八开打印10基础知识与基本方法复习doc高中数学

八开打印10基础知识与基本方法复习doc高中数学
排列与组合1．分类计数原理:完成一件事，有n类方法，在第1类方法中有
1
m种不同的方法，在第2类方法
中有
2
m种不同的方法，……，在第n类方法中有
n
m种不同的方法，那么完成这件事共有N=
n1+n2+n3+…+n M种不同的方法．
2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有
1
m种不同的方法,做第二步有
2
m种
不同的方法,……,做第n步有
n
m种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…n M种不同的方法．
注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组
合数公式，也可用来直截了当解题。

它们的共同点差不多上把一个事件分成假设干个分
事件来进行运算。

只只是利用分类运算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续
假设干步才能完成的那么是分步。

利用分类计数原理，重在分〝类〞，类与类之间具有
独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较
复杂的咨询题，常先分类再分步。

3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序
．．．．．．排成一列，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个排列.
⑵排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m
个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号m n
A表示.其中n，m∈N*，
同时m≤n．
⑶排列数公式:!
(1)(1)(,,)
()!
m
n
n
A n n n m m n n m N
n m
=--+=∈
-
≤
当m=n时，排列称为全排列，排列数为n
n
A=(1)21
n n
⨯-⨯⨯⨯记为n!, 且规定O!=1.
注：!(1)!!
n n n n
⋅=+-; 1
1
-
-
=m
n
m
n
nA
A
4.⑴组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合.
⑵组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数．用符号m
n
C表示.
⑶组合数公式: (1)(1)!
!!()!
m
m n
n m
m
A n n n m n
C
A m m n m
--+
===
-
.
规定01
n
C=，其中m，n∈N+，m≤n.
注: 排列是〝排成一排〞，组合是〝并成一组〞, 前者有序而后者无序.
排
列
与
组
合
⑷组合数的两个性质:
①;
m n m
n n
C C-
=从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不
同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.
②1
1
m m m
n n n
C C C
-
+
+=依照组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个
元素方法时，关于某一元素，只存在取与不取两种可能，假如取这一元素，那么需从剩
下的n个元素中再取m-1个元素，因此有C1-m
n
，假如不取这一元素，那么需从剩余n
个元素中取出m个元素，因此共有C m
n
种，依分类原理有m
n
m
n
m
n
C
C
C1
1
+
-=
+.
5．解排列、组合题的差不多策略与方法
(Ⅰ)排列、组合咨询题几大解题方法：
①直截了当法; ②排除法;
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之
后再考虑它们〝局部〞的排列.它要紧用于解决〝元素相邻咨询题〞;
