2012女子数学奥林匹克

2012年中国女子数学奥林匹克
第一天
1.设a 1,a 2,···,a n 是非负实数，求证：11+a 1+a 1(1+a 1)(1+a 2)+···+a 1a 2···a n −1(1+a 1)(1+a 2)···(1+a n )
≤1.2.如图，圆Γ1,Γ2外切于点T .A,E 是Γ1上的两点，过A,E 作Γ2的切线，切点分别为B,D .设直线AE,BD 交于点P ，求证：(1)AB AT =ED ET ；(2)∠AT P +∠ET P =180◦.
3.求所有的整数对(a,b )，使得存在整数d >1，满足对任意正整数n ，都有d |a n +b n +1.
4.在正十三边形的每个顶点上摆放一枚黑子或白子.一次操作是指：将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.
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2012年中国女子数学奥林匹克
第二天
5.如图，在△ABC 中，I 是内心，D,E 分别是⊙I 与AB,AC 的切点.设O 是△BIC 的外心，求证：∠ODB =∠OEC .
6.设整数n ≥3.某个国家有n 个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其他城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.
7.有一个无穷正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤···，已知存在正整数k 和r ，使得r a r =k +1.求证：存在正整数s ，使得s a s
=k .8.集合{0,1,2,···,2012}中有多少个元素k ，使得C k 2012是2012的倍数？
2。