为f (x )的导函数, 证明:对任意x >0,g (x )<1+e -2.
文科数学参考答案
一.选择题: 1-5 BDAAC ,6-10 BAACC 题:11.18. 12.-1 13. 1
3
14. 2 2 15.
二.填空三,解答题:
16. 解 (1)由已知得25+y +10=55,x +30=45,所以x =15,y =20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为
1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10
100
=1.9(分钟).
(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A 1,A 2,A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P (A 1)=15100=320,P (A 2)=30100=310,P (A 3)=25100=1
4.
因为A =A 1∪A 2∪A 3,且A 1,A 2,A 3是互斥事件,所以P (A )=P (A 1∪A 2∪A 3)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=320+310+14=710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
. 17. 解 (1)f (x )=sin 2x ·cos π3+cos 2x ·sin π3+sin 2x ·cos π3-cos 2x ·sin π3+cos 2x =sin 2x +cos 2x =2
sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. 所以,f (x )的最小正周期T =2π
2
=π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π8上是增函数,在区间⎣⎡⎦⎤π8,π4上是减函数.又f ⎝⎛⎭⎫-π4=-1,f ⎝⎛⎭⎫π8=2,f ⎝⎛⎭⎫π
4=1,故函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤-π4,π
4上的最大值为2,最小值为-1. 18.(1)证明 在△PBC 中,E ,F 分别是PB ,PC 的中点,∴EF ∥BC .又BC ∥AD ,∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ,EF ⊄平面P AD ,∴EF ∥平面P AD .
(2)解 连接AE ,AC ,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,由P A ⊥平面ABCD ,则EG ⊥平面ABCD ,且EG =1
2
P A .
在△P AB 中,AP =AB ,∠P AB =90°,BP =2, ∴AP =AB =2,EG =
2
2
. ∴S △ABC =12AB ·BC =1
2
×2×2= 2.
∴V E -ABC =13S △ABC ·EG =13×2×22=1
3.
19. 解 (1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费,即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C (0)=k 100=24,得k =2 400,所以F (x )=15× 2 40020x +100+0.5x =1 800
x +5+
0.5x (x ≥0).
(2)因为F (x )=1 800
x +5
+0.5(x +5)-2.5≥2
1 800×0.5-2.5=57.5,
当且仅当1 800
x +5=0.5(x +5),即x =55时取等号,所以当x 为55平方米时,F (x )取得最小值,最
小值为57.5万元.
20.(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ∶2b =2∶3,c =1,
a 2=
b 2+
c 2.
解得a =2,b = 3.故所求椭圆方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)证明 由已知F 1(-1,0),当直线m 不垂直于坐标轴时,可设直线m 的方程为y =k (x +1)(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧
y =k (x +1),x 24+y 2
3=1
得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0.
由于Δ>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有x 1+x 2=-8k 2
3+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,
|AB |=(1+k 2
)[(x 1+x 2)2
-4x 1x 2]=
(1+k 2
)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫-8k 23+4k 22-4×4k 2-123+4k 2=12(1+k 2
)3+4k 2
.
同理|CD |=12(1+k 2)3k 2+4. 所以1|AB |+1
|CD |=3+4k 212(1+k 2)+3k 2+412(1+k 2)=7(1+k 2)12(1+k 2)=712.
当直线m 垂直于坐标轴时,此时|AB |=3,|CD |=4;或|AB |=4,|CD |=3, 1|AB |+1|CD |=13+14=712.综上,1|AB |+1|CD |为定值7
12
. 21.(1)解 由f (x )=ln x +k e x
得f ′(x )=1-kx -x ln x x e x
,x ∈(0,+∞). 由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行,所以f ′(1)=0,因此k =1.………(3分) (2)解 由(1)得f ′(x )=
1
x e x
(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).……(7分)
(3)证明 因为g (x )=(x 2+x ),所以g (x )=x +1
e x (1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).
因此,对任意x >0,g (x )<1+e
-2
等价于1-x -x ln x <e x x +1
(1+e -
2).由(2)知h (x )=1-x -x ln x ,x
∈(0,+∞),所以h ′(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e -
2),x ∈(0,+∞).因此,当x ∈(0,e -
2)时,h ′(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(e -
2,+∞)时,h ′(x )<0,h (x )单调递减.
所以h (x )的最大值为h (e -
2)=1+e -
2.故1-x -x ln x ≤1+e -
2.……(10分)
设φ(x )=e x -(x +1).因为φ′(x )=e x -1=e x -e 0,所以当x ∈(0,+∞)时,φ′(x )>0,φ(x )单调递增,φ(x )>φ(0)=0,故当x ∈(0,+∞)时,φ(x )=e x
-(x +1)>0,即e
x
x +1
>1.所以1-x -x ln x ≤1
+e -2
<e x
x +1
(1+e -2).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2
.………………(13分)。