④插空法：先把一样元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此
法要紧解决〝元素不相邻咨询题〞.
⑤占位法：从元素的专门性上讲，对咨询题中的专门元素应优先排列，然后再排其他一
样元素；从位置的专门性上讲，对咨询题中的专门位置应优先考虑，然后再排其他剩余
位置.即采纳〝先专门后一样〞的解题原那么.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有
n
n
A种，()
m m n
<个元素的全排列有m
m
A种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取
其中的某一种排法，能够利用除法起到去调序的作用，即假设n个元素排成一列，其中
m个元素次序一定，共有
m
m
n
n
A
A
种排列方法.
(Ⅱ)排列组合常见解题策略：
①专门元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；
③排列、组合混合咨询题先选后排的策略〔处理排列组合综合性咨询题一样是先选元素，后排
列〕；
④正难那么反，等价转化策略；⑤相邻咨询题插空处理策略；
⑥不相邻咨询题插空处理策略；⑦定序咨询题除法处理策略；
⑧分排咨询题直排处理的策略；⑨〝小集团〞排列咨询题中先整体后局部的策略；
⑩构造模型的策略.
6.二项式定理:
⑴关于n N*
∈，00110
()n n n r n r r n n
n n n n
a b C a b C a b C a b C a b
--
+=+++++,那个公
式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n
a b
+的展开式.
注:展开式具有以下特点：
项数：共有1
+
n项；
系数：依次为组合数;
,
,
,
,
,
,2
1
0n
n
r
n
n
n
n
C
C
C
C
C
且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.
⑵二项展开式的通项：()n
a b+的展开式第r+1为
1
(0,)
r n r r
r n
T C a b r n r Z
-
+
=∈
≤≤.
⑶二项式系数的性质.
①二项展开式中的(0,1,2,,)
r
n
C r n
=叫做二项式系数
．．．．．
②在二项展开式中与首未两项〝等距离〞的两项的二项式系数相等；
即011
,,
,.n n r n r n n n n n n C C C C C C --===
排列与组合
③二项展开式的中间项二项式系数．．．．．
最大 且当12n +k <
时，二项系数是逐步增大，当1
2
n +k >时，二项式系数是逐步减小的． (Ⅰ)当n 是偶数时,中间项是第12
n
+项,它的二项式系数2n
n C 最大;
(Ⅱ)当n 是奇数时,中间项为两项,即第12n +项和第112n ++项,它们的二项式系数1122n n n n C C -+=最大.
④系数和：所有二项式系数的和：012n n
n n n C C C +++=;奇数项二项式系数的和＝偶数
项而是系数的和:0
2
4
1312n n n n n n C C C C C -+++=++
= .
⑤1
12
1m
m
m
m m m m m m n m n C C C
C
C ++++++++=
⑷如何来求()n a b c ++展开式中含p q r
a b c 的系数呢？其中,,,p q r N ∈且
p q r n ++=把()[()]n n a b c a b c ++=++视为二项式，先找出含有r c 的项()r n r r n C a b c -+，另一方面在()n r a b -+中含有q b 的项为q n r q q q p q n r n r C a b C a b ----=，故
在
()n a b c ++中含p q r
a b c 的项为r q p q r
n n r
C C a b c
-.其系数为
!()!!!()!!()!!!!
r q p q r
n n r n n p r n n r n C C C C C r n r q n r q r q p ---=
⋅==---.
⑸二项式定理的应用：解决有关近似运算、整除咨询题，运用二项展开式定理同时结合放缩法证明与指数有关的不等式。

