安达市第七中学2020届高三数学(文)上学期12月考试卷附答案解析

安达市第七中学2020届高三上学期12月考
数学（文）试卷
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数i ai
-+21为纯虚数，则实数a 为(
)
A.2
B.2
- C.21- D.2
12.若向量)2,1(),3,2(-==b a ,则=-⋅)2(b a a ()A.8
B.7
C.6
D.5
3.等差数列
}
{n a 的前
n 项和为n S ,若1111,27m m m a a a a -+=++=,且45m S =，则
m =(
)
A.8
B.9
C.10
D.11
4.设αβ，为两个平面，则α∥β的充要条件是(
)
A．α内有无数条直线与β平行B．α，β平行于同一条直线
C．α内有两条相交直线与β平行D．α，β垂直于同一平面
5.已知曲线x
e a x
f )12()(+=在0=x 处的切线过点)1,2(,则实数=a (
)
A.3
B.3
- C.31
D.31-
6.函数
2
sin()()sin()2x x
f x x x ππ
-+=
++在],[ππ-的图像大致为（
）
A．B．
C．
D．
7.若把函数
()sin(2)()2f x x π
ϕϕ=+<的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪
⎝⎭对称，将其图象沿x 轴向右
平移6
π个单位后,得到函数()y g x =的图象,则()()y f x g x =-的最大值为(
)
A．
3
B．
2
C．12
D．1
8.如图，三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=︒，1AB AD AC ===，
,M N 分别为,CD BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角余弦值为(
)
A.16
B.36
C.
56 D.56
9.
,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥;②如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥;
③如果//,m αβα⊂，那么//m β;④如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
10.定义在R 的函数
)(x f 满足)1()1(+-=+x f x f ，当1≠x 时，恒有
)()(x f x f x '>'成立，
若21<<m ，
)(log ),4(log ),2(22m f c f b f a m
===，则c b a ,,大小关系为（）
A.
c
b a >> B.a
b c >> C.
b
c a >>D.c
a b >>11.在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅
，则三角形的ABC ∆形状是（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．无法确定
12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()3()0xf x f x '+>，则关于x 的不等式3
1(3)(3)0
3x f x f ⎛⎫
---< ⎪⎝⎭的解集（
）A.)
6,3( B.)
3,0( C.)
6,0( D.)
,6(+∞第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13.已知
2cos 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则=α2sin .
14.已知等比数列
}
{n a 的首项为
1
a ，前n 项和为
n
S ,若数列
{}12n S a -为等比数列，则
3
2
a a =.
15.已知,08,0,0=-++>>xy y x y x 则xy 的最大值是
16.在四棱锥
ABCD
P -中,
⊥
PA 底面
ABCD ,,
2,//,===⊥AP DC AD DC AB AB AD 1=AB ,若点E 为棱PC 上一点,满足AC BE ⊥,则=
EC
PE
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知关于x 的不等式|2|1()x m m R -≤∈的解集为[0,1].（1）求m 的值；
（2）若,,a b c 均为正数，且a b c m ++=，求111
313131a b c ++
+++的最小值.
18．（本小题满分12分）
已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ，且满足sin cos()6
c B b C π
=-.（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的周长为12，面积为43，求三角形三边长.
19．（本小题满分12分）
三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，M 为AB 中点.
（1）求证：//FM 面11A ACC ；（2）求证：AF
BC
⊥
20.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2
(1)n n n a S n +=+，且11a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1
132
n a n n b a -=++ ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，BCD ∠=135°，PA ⊥底面
ABCD ，2AB AC PA ===，,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．
（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；
（2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD
所成角的正切值．
22．（本小题满分12分）已知函数2
()2
x
k f x e x =-
由两个不同的极值点12,x x .（1）求实数k 的取值范围；（2）证明：122x x +>.
数学答案（文科）
一、选择题
15:;610:;11,12ADBCD DDBCA B A
--二、填空题
31113.;14.;15.4;16.