排列与组合
例1. 3个班分不从5 个景点中选择1处游玩，不同的选法种数是( ) (A)53 (B)35 (C)A 35 (D)C 3
5
例2. 5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,那么不同的分配方法有( ) (A)20种 (B)60种 (C)120种 (D)100种 例3. 6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为( ).
(A )6
6A
(B )3
33A
(C )33
33A A (D )34
34A A 例4. 假如集合A ={x │C
x 7
≤21}，那么组成集合A 的元素个数有( ).
(A )1个
(B )3个
(C )6个
(D )7个
例5.假如3213n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项系数之和为128,那么展开式中31
x 的系数是( ) (A )7 (B )7- (C )21 (D )21-
例6. 设(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )10= a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10
那么a 3= ( ) (A ) C 311 (B ) C 411 (C ) 2C 310 (D ) C 4
10
例7. 在10
3)1)(1(x x +-的展开式中，5x 的系数是( ) (A )-297 (B )-252 (C)297 (D)207
例8. 关于小于55的自然数，积(55-n )(56-n )……(68-n )(69-n )等于 ( ) (A )A n
n --5569 (B )A 15
69n - (C )A 15
55n - (D )A 14
69n -
例9. 假设(1-2x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8+a 9x 9，那么a 1+a 2+…+a 8的值为_______.
排列与组合
例10. 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n (n ≥3，n ∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
⑴如图1，圆环分成的3等份为a 1，a 2，a 3，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a 1，a 2，a 3，a 4，有多少不同的种植方法？
⑵如图3，圆环分成的n 等份为a 1，a 2，a 3，……，a n ，有多少不同的种植方法？
概率
1.随机事件及其概率:
⑴必定事件:在一定的条件下必定要发生的事件,叫做必定事件.
⑵不可能事件: 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.
⑶随机事件: 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件. ⑷随机事件的概率:一样地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率
m
n
总是接近于某个常数,在它邻近摆动,这时就把那个常数叫做事件
A 的概率,记作()P A .
⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范畴是[]0,1,必定事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
2.等可能事件的概率:
⑴差不多事件:一次试验连同其中可能显现的每一个结果称为一个差不多事件.
⑵等可能事件的概率:假如一次试验由n 个差不多事件组成,而且所有结果显现的可能性都相等,那
么每一个差不多事件的概率差不多上
1n
,假如某个事件
A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率为
()m P A n
=
.
3.⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.
假如事件A 、B 互斥，那么事件A +B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分不发生的概率和，即P(A +B)=P(A )+P(B)，
推广：1212()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++. ⑵对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．
叫对立事件. ①对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.
②互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
从集合的角度看，由事件A的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
概率4.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有阻碍,如此的两个事件叫做相互独立事件.
注: 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必定阻碍，因此互斥事件一定不是独立事件.
⑴两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B).
证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有m2种，由于事件A与B相互独立，N1，m1与N2，m2之间是相互没有阻碍的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1·N2种不同的搭配，明显这些搭配差不多上具有等可能性的.另外，考察属于事件A B的试验结果，明显，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件A B，这种结果总共有m1·m2种.因此得：
P(A B)＝
2
1
2
1
N
N
m
m
⋅
⋅
＝
1
1
N
m
·
2
2
N
m
, ∴P(A B)＝P(A)P(B)
注:当两个事件同时发生的概率P〔A B〕等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.
⑵推广:假如事件
12
,,,
n
A A A相互独立,那么
1212
()()()()
n n
P A A A P A P A P A
⋅=⋅
⑶独立重复试验：假设n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依靠于其他各次试验的结果，那么称这n次试验是独立的. 假如在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中那个事件恰好发生k次的概率：()(1)
k k n k
n n
P k C P P-
=-.(注:此式为二项式[(1-P)+P]n展开式的第k+1项.) 注:①一样地，假如事件A与B相互独立，那么A与,B A与B，A与B也都相互独立.
②对任何两个事件都有()()()()
P A B P A P B P A B
+=+-⋅
概率例11. 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是()
(A)3
10
(B)1
12
(C)1
2
(D)11
12
例12. 2006年6月7日,甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在这天两地
是否下雨相互之间没有阻碍,那么甲、乙都不下雨的概率是()
(A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982
例13. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，那么这3个数的和为偶
数的概率是()
(A)
9
5(B)
9
4(C)
21
11(D)
21
10
例14. 袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，那么以下
事件中概率是
8
9
的是()
(A)颜色全相同(B)颜色不全相同(C)颜色全不同(D)颜色无红色
例15. 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2球，在以下事件中：(1)恰有1个白球和
恰有2个白球；(2)至少有1个白球和全是白球；(3)至少有1个白球和至少有1个黑球；
(4)至少有1个白球和全是黑球。

是对立事件的为()
(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)(4)
例16.甲、乙两人独立地解同一咨询题，甲解决那个咨询题的概率是p1，乙解决那个咨
询题的概率是p2，那么恰好有1人解决那个咨询题的概率是了()
(A)
2
1
p
p(B))
1(
)
1(
1
2
2
1
p
p
p
p-
+
-(C)
2
1
1p
p
-(D))
1
)(
1(
1
2
1
p
p-
-
-
例17.某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任
选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是．(结果用分数表示)
概
率
例18.某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每
位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，假设顾客抽出的六个号码中至少
有5个与摇出的号码相同(不计顺序)即可得奖，那么中奖的概率是________．(用数字作
答)
例19.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中
目标相互之间没有阻碍.有以下结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中
目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序
号是__ (写出所有正确结论的序号).
例20. A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子〔x、y、z≥0，且6
=
+
+z
y
x〕，
B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球
比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.
〔1〕用x、y、z表示B胜的概率；
〔2〕当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
随
机
变
量
与
统
计
1.随机试验:
⑴试验假如满足下述条件：
①试验能够在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，同时不止
一个；③每次试验总是恰好显现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确信这次
试验会显现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.
⑵假如随机试验的结果能够用一个变量来表示，那么如此的变量叫做随机变量,假如随机
变量能够按一定次序一一列出,如此的随机变量叫做离散型随机变量.
注:假设随机变量能够取某一区间内的一切值，如此的变量叫做连续型随机变量.
2. 离散型随机变量：设离散型随机变量ξ可能取的值为：
,
,
,
,
2
1i
x
x
x
ξ取每一个值)
,2,1
(
1
=
i
x的概率
i
i
p
x
P=
=)
(ξ，那么表称为随机变量ξ的概率分布，简称
ξ的分布列.
ξ1x2x…i x…
P
1
p
2
p…
i
p…
有性质①10,1,2,p i =≥； ②121i p p p ++++=.
3. 称1122n n E x p x p x p ξ=++++为ξ的数学期望或平均数、均值. 数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 注: 随机变量a b ηξ=+的数学期望：()E E a b aE b ηξξ=+=+ 随机变量与统计
4. 方差、标准差：
当随机变量ξ的分布列为()(1,2,
)k k P x p k ξ===时，那么称
2221122()()()n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-+
+-+
为ξ的方差.
明显0D ξ≥，故.D σξξσξ=
为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差
都反映了随机变量ξ取值的稳固与波动，集中与离散的程度.D ξ越小，稳固性越高，波．．．．．．．．．．
动越小．．．.．
注:⑴随机变量a b ηξ=+的方差2
()()D D a b a D ηξξ=+=.〔a 、b 均为常数〕 ⑵期望与方差的转化： 22
()D E E ξξξ=-
5. 二项分布：假如在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中那
个事件恰好发生k 次的概率是：()k k n k
n P k C p q ξ-==[其中0,1,
,,1k n q p ==-]
因此得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1
… k … n P n q 111n n C p q - k k n k n C p q - n p
我们称如此的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B 〔n ,p 〕，其中n ，p 为参数，并记(;,)k
k
n k
n
C p q
b k n p -=.
注:对二项分布~(,)B n p ξ有0
!
!()!
n
k n k
k n E k p q
np k n k ξ-==
⋅
⋅=-∑,(1)D np p ξ.=-
6. 几何分布:
在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是p ,该事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量. 〝ξ=k 〞表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 因此得到随机变量ξ的概率分布如下: (1q p =-)
那么称如此的随机变量ξ服从几何分布,并记1
(,)g p q p -=k k ,其中
1q p =-,1,2,3,
k =.
注：假如随机变量ξ服从几何分布即 ()(,)P g p ξ==k k , 那么21,q E D p p
ξξ==.