42
3
三、解答题
17.（本小题满分10分）
（1）
11
2|112122m m x m x m x -+-≤⇒-≤-≤⇒
≤≤，
由已知解集为[0,1]得1
02112m m -⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩解得1m =；……5分
（2）1
a b c ++=[(31)(31)3(1)]a b c +++++2
111
(
)(111)313131
a b c ++≥+++++当且仅当
13a b c ===
时，111313131a b c ++
+++的最小值3
2……10分
（注：“当且仅当
1
3a b c ===
时”不写，扣2分）
18.（本小题满分12分）
（1）由正弦定理得，
sin sin sin cos()
6C B B C π
=-，sin 3cos C C =即tan 3C =，
3
C π
=
；……6分
一、由余弦定理得222
c a b ab =+-，342321==
ab S ,12
=++c b a 解得4===c b a ……12分
19.（本小题满分12分）
（1）取AA 1中点N，连结C 1N，ND，取C 1N 中点E，连结EF，AE，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB 为平行四边形，∴AB//ND，AB=ND，∵NE=EC 1，C 1F=FD，∴ND EF 21//
=
，又∵ND
AM 21
//=∴
四边形MAEF 为平行四边形，∴MF//AE，∵⊄MF
面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ，//FM 面
11
A ACC .……6分
（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F
三棱柱
111
ABC A B C -中，
11//BB CC ，D 为
1B B
中点，所以四边形
1BDC C
为梯形，
又P 为BC 中点，F 为线段1C D
的中点，所以
1
//PF CC ，
三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，所以
1//AA PF
，所以AF ⊂平面1A APF
，
三棱柱
111
ABC A B C -中，
1AA ⊥
平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以
1AA BC
⊥①
正三角形中，P 为BC 中点，则AP BC ⊥②由①②及
1AA AP A
= 得BC
⊥平面1A APF ，所以AF BC
⊥……12分
20.（本小题满分12分）
（1）2
(1)n n n a S n +=+，
2n ≥时，
2
11(1)(1)(1)n n n a S n ---+=+-，
两式相减得：
1(1)(1)2(1)n n n a n a n ----=-……2分
因为2n ≥，所以12n n a a --=，……4分
又
11
a =，所以数列{}
n a 为首项
11
a =，公差2d
=的等差数列，所以21n a n =-.……6分
（2）11232234n a n n b n n --=+=+ ……8分
2(22)(41)341
241
n n n n n T n n +-=+=++-- ……12分
21.（本小题满分12分）
(1)∵⊥PA 面ABCD，EF ⊂面ABCD，∴EF ⊥AP
在ABC ∆中，AB=AC，︒=∠=∠45ACB ABC ，∴AB ⊥AC，又
BE
AF =
//，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AB//EF，因此，AC ⊥EF
AP AC=C，AP ⊂面PAC，AC ⊂面PAC，∴EF ⊥面PAC 又EF ⊂面EMF，∴面EMF ⊥面PAC .……6分
（2）连接,AE AM
//ABC AB AC E BC AE BC AE AD ABCD AD BC =⇒⊥⎫
⇒⊥⎬⎭
中，为的中点 中①
PA ABCD AE PA AE ABCD ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面②
由①②及PA AD A = 得AE PAD
⊥平面所以AM 是EM 在平面PAD 中的射影，EMA ∠是EM 与平面PAD 所成的角；……9分
等腰直角三角形ABC ，2AB AC =
=，所以2AE =，
22222232
BC AB AD PA ABCD PA AD PD PA ⎫
==⇒=⎪
⊥⇒⊥⇒=⎬⎪=⎭平面，又M 为PD 的中点，故3
AM =6tan 3AE Rt MAE EMA AM ∠=
=
中，直线ME 与平面PAD 所成角的正切值为6
3
.……12分
22．（本小题满分12分）
（1）(),()x x
f x e kx f x e k
'''=-=-若0,()0()()k f x f x f x '''≤≥则恒成立，则单调递增，则至多有一个极值点，故舍去；
0,()0ln ;()0ln k f x x k f x x k
''''∴>>⇒><⇒<，
(),ln )(ln ,f x k k '∞+∞在(-递减，）递增
所以(ln )(1ln )0f k k k k e '=-<⇒>，.……2分
11(0)10,(1,ln ),()0f x k f x ''=>∃∈=，
又(2ln )(2ln )f k k k k '=-，
设
2
()2ln ,()10()h k k k h k k e k
'=-=-
>>，所以
()(,)()()20h k e h k h e e +∞>=->在递增，，
22(ln ,2ln ),()0
x k k f x '∃∈=1212()0,()0f x x x x x f x x x x ''>⇒<><⇒<<，或，
()()()1121(),+f x x x x x -∞∞所以在递增，，递减，，递增k e >时函数()f x 有两个不同的极值点12,x x .……6分
（2）12
11221122()0,()0ln ln ,ln ln ,
x
x f x e kx f x e
kx x k x x k x ''=-==-=⇒=-=-2
211
ln
x x x x -=+，设
2
1
x t x =，则
2112ln ln ln ,,11
t t t
x x t x x t t -==
=--，
21ln ln (1)11
t t t
x x t t t +=+>--()ln ln 2(1),(1)
11
()ln 1,()0,(1)g t t t t t t t g t t g t t t t =+-->-'''=+-=>>1
()ln 1(1,)1()(1)0
g t t g t g t
'''=+-+∞>>=在递增，所以t 时，()(1,)1()(1)0g t g t g +∞>>=在递增，所以t 时，1ln ln 2(1)0,ln ln 2(1)
t t t t t t t t t >+-->+>-时，即12ln ln 12,2
(1)
t t t t x x t +>>+>-时，即……12分。