7.常用的抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种.
ξ
1 2 3 k P p qp 2q p 1q p -k 类 不 共同点 不同点 联 系 适用范畴 简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被从总体中逐个抽取
是后两种方法的基
础 总体个数较少
系统 抽样 抽取的概率相等
将总体均分成几部分，按事先确定的规那么在各部分抽取 在超始部分抽样时用简单随机抽样
总体个数较多
分层 抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采纳简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
随机变量与统计
8.总体分布的估量:用样本估量总体,是研究统计咨询题的一个差不多思想方法,样本容量越大,估量越准确.将总体与随机变量沟通后,就能够用概率的知识研究统计咨询题.
⑴当总体中的个体取不同值专门少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示,其几何表示确实是相应的条形图.
⑵当总体中的个体取不同值较多时,对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识,列出分组区间和各区间内取值的频数和频率,其几何表示确实是相应的频率分布直方图. ⑶累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情形,因此在频率分布表中常增设一列累积频率,而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图.
⑷频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,那么频率分布直方图趋近于总体密度曲线时,相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线,即累积分布曲线.
⑸生产过程中的质量操纵图: 通过生产过程中的质量操纵图,了解统计中假设检验的差不多思想,明确正态总体及其概率密度函数的概率,把握正态曲线的性质及其应用,并了解 〝小概率事件〞的概念和它在一次试验中不可能发生的思想.
9. 正态分布.〔差不多不列入考试范畴〕 (Ⅰ)密度曲线与密度函数：关于连续型随机变量ξ，如图位于x 轴上方的曲线叫ξ的密度
曲线，以其作为图像的函数()f x 叫做ξ的密度函数, 那么ξ落在任一区间[,)a b 内的概率等于它与x 轴和直线
x a =与直线x b =所围成的曲边梯形的面积〔如图阴影部分〕.由于〝(,)ξ∈-∞+∞〞是必定事件，故密度曲线与x 轴
所夹部分面积等于1.
(Ⅱ)正态分布与正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：
22
()21
()2x f x e μσ
πσ
--
=
. 〔,,x R μσ∈为常数，且0σ>〕，
称ξ服从参数为,μσ的正态分布，用ξ～2
(,)N μσ表示.
()f x 的表达式可简记为2(,)N μσ，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑴正态分布的期望与方差：假设ξ～),(2σμN ，那么ξ的期望与方差分不为：
2,E D ξμξσ==.
⑵正态曲线的性质.
①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.
③当x μ=时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，出现出〝中间高、两边低〞的钟形曲线.
④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，同时当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越〝矮胖〞.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越〝瘦高〞，表示总体的分布越集中.
(Ⅲ).⑴标准正态分布：假如随机变量ξ的概率函数为22
1
()()2x x e x ϕπ
-
=-∞<<+∞，
那么称ξ服从标准正态分布. 即ξ～(0,1)N 有()()x P x ϕξ=≤，()1()x x ϕϕ=--求出，而P 〔a ＜ξ≤b 〕的运算那么是()()()P a b b a ξϕϕ<=-≤.
随机变量与统计
注意：当标准正态分布的()x Φ的x 取0时， 有()0.5x Φ=当()x Φ的x 取大于0的数时， 有()0.5x Φ>.比如0.5()0.07930.5μσ
-Φ=<那么
0.5μσ-必定小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：
假设ξ～2
(,)N μσ那么ξ的分布函数常用()F x 表示，
且有()()()x P x F x μξϕσ-==≤.
注:一样正态分布2
(,)N ξμσ,均可化为标准正态总体(0,1)N ξ来进行研究.
假设2(,)N ξμσ,只需作变换ξμησ
-=,就可使(0,1)N η
,∴有公式()(
)
x F x μσ
-=Φ.
∴假设2
(,)N ξ
μσ,那么()P a b ξ<≤=(
)(
)b a μ
μ
σ
σ
--Φ-Φ
(Ⅳ)
⑴〝3σ〞原那么.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范畴
(3,3)μσμσ-+.③做出判定：假如(3,3)a μσμσ∈-+，同意统计假设. 假如
)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵〝3σ〞原那么的应用：假设随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ那么 ξ落在(3,3)μσμσ-+内的概率为99.7％ 亦即落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.3％，此为小概率事件，假如此事件发生了，就讲明此种产品不合格〔即ξ不服从正态分布〕.
10. 线性回来: 〔差不多不列入考试范畴〕
回来分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法。

严格讲来，相关关系分为两种，对两个自变量来讲，假如它们差不多上随机的，称它们为相关关系；假如其中一个是能够操纵的，非随机的，另一个是随机的，称这种关系为回来关系。

由一个非随机的变量来估量或推测另一个随机变量的观测值，所建立的数学模型及进行的统计分析，称为一元回来分析，假如那个数学模型是线性的那么称为一元线性回来分析。

尽管具有相关性的变量间的关系不确定，但能够通过大量试验来找出它们之间的统
计规律性，然后用一个函数关系近似地描述它们，而且那个函数是线性的，那么称它为线性回来函数。

实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后，一样能用专门多条直线来近似地表示x 与y 这两个变量间的线性关系，因此存在一条最合适的直线，这条直线用闻名的〝最小二乘法〞能够求解，课本的阅读材料确实是〝最小二乘法〞的运用。

散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.
随机变量与统计
例21. 关于一组数据i x (i =1，2，3，…，n )，假如将它们改变为i x ＋c (i =1，2，3，…，n )，其中c ≠0，那么下面结论中正确的选项是( ) (A)平均数与方差均不变 (B)平均数变了，而方差保持不变 (C)平均数不变，而方差变了 (D)平均数与方差均发生了变化
例22. ξ的分布列为〔如表所示〕, 且设12+=ξη，那么η的期望值是〔 〕． (A)
32 (B)61- (C)1 (D)36
29
例23. 设随机变量ξ的概率分布列为 P (ξ=i )=2
(),1,2,3,3
i
a i =那么a 的值是( )
17()
38A 27()38B 17()19C 27()19D 例24. ~(,)B n p ξ，E ξ=8，D ξ=1.6，那么n 与p 的值分不为〔 〕 (A )10和0.8 (B )20和0.4 (C)10和0.2 (D)100和0.8
例25. 从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，〝每次抽取一个个体时任一个体a 被抽到的概率〞与〝在整个抽样过程中个体a 被抽到的概率〞为〔 〕 (A )均为
31 (B)均为61(C)第一个为31，第二个为61 (D)第一个为6
1，第二个为31
例26. ①某高校为了解学生家庭经济收入情形，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I ．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两咨询题和两方法配对正确的选项是〔 〕
(A)①配I ，②配Ⅱ (B)①配Ⅱ，②配 (C)①配I ，②配I (D)①配Ⅱ，②配Ⅱ
例27. 某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分不为( ) (A )15，5，25 (B)15，15，15 (C)10，5，30 (D)15，10，20
例28. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，那么其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答)
例29. 右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图， 请依照图形中的数据填空：
⑴样本数据落在范畴[)5,9的频率为 ； ⑵样本数据落在范畴[)9,13的频数为 ；
例30. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点显现时， 就讲这次试验成功.
〔Ⅰ〕求一次试验中成功的概率；
〔Ⅱ〕求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.
数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)答案
例1.A 例2.C 例3.D 例4.C
例5.C 例6.B 例7.D 例8.B
例9.510
例10. 解：⑴如图1，先对a 1部分种植，有3种不同的种法，再对a 2、a 3种植， 因为a 2、a 3与a 1不同颜色，a 2、a 3也不同。

因此S 〔3〕=3×2=6〔种〕。

如图2，S 〔4〕=3×2×2×2－S 〔3〕=18〔种〕。

⑵如图3，圆环分为n 等份，对a 1有3种不同的种法， 对a 2、a 3、…、a n 都有两种不同的种法，
但如此的种法只能保证a 1与a i 〔i =2、3、……、n －1〕不同颜色， 但不能保证a 1与a n 不同颜色.
因此一类是a n 与a 1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为()(3)S n n ≥种. 另一类是a n 与a 1同色的种法，这时能够把a n 与a 1看成一部分， 如此的种法相当于对n －1部分符合要求的种法，记为)1(-n S . 共有3×2n －1种种法.如此就有123)1()(-⨯=-+n n S n S . 即]2)1([2)(1----=-n n n S n S ，
那么数列{()2}(3)n S n n -≥是首项为32)3(-S 公比为－1的等比数列. 那么33()2[(3)2](1)(3).n n S n S n --=--≥
由⑴知：6)3(=S ，∴3()2(68)(1)n n S n --=--.∴3()22(1)n n S n -=-⋅-. 答：符合要求的不同种法有322(1)(3).n n n --⋅-种≥
例11.D 例12.C 例13.C
例14.B 例15.D 例16.B
例17. 73 例18. 5
42
例19. ①，③
例20. 解：〔1〕明显A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个差不多事件： ①A 1：〝A 、B 均取红球〞； ②A 2：〝A 、B 均取白球〞； ③A 3：〝A 、B 均取黄球〞.
123111
(),(),()626366
x y z P A P A P A =⨯=⨯=⨯
12332()()()(),36
x y z
P A P A P A P A ++∴=++=
32()136
x y z
P B ++∴=-
〔2〕由〔1〕知32()36
x y z
P A ++=
，6,0,0,0x y z x y z ++=又≥≥≥ 因此32121
(),36362
x y z x z P A +++-==≤
6,0x y z ∴===当，
即A 在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为.2
1
例21.B 例22.A 例23.B
例24.A 例25.D 例26.B
例27.D 例28. 1.2 例29. 0.32 , 72
例30. 本小题要紧考查概率及其基础知识和运算能力. 解〔Ⅰ〕一次实验中，设事件A 表示〝试验成功〞，
那么4445
(),()1().6699
P A P A P A =⨯==-=
〔Ⅱ〕依题意得：:),9
5
,4(~其概率分布列为B ξ
5205480
4,4.999981
E D ξξ∴=⨯==⨯⨯